2025年春季學(xué)期高一年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量是具有大小和方向的量以及零向量的含義，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，即的模相等，方向相同，則，B正確；對(duì)于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比較大小，即，不能得出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，D錯(cuò)誤，故選：B2.已知，求的最小值（）A.7 B.4 C.-7 D.8【答案】A【解析】【分析】由當(dāng)時(shí)，，再利用不等式“一正，二定，三相等”即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以故最小值為7，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系可得.【詳解】因?yàn)?，所以，由平方關(guān)系可得，所以.故選：B4.已知扇形的周長(zhǎng)為4，當(dāng)扇形面積最大時(shí)，圓心角（）A.1 B.2 C.60° D.120°【答案】B【解析】【分析】由扇形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)最值即可求解；【詳解】設(shè)半徑，，所以，則扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，圓心角（弧度），故選：B．5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在等式兩邊平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.【詳解】等式兩邊平方可得，可得，所以.故選：B.6.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義列方程求結(jié)果.【詳解】依題意，，所以.故選：B7.已知平面向量滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及垂直關(guān)系的向量表示列式計(jì)算即可.【詳解】由，得，則，由，得，因此，所以.故選：A8.已知函數(shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)．若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性解抽象不等式可得.【詳解】將不等式變形可得，因?yàn)楹瘮?shù)是上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以不等式等價(jià)于，所以，即的取值范圍為.故選：D二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)或不選得0分.）9.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的正切公式可求A；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角正弦公式可求B；利用二倍角的余弦公式可求解C；利用二倍角的余弦公式可求解D；【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以原式，A不符合；對(duì)于B：原式，B符合；對(duì)于C：原式，C符合；對(duì)于D：原式，D符合.故選：BCD.10.對(duì)于函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)在上最大值為D.函數(shù)的最小正周期為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A，求出函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；對(duì)B，求出函數(shù)的定義域判斷；對(duì)C，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域判斷；對(duì)D，利用周期公式求出周期判斷.詳解】對(duì)于A，由，令，得，所以的對(duì)稱中心為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題得，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上的最大值為，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知平面向量滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與的夾角為C. D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由模長(zhǎng)的計(jì)算可得A錯(cuò)誤、C正確；由夾角的計(jì)算可得B正確；設(shè)，由模長(zhǎng)的計(jì)算和可得D正確；【詳解】選項(xiàng)A：由得，又，所以，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，所以B正確；選項(xiàng)C：，所以，所以C正確；選項(xiàng)D：設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)與反向共線時(shí)，取得最大值，且最大值為，所以D正確．故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每題5分，共10分.）12.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移變換即可求解．【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)是．故答案為:.13.已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算將用表示，由此即可得到的值，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以,故;故答案為：.14.在中，D為邊BC的中點(diǎn)，中線AD上有一點(diǎn)P滿足，且，則_______.【答案】12【解析】【分析】運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量三角形法則直接計(jì)算即可.【詳解】在中，因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以.又因?yàn)?，所以，所?故答案為：12.四、解答題（本題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算過程.）15.已知，且向量與的夾角為，求.【答案】【解析】【分析】直接由數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)量積公式運(yùn)算即可.【詳解】.16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）3；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)得，將代入即可求值；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得，，結(jié)合余弦兩角差公式，可得結(jié)果；（3）通過湊角，可得，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和差公式，可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，所以，，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，又，所?17.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的的值．【答案】（1），（2）的最小值為，此時(shí)；的最大值為，此時(shí)【解析】【分析】（1）由題意，利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性得出結(jié)論；（2）由題意，根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的的值.【小問1詳解】故；由令則故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，即時(shí)，即時(shí)有最小值0，當(dāng)，即時(shí)有最大值3．18.已知，，其中，是夾角為的單位向量．（1）當(dāng)，求與夾角的余弦值；（2）若與共線，求的值；（3）若與夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）且.【解析】【分析】（1）先求出的數(shù)量積，將，分別平方可求得與的模，再求出與的數(shù)量積，利用平面向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可列式求解；（3）根據(jù)向量夾角為鈍角得出數(shù)量積為負(fù)且兩向量不共線即可計(jì)算求解.【小問1詳解】是夾角為的單位向量，，，，，向量與夾角的余弦值為.【小問2詳解】因?yàn)榕c共線，所以設(shè)，即，又不共線，所以，所以.【小問3詳解】∵與夾角為鈍角，，解得由（2）知，當(dāng)時(shí)，與共線且方向相反，不符合題意，舍去.綜上，的取值范圍是且.19.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示．（1）求的解析；（2）要得到的圖象，需要將的圖象作怎樣的變換？（詳細(xì)寫出每步變換）（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若對(duì)任意、，有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用圖象可以看出振幅和周期，代入最高點(diǎn)可求出，從而可求三角函數(shù)解析式；（2）利用平移變換，伸縮變換可分四步得到；（3）利用在區(qū)間內(nèi)的最值可得參數(shù)的范圍，從而可