第第頁(yè)浙江省紹興市2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知z=i1?2i，則zA．3 B．3 C．5 D．52．已知橢圓x2a2A．3 B．23 C．43 3．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S5A．9 B．10 C．11 D．124．已知四邊形ABCD是平行四邊形，EC=2BE，DF=2FC，記AB=A．?13aC．23a+5．過(guò)點(diǎn)Pa,b作圓x2+y2=1的切線PA，A．2 B．3 C．5 D．106．已知x∈π6,2π3A．?247 B．?724 C．7．在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，將△AEF沿著EF翻折至△A'EF，使得AA．8π B．12π C．16π D．32π8．已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1a>0,b>0上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A．2 B．3 C．2 D．2二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了2024年1月全國(guó)多個(gè)大中城市二手住宅銷售價(jià)格的分類指數(shù)，其中北方和南方各4個(gè)城市的90m2及以下二手住宅銷售價(jià)格的環(huán)比數(shù)據(jù)如下：北方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）南方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家莊99.6南昌99.6沈陽(yáng)99.7福州99.8則（）A．4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差B．4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值C．4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差D．4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)10．已知等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，且?n∈A．?dāng)?shù)列an是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列aC．若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則q>1 D．若數(shù)列Tn11．已知定義在R上的函數(shù)fx在區(qū)間?1,0上單調(diào)遞增，且滿足f4?x=fA．k=110fkC．f2.5>flog三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．x2?2y5的展開(kāi)式中x13．已知集合A={x|x2+mx≤0}，B={?13,m?1}14．已知函數(shù)fx=sinωxω>0，若?x1,x四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.（1）證明：平面ACP⊥平面ABC；（2）若PA=2，PB=4，求二面角P?AB?C的平面角的正切值.16．盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各2個(gè).（1）若有放回地隨機(jī)取出2個(gè)小球，求取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同的概率；（2）若不放回地依次隨機(jī)取出4個(gè)小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對(duì)數(shù)為X（如1122，則X=2），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX17．已知函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,（2）當(dāng)x∈(0,π)時(shí)，f(x)>0，求實(shí)數(shù)18．已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)A2,2作直線交C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B?1,1，記直線BM，BN（1）求C的方程；（2）求3k（3）設(shè)直線BM交C于另一點(diǎn)Q，求點(diǎn)B到直線QN距離的最大值.19．已知k∈N?，集合Xk（1）求X2（2）設(shè)a=21+23∈X（3）記Yk=Xk∩2k+n?1,2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：z=i1?2i=2+i，則故答案為：C.【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)求復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】由ca=12因2a=4，即a=2，代入①解得b=3故短軸長(zhǎng)為2b=23.【分析】根據(jù)已學(xué)的解析幾何相關(guān)橢圓知識(shí)，由離心率得到a,b的關(guān)系式，代入題中a的值，即可求得b與短軸長(zhǎng).3．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)、公差分別為a因?yàn)镾55?S2則a7故答案為：D.【分析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)、公差分別為a4．【答案】A【解析】【解答】解：在?ABCD中，因?yàn)镋C=2BE，DF=2FC，所以EF=故答案為：A.【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)圓x2+y2=1的圓心為O，則PO2=PA2+OA2=1+1=2，即a2+則a+2b=2cosθ+2故a+2b的最大值為10.故答案為：D.【分析】由題意可得a2+b2=2，可得點(diǎn)Pa,b的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，再三角換元令6．【答案】B【解析】【解答】解：由x∈π6,因?yàn)閟inx?π6sin2x?π3則tan2x+故答案為：B.【分析】易知x?π6∈7．【答案】C【解析】【解答】解：取BC,EF的中點(diǎn)為G,H，且GH交BF于點(diǎn)O，因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以三角形ABC是等邊三角形，O是三角形ABC的中心，同時(shí)A'B⊥FC，F(xiàn)B⊥FC，A'B∩FB=B，A'B?平面所以FC⊥面A'BF，而FC?面BCFE，所以平面A'故點(diǎn)A'在平面BCFE的投影在BF三角形A'EF與三角形GEF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，即三角形A'從而A'H⊥EF,GH⊥EF，A'H∩GH=H，A'H?平面所以EF⊥面A'OH，因?yàn)锳O'?因?yàn)镕C⊥面A'BF，AO'?又因?yàn)镋F∩CF=F，EF?平面BCFE，CF?平面BCFE，故A'O⊥平面所以A'又因?yàn)辄c(diǎn)G是直角三角形BCF斜邊上的中點(diǎn)，所以G是四邊形BCFE（或三角形BCF）外接圓的圓心

（這是因?yàn)椤螧EF+∠C=120°+所以四棱錐A'?BCFE的外接球的球心O'在與平面BCFE且底面四邊形BCFE外接圓的半徑為BG=1設(shè)O'到平面BCFE的距離為O'G=?，過(guò)O'作所以O(shè)'G2解得?=0,R2=4，這意味著此時(shí)點(diǎn)O四棱錐A'?BCFE的外接球的表面積是故答案為：C.【分析】由題意，作出圖形，通過(guò)分析得出A'O=263，外接球球心在過(guò)底面外接圓圓心G且垂直于底面（即平行于A'O）的直線上面，且底面外接圓半徑為BG=2，設(shè)O'到平面BCFE的距離為O'G=?，過(guò)8．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，設(shè)Ax0,y0所以Mx0,?則xN=x設(shè)點(diǎn)Cx,ykCB即kBN??1k則b2a2故答案為：B.【分析】由題意，設(shè)Ax0,y0,B?x0,?y0，由AN=3AM且9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、由數(shù)據(jù)可得：4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差為99.7?99.5=0.2，

4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差為99.8?99.5=0.3，則4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差，故A正確；B、4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值為99.5+99.6+99.6+99.74=99.6，4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值為則4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值與4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值相等，故B錯(cuò)誤；C、4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差為：

144個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差為：

14則4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差，故C錯(cuò)誤；D、4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為99.6，

4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為99.5+99.62則4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故D正確．故答案為：AD．【分析】根據(jù)極差的定義即可判斷A；根據(jù)平均數(shù)的定義即可判斷B；根據(jù)方差的定義即可判斷C；根據(jù)中位數(shù)的定義即可判判D．10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：AB、由題意可知Sn=a11?qn1?q,Tn=a1aC、若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，即Sn+1?D、若數(shù)列Tn是遞增數(shù)列，顯然不可能是a1<00<q<1，（否則從而只能是a1>0q>1故答案為：ACD.【分析】由題意，寫(xiě)出Sn,Tn的表達(dá)式，根據(jù)?n∈N?，a1qn11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于函數(shù)fx，則f4?x=fx，所以函數(shù)由f2?x=?fx，則函數(shù)f所以f4?x=?f2?x，所以f2?x=?f?x，則f4?x=f?x，

因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間?1,0上單調(diào)遞增，則函數(shù)f由對(duì)稱性可得f1+f2由于f0.9+f1.1=0，又因?yàn)閒log280=flog216+因?yàn)閒ln12因?yàn)棣?>1>π4，所以sinπ3>故答案為：BCD.【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定函數(shù)fx關(guān)于直線x=2對(duì)稱、關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，從而可確定函數(shù)的周期性，再結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)f12．【答案】?80【解析】【解答】解：x2?2y5當(dāng)r=3時(shí)，x4y3故答案為：?80.【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式x2?2y513．【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)锳∩B有4個(gè)子集，所以A∩B中有2個(gè)元素，則B∩A=B，

集合A={x|x2+mx≤0}={x|?m≤x≤0}滿足?m≤m?1m?1<?13，或?m≤?13綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為12≤m<23，或23故答案為：12【分析】根據(jù)A∩B的子集個(gè)數(shù)確定A∩B的元素個(gè)數(shù)，再分m?1<?13和14．【答案】{ω|ω=32【解析】【解答】解：設(shè)θ=ωx，x∈π3,π問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=sinθ在由正弦函數(shù)圖象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+當(dāng)k=0時(shí)，32≤ω≤3當(dāng)k=1時(shí)，52≤k≤92；

當(dāng)k=2時(shí)，72≤ω≤15當(dāng)k=n，n∈N?時(shí)，當(dāng)k=n+1時(shí)，n+5而n+52?故k∈N?時(shí)，所有情況的ω范圍的并集為綜上，實(shí)數(shù)ω的取值范圍是{x|ω=32或故答案為：{ω|ω=32或【分析】設(shè)θ=ωx，則θ∈π3ω,πω，根據(jù)正弦函數(shù)圖象可列式π3ω≤kπ+π215．【答案】（1）證明：在△ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC又因?yàn)锽C⊥AP，AP∩AC=A，AP?面APC，AC?面APC，所以BC⊥平面ACP，又因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ACP⊥平面ABC；（2）解：以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，如圖所示：則A2,0,0，B0,23,0，設(shè)由PA=2，PB=4，得x?22+z2=4x2則AB=?2,23設(shè)平面PAB的法向量為m=x,y,z，則m?取x=3，則y=1，z=1，則m又平面ABC的法向量為n=設(shè)二面角P?AB?C的大小為θ，因?yàn)棣葹殇J角，所以cosθ=m?nm則二面角P?AB?C的平面角的正切值為2.【解析】【分析】（1）先由解三角形知識(shí)證得BC⊥AC，進(jìn)一步由BC⊥AP，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理證明即可；（2）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)一步由法向量夾角的余弦坐標(biāo)公式，結(jié)合平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系求解即可.（1）在△ABC中，由余弦定理得BC所以BC2+A又BC⊥AP，AP∩AC=A，AP?面APC，AC?面APC，所以BC⊥平面ACP，又BC?平面ABC，所以平面ACP⊥平面ABC.（2）解法一：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC交AC于點(diǎn)H，因?yàn)槠矫鍭CP⊥平面ABC，平面ACP∩平面ABC=AC，PH?面ACP，所以PH⊥平面ABC，因?yàn)锳B?面ABC，所以PH⊥AB，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AB交AB于點(diǎn)G，連接PG，因?yàn)镻H∩HG=H，PH?面PHG，F(xiàn)G?面PHG，所以AB⊥面PHG，因?yàn)镻G?面PHG，則PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P?AB?C的平面角.由（1）知，BC⊥平面ACP，因?yàn)镃P?平面ACP，所以BC⊥CP，所以CP=P又PA=AC=2，所以三角形ACP是正三角形，所以AH=1，PH=3在直角三角形AGH中，GH=AH?sin所以tan∠PGH=所以，二面角P?AB?C的平面角的正切值是2.解法二：以C為原點(diǎn)，CA，CB所在直線為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C?xyz，則A2,0,0，B0,23,0，設(shè)由PA=2，PB=4得x?22所以x=1，z=3，即P所以AB=?2,23設(shè)平面PAB的法向量為m=則m?AB=0取x=3，則y=1，z=1，所以m又平面ABC的法向量為n=設(shè)二面角P?AB?C的大小為θ，因?yàn)棣葹殇J角，所以cosθ=所以sinθ=25所以，二面角P?AB?C的平面角的正切值為2.16．【答案】（1）解：設(shè)事件A=“取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同”，則PA（2）解：易知X的所有可能取值為0，1，2，①當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字都不同時(shí)，如1212，有2×A22②當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字只有1對(duì)相同時(shí)，如1221，有2×A22③當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字有2對(duì)相同時(shí)，如1122，有2×A22則X的分布列為X012P111X的數(shù)學(xué)期望EX【解析】【分析】（1）設(shè)事件A=“取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同”，利用組合數(shù)知識(shí)結(jié)合概率公式計(jì)算概率即可；（2）由題意，先確定X的所有可能取值為0，1，2，再分別計(jì)算概率得分布列，最后根據(jù)期望公式計(jì)算期望即可．（1）設(shè)事件A=“取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同”，則PA（2）X的所有可能取值為0，1，2.①當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字都不同時(shí)，如1212，有2×A則PX=0②當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字只有1對(duì)相同時(shí)，如1221，有2×A則PX=1③當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字有2對(duì)相同時(shí)，如1122，有2×A則PX=2所以X的分布列為X012P111所以X的數(shù)學(xué)期望EX17．【答案】（1）設(shè)切線斜率為k，因?yàn)閒'(x)=x?1+2cos又f(0)=0，所以，切線方程是y=x.（2）①當(dāng)a≥1時(shí)，因?yàn)閤∈(0,π)，所以所以f(x)=x記g(x)=x22?x+sin因?yàn)楫?dāng)x∈(0,π)時(shí)，g″(x)≥0，所以所以，g'所以，g(x)在區(qū)間(0,所以，g(x)>g(0)=0，所以f(x)>0.②當(dāng)a<1時(shí)，f'因?yàn)楫?dāng)x∈(0,π)時(shí)，sinx∈(0所以f'(x)在區(qū)間因?yàn)閒'(0)=a?1<0，所以，存在x0∈(0,所以，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f'所以f(x綜上可知，a≥1.【解析】【分析】（1）利用a的值得出函數(shù)的解析式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再由代入法得出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而由點(diǎn)斜式得出曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.18．【答案】（1）解：因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p=2，所以拋物線C的方程為y2（2）解：設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，直線MN的方程為x=ty?2+2，

聯(lián)立x=ty?2+2,y2=4x,消元整理可得y2?4ty+8t?8=0，由韋達(dá)定理可得△>0,（3）解：設(shè)My124,則直線MN的斜率k=y2?y1即4x?y同理，直線MQ方程為4x?y直線QN方程為4x?y因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)A2,2，所以8?2y1因?yàn)橹本€MQ經(jīng)過(guò)B?1,1，所以?4?y1所以2y2?8又因?yàn)橹本€QN的方程為4x?y2+y3故當(dāng)BP⊥QN時(shí)，點(diǎn)B到直線QN距離取得最大值為BP=5【解析】【分析】（1）由焦準(zhǔn)距的定義求出p的值即可得拋物線方程；（2）設(shè)出直線MN的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，得到韋達(dá)定理，分別化簡(jiǎn)計(jì)算k1+k2和（3）設(shè)點(diǎn)表示出直線MN、MQ、QN的方程，分別利用MN過(guò)點(diǎn)A2,2，MQ過(guò)點(diǎn)B?1,1得出y2與y1，y3與y1的關(guān)系式，消去y1，整理得16?6（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p=2，所以拋物線C的方程為y2（2）如圖，設(shè)Mx1,y