（簡單）計(jì)算問題——基礎(chǔ)學(xué)習(xí)

算式四則運(yùn)算

荷單

計(jì)算問題

解答題

算式四則運(yùn)算

1、算式四則運(yùn)算例1：電影院有25排座位，每排有32個(gè)座位，現(xiàn)學(xué)校共759人到電影院看演

出，還剩多少個(gè)座位？

【答案】25X32-759=41,讀懂題目根據(jù)題意列式解答。

【結(jié)束】

2、算式四則運(yùn)算例2：王老師要批改48篇作文，已經(jīng)批改了12篇.如果每小時(shí)批改9篇，還要

幾小時(shí)能改完？

【答案】（48-12）4-9=4讀懂題目根據(jù)題意列式解答

【結(jié)束】

運(yùn)用技巧計(jì)算

尾數(shù)法，顧名思義就是通過尾數(shù)來確定答案，尾數(shù)法在速算當(dāng)中更多的是用于驗(yàn)證計(jì)

算結(jié)果的正確性，所以大部分題目的最重要條件就是4個(gè)選項(xiàng)的尾數(shù)不一樣的時(shí)候才可以

用。故此公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分就全部為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的題目，所以熟練運(yùn)用尾數(shù)法

是可以使作答事半功倍的。

首先應(yīng)該掌握如下知識(shí)要點(diǎn)：

2452+613=3065和的尾數(shù)5是由一個(gè)加數(shù)的尾數(shù)2加上另一個(gè)加數(shù)的尾數(shù)3得到的。

2452-613=1839差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3得到的。

2452X613=1503076積的尾數(shù)6是由一個(gè)乘數(shù)的尾數(shù)2乘以另一個(gè)乘數(shù)的尾數(shù)3得到的。

2452+613=4商的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3得到被除數(shù)的尾數(shù)2。（除法較特殊）

3、尾數(shù)法例1：有5個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為25,去掉其中一個(gè)數(shù)后，算術(shù)平均數(shù)為31,試問

去掉那個(gè)數(shù)是多少？（）

A.4B.3C.1D.2

［答案］C

【而忘關(guān)鍵點(diǎn)】利用尾數(shù)確定結(jié)，25X5-31X4=1（尾數(shù)法）。

【結(jié)束】

4、尾數(shù)法例2：請(qǐng)計(jì)算的值是（LI?+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2（）?

A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30

【答案】B

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】（i.iy的尾數(shù)為1,（1.2）2的尾數(shù)是4,（1.3）2的尾數(shù)是9,（1.4）2的尾

數(shù)是6,所以最后的尾數(shù)為1+3+9+6的和的尾數(shù)即以所以選B.

【結(jié)束】

5、期（法總結(jié)

【答案】應(yīng)用尾數(shù)法的必要條件是四個(gè)選項(xiàng)的尾數(shù)不一樣。同時(shí)，我們?cè)诩樱?，減，

平方（立方）的運(yùn)算中用了尾數(shù)法。這幾種運(yùn)算之所以可以不用估計(jì)的使用尾數(shù)法，是因?yàn)閨

這幾種運(yùn)算都是從低位向高位運(yùn)算，所以尾數(shù)一定是準(zhǔn)確的。而另外兩種常見的運(yùn)算，除法

是從高位算起。

除法的尾數(shù)法什么時(shí)候可以用呢？現(xiàn)在給以個(gè)規(guī)律：首先我們要確定是整除運(yùn)算，否則

除法尾數(shù)沒有任何意義。當(dāng)除數(shù)的尾數(shù)是1,3,7,9,則尾數(shù)是固定的；當(dāng)除數(shù)的尾數(shù)是2,

4,6,3時(shí)，尾數(shù)只可能有兩種；當(dāng)除數(shù)的尾數(shù)是5時(shí)，一切皆有可能；當(dāng)除數(shù)的尾數(shù)是0

時(shí)，看除數(shù)的倒數(shù)第二位。（目前除法尾數(shù)來確定的題目并不多，難度相對(duì)來說比較低。）

【結(jié)束】

6、尾數(shù)法例3：少先隊(duì)第四中隊(duì)發(fā)動(dòng)隊(duì)員中枇杷，第一天種了180棵，第二天種了166棵,

第三天種了149棵，平均每天中了多少棵（）

A.166B.167C.164D.165

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題的答案是165。但是用尾數(shù)法我們可以得到這時(shí)候尾數(shù)是5,也可

以得到答案。

【結(jié)束】

7、尾數(shù)法例4：一塊三角地，在三個(gè)邊上植樹，三個(gè)邊的長度分別為156米、186米、234

米，樹與樹之間的距離為6米，三個(gè)角上都必須栽一棵樹，問共需多少棵？（）

A.90棵B.93棵C.96棵D.99棵

［答案］C

【0題關(guān)鍵點(diǎn)】用平常的方法就不說，這里用尾數(shù)法來說一下。如果用尾數(shù)法，則應(yīng)該

是尾數(shù)1或者6,這題剛好選項(xiàng)里面沒有尾數(shù)為1的答案，所以答案應(yīng)該就是96.通過這題

可以看出當(dāng)除法的時(shí)候用尾數(shù)法是應(yīng)當(dāng)更加留心。

【結(jié)束】

S、自然數(shù)、次方的忌》變化情況知識(shí)要點(diǎn)

【答案】首先觀察2a的變化情況

”的尾數(shù)是2；2?的尾數(shù)是4；2?的尾數(shù)是$；2"的尾數(shù)是6；2,的尾數(shù)又是2；

我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以“4”為周期變化的即2\2\29???2*2的尾數(shù)都相同。

3"是以"4"為周期進(jìn)行變化的，分別為3,7,b…3,9,7,1!

7"是以“4”為周期進(jìn)行變化的,分別為9,3,b7,…9,3,b7?

8”是以"4”為周期進(jìn)行變化的,分別為8,4,2,6,…8,4,2,6；

4”是以“2”為周期進(jìn)行變化的,分別為4,…4,6;

9”是以“2”為周期進(jìn)行變化的,分別為9,1,…9,1；

5"、6"的尾數(shù)不變；

【結(jié)束】

9、尾數(shù)法例5：198潸9+1989隧的各位數(shù)是()。

A.9B.7C.5D,3

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】由以上知識(shí)點(diǎn)我們可知1988^9的尾數(shù)是由899得尾數(shù)確定的，

1989+4=497+1,所以899的尾數(shù)與一的尾數(shù)是相同的,即1988.的尾數(shù)是8o再來

看1989^8的尾數(shù)是由9跳8得尾數(shù)確定的，1988+4=497+0,這里注意當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，

尾數(shù)應(yīng)和9\9、8。2???94n尾數(shù)一致，所以9*88的尾數(shù)與94的尾數(shù)是相同的,即為]綜上

可以得出19881989+19891988的尾數(shù)是8+1=9,所欲選擇A.

【結(jié)束】

【答案】提取公因式進(jìn)行簡化計(jì)算式一個(gè)最基本的四則運(yùn)算方法。在提取公因式的時(shí)候

一定要注意提取公因式選擇的問題。

【結(jié)束】

11、提取公因式例1：(1X2X4+2X4X8+3X6X12)4-(1X3X9+2X6X9+2X6X18+3X9

X27)的值為多少？()

1197

A.——B.—c.AD.—

32292729

【答案】C

Q

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】提取公因式,[2X4X(l+8+27)]『3X9X(1+8+27)]=一

整體代換:

【答案】尋找一個(gè)比較接近的數(shù)，通過一定的四則運(yùn)算法則來替代原有的數(shù)從而達(dá)到簡

單快捷的運(yùn)算。

【結(jié)束】

12、提取公因式例2：a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998,a的整數(shù)部分是()

A.44B.43C.45D.42

［答案］

【薪題關(guān)A鍵點(diǎn)】整體代換

a=(9-0.2)+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+(9-0.00002)=9X5-0.22222,顯然這個(gè)

數(shù)的整數(shù)部分是44.

【結(jié)束】

13、裂項(xiàng)相消

【答案】逋過觀察題目，把數(shù)列的逋項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)的差，使求和時(shí)出現(xiàn)的一些正負(fù)項(xiàng)相

互抵消，使之消去一些項(xiàng)，從而達(dá)到求和的目的。

常用公式：1:—―=1--

“(”+1)nn=\

(2〃-lX2”+l)22?-12n=l

M(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

—f=—jr=----祀)

yja+voa-b

????!=(?+1)!-?!

【結(jié)束】

14、裂項(xiàng)相消計(jì)算例1：

1x21x2x3Ix2x3x4

10!-1

A.10!B.10!-1C.---------

10!

【答案】c

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】裂項(xiàng)相消

原式

1x21x2x3

1101-1

----------------------------------------)=1

1x2x3---x91X2X3X---X101X2X3X---X10-10!

【結(jié)束】

11111…口八

15、裂項(xiàng)相消計(jì)算例2：-+—+—H-----1-----1-------1-------1------的值7E()

31535-6399143195255

8

D.

19

【答案】C

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】裂項(xiàng)相消

本題可以拆成項(xiàng)化簡'x(1-11

-+-+++-——-)=—?選擇C

2335577-9151717

【結(jié)束】

16、錯(cuò)位相減法

【答案】錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形

式。

【結(jié)束】

17、錯(cuò)位相減法例1：已知5=,+,+2+??…+—,貝US為()

2482n

【答案】5=1—i-

2n

［解題關(guān)鍵點(diǎn)】因?yàn)镾=—+—+—+..+—，兩邊同時(shí)乘以,得

2482n2

—S=—+—+—+4—］。然后將兩式相減可得—1,所以S=1-1

248162n+1222n+12n

【結(jié)束】

復(fù)雜計(jì)算問題——基礎(chǔ)學(xué)習(xí)

____________考察多個(gè)數(shù)算術(shù)平均數(shù)

平均數(shù)問題；察均值不等式I

-i考察數(shù)列的求和公式?

數(shù)列問題

T考察數(shù)列的通項(xiàng)公式

比較兩個(gè)數(shù)的差與0的大小

復(fù)雜

計(jì)算問題

1尋找中間數(shù)以確定二者大小笑而

一、解答題

1、平均數(shù)問題例1：把自然數(shù)1,2,3,4,5????98,99分為三組，如果每組數(shù)的平

均數(shù)恰好相等，那么此平均數(shù)為()

A.55B.60C.45D.50

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】平均數(shù)問題

解析：每組的平均數(shù)相等說明平均數(shù)等于1?99的平均數(shù)，1到99的平均數(shù)為(1+99)+

2=50,那么每組的平均數(shù)為50

【結(jié)束】

2、考稟均值不等式基聯(lián)識(shí)

【答案】基本公式：cT+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取1號(hào))。

—>4ab(a>02>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取"廿號(hào))。

2

a2+b2N，：b)：22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))。

衍生公式：.+^+八@+；+。一(當(dāng)且僅當(dāng)。=6=c時(shí)取“=”號(hào))。

"+"+cN也尻(a>0.b>0.c>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)取"廿號(hào))。

3

【結(jié)束】

3、均值不等式例h已知a,b,c為不全相等的正數(shù)，KiJa(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>()

.A.6abeB.7abcC.8abcD.9abc

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】a2+b2>2"(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào))。

解析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a,b,c的3次多項(xiàng)式，左側(cè)6項(xiàng)，右側(cè)6項(xiàng)，

左和右積，具備均值不等式的特征。???b2+c^2bc,a>0,...a(b2+c2)>2abc同理，

b(c2+a2)>2bac,c(a2+b2)>2cab,又'."a,b,c不全相等，/.上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)

成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a_+b2)>6abco

【結(jié)束】

4、數(shù)列問題基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】一般而言，公務(wù)員考試中的數(shù)列問題僅限于數(shù)列的簡單求和及其變化形式，一

般難度不大?？忌灰芎玫卣莆栈竟?，尤其是要學(xué)會(huì)運(yùn)用等差中項(xiàng)的相關(guān)知識(shí)解題。

相關(guān)公式：

等差數(shù)列遞推公式：an=a1+(n-V)d=am+(n-m)d

等差數(shù)列求和公式：.=叫+毗：1財(cái)=出詈。

等差數(shù)列中項(xiàng)公式：=%比+am

等比數(shù)列遞推公式：4=a】q"“

5、數(shù)列的求和例1：A,B,C,D,E五個(gè)人在一次滿分為100分的考試中，得分都大于91的

整數(shù)。如果A,B,C的平均分為95分，B,C,D的平均分為94分，A是第一名，E是第三名得

96分，則D的得分是()

A.96分B.98分C.97分D.99分

［答案］c

【旋題關(guān)鍵點(diǎn)】平均數(shù)問題

解析;A,B,C的平均分為95分，那么A,B,C的和為285,B,C,D的平均分為94分，那么B,C,D

的和為282,所以A和D的差為3,顯然B項(xiàng)和D項(xiàng)一定被排除，否則A的得分將大于100

分，如果D等于96分，則意味D和E并列得三名，則B和C中必然有一個(gè)為第二名，也

即成績要大于96分，則B和C中的另一個(gè)的成績一定要小于91分，顯然不符題意，所以

D的得分只能為97分，所以選C.

【結(jié)束】

6、數(shù)列的通項(xiàng)公式例1：有一串?dāng)?shù)，第一個(gè)數(shù)是6,第二個(gè)數(shù)是3,從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)

數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)與后面那個(gè)數(shù)的和小5,那么這串?dāng)?shù)，從第一個(gè)起到第400個(gè)數(shù)為止

的400個(gè)數(shù)之和是()

A.1991B.1992C.1993D.1995

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】考察數(shù)列的通項(xiàng)公式

解析：

法?：因?yàn)閍n=-1+a,.+1+5，所以an+\=an--1+5,從第三個(gè)數(shù)起

43=3—6+5,44=43—42+5=4,45=44—43+5=7前400個(gè)數(shù)的和為

S=。1+。2+。2—41+5+43—42+5+?”+4399-4398+5=42+4399+238x5。觀察通項(xiàng)公

式0398=0397-0396+5=—0395+10=—(—<7392+10)+10,多列幾項(xiàng)會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列6項(xiàng)為一

個(gè)循環(huán)。則a3緲=“3=2,所以前400個(gè)數(shù)的和為3+2+398x5=1995

法二：通過觀察題目從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)與后面那個(gè)數(shù)的和小5,

即a"+1=-I+5?？梢运愠?6,42=3,43=2,44=4,45=7,46=8,多列兒項(xiàng)會(huì)

發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列6項(xiàng)為一個(gè)循環(huán)。因?yàn)?00=66x6+4,所以

S=66x(m+。2+。3+。4+。5+。6)+。|+42+。3+。4=1995

【結(jié)束】

7、比較大小問題基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】比較兩個(gè)數(shù)的差與0的大小

作差法：

任意兩數(shù)a、b,如果a—b>0則a>b;如果a—b<0則a<b;如果^一6=0則口=上

【結(jié)束】

8、比較大小例1：比較大小，—二13，--421

12320

4.1113,21

3101220

4,13,11,21

3121020

C.衛(wèi)〈上〈一匕」

2010123

13z11y4,21

1210320

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】考察數(shù)列的通項(xiàng)公式

1111111

解析：原式等于比較一行,一,,一右，一行的大小。因?yàn)?1<----<----<-----即

±J/kzJL3101220

/<一口<一12<一21所以選人

3101220

【結(jié)束】

9、比較兩個(gè)數(shù)的商與1的大小

【答案】

商比法：

當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時(shí)，如果2>1則2比；如果2<MUa<b;如果2=1則2%。當(dāng)

aaa

a、b為任意兩負(fù)數(shù)時(shí),如果2>1則a<b；如果勺<1則a>b；如果2=1

aaa

則a=b?

【結(jié)束】

54

10、比較大小例2：比較2與士的大小。

127

54

【答案】—<-

127

543554

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】解析：因?yàn)槎?=二<1,所以，—<-

12748127

【結(jié)束】

11、比較兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)

【答案】

倒數(shù)比較法：

兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，倒數(shù)大的那個(gè)分?jǐn)?shù)反而小，倒數(shù)小的那個(gè)分?jǐn)?shù)反而大。

【結(jié)束】

12、比較兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)例1：比較？與9的大小。

87

心、76

【答案】—>一

87

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】比較兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)

解析：因?yàn)楣さ牡箶?shù)是§=1+,，9的倒數(shù)是工=1+!，而,<，,因此2>9。

8777667687

【結(jié)束】

13、尋找中間數(shù)以確定二者大小關(guān)系

【答案】

中間值法：

對(duì)任意兩數(shù)a、b,當(dāng)很難直接用作差法或者作比法比較大小時(shí)，我們通常選取中間值C,

如果a>c而c>b,則有a>bo

【結(jié)束】

Q4

14、尋找中間數(shù)例1：比較9和士的大小。

157

Q4

【答案】—>-

157

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】

解析：因?yàn)樯?gt;L所以§>3。

15272157

【結(jié)束】

15、定義新運(yùn)算問題基礎(chǔ)51識(shí)

【答案】按新運(yùn)算規(guī)則逐步計(jì)算

定義新運(yùn)算：

定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義，實(shí)質(zhì)是給出了一種運(yùn)算規(guī)則。

為防止發(fā)生混淆，新運(yùn)算使用的符號(hào)一般不使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如

+,-等。如定義的新運(yùn)算：a*b=axb(a-b),其中新運(yùn)算符號(hào)使用“*"，而等

號(hào)有邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來表示。

定義新運(yùn)算的要點(diǎn)：

(1)如果定義的新運(yùn)算是用四則混合運(yùn)算表示，那么在符合四則混合運(yùn)算的性質(zhì)、法則

的前提下，不妨先化簡運(yùn)算式。這樣，可以既減少運(yùn)算量，又提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度。

(2潮住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代人數(shù)值.

(3)定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒

有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來解題。

(4)一般說來，新定義的運(yùn)算不滿足運(yùn)算定律，因此要特別注意題中所要求的運(yùn)算順序。

【結(jié)束】

16、定義新運(yùn)算例1：已知。*6=。2+26-5,那么13*(6*11)+3的結(jié)果是多少?()

A.215B.273C.318D.385

【答案】B

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】按新運(yùn)算規(guī)則逐步計(jì)算

解析：a*b=a2+2h-5,那么6*11=62+2x11-5=53,

13*(6*11)=13*53=132+2x53-2=270,所以13*(6*H)+3=270+3=273。

【結(jié)束】

4

17、定義新運(yùn)算例2：X2+5X+2=0,則X2+F的值為()。

x

A.21B.23C.25D.29

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】按新運(yùn)算規(guī)則組建方程

解析：由X?+5X+2=0可得X2=-5X-2,利用公式：

a2+h2^(a+b)2-2ab,x2+-^-^(x+-)2-2x-=(^-^)2—4=(3>-4=25-4=21

x2XXXX

【結(jié)束】

13、公倍數(shù)公約教基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】

公約數(shù)與公倍數(shù)的相關(guān)概念：

(1心約數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一

個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。

(2公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的個(gè)

大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)。

要點(diǎn)提示

在有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的問題中，常用到以下結(jié)論：

(1)如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1。最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)的乘積。

(2)如果兩個(gè)數(shù)中，較大的數(shù)是較小的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，

較大數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

(3)兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質(zhì)數(shù)。

(4)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

【結(jié)束】

19、公倍數(shù)公約數(shù)例1：先將線段AB分成20等分，線段上的等分點(diǎn)用標(biāo)注，再將線

段分成21等分，等分點(diǎn)用“O”標(biāo)注(AB兩點(diǎn)都不標(biāo)注)，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)和"O”之間

的最短處為2厘米，問線段AB的長度為多少？()

A.2460厘米B.1050厘米C.840厘米D.680厘米

【答案】C

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】公倍數(shù)公約數(shù)

解析：20到21的最小公倍數(shù)是420,所以AB的長度為420X2=840厘米

【結(jié)束】

20、整除問題基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】

相關(guān)概念

整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b*0)，除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b

整除(也可以說b能整除a)。

除盡：數(shù)a除以數(shù)b(b#0).商是整數(shù)或有限小數(shù)而沒有余數(shù)時(shí)，叫做數(shù)a能被數(shù)b除盡,

或叫做數(shù)b能除盡數(shù)a。

約數(shù)、倍數(shù)：如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù).b就叫做a的約數(shù)。

一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的.其中最小的一個(gè)約數(shù)是1，最大的一個(gè)是它本身。

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

整除規(guī)則

1：任何數(shù)都能被1整除。

2:個(gè)位上是2、4、6、8、。的數(shù)都能被2整除。

3:每一位上數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除。

4：最后兩位能被4整除的數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被4整除。

51個(gè)位上是?；?的數(shù)都能被5整除。

6:一個(gè)數(shù)只要能同時(shí)被2和3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被6整除。

7:把個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被

7整除。

8:最后t位能被8整除的數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被S整除。

9:每一位上數(shù)字之和能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就能被9整除。

10:若一個(gè)整數(shù)的末位是0,則這個(gè)數(shù)能被10整除。

11:若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整

除。

12:若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。

【結(jié)束】

22、整除問題例1：在1—300則300個(gè)自然數(shù)中，不能被7和9整除的數(shù)共有()個(gè)

A.42B.4C.33D.229

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】整除規(guī)則

能被7整除的有42個(gè)，能被9整除的有33個(gè)，能被63整除的有4個(gè)，所以不能被7和

9整除的個(gè)數(shù)為300-(42+33)+4=229

【結(jié)束】

23、數(shù)碼問題基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】

相關(guān)概念：逋過計(jì)算理解數(shù)碼在書頁中的理論知識(shí)。

頁碼是一位數(shù)時(shí)，每頁都是一個(gè)數(shù)碼。例如：第六頁的數(shù)碼就是1;第七頁也是1;

頁碼是兩位數(shù)時(shí)，每頁都是兩個(gè)數(shù)碼。例如：第二十頁的數(shù)碼是2.

頁碼是三位數(shù)時(shí)，每頁都是三個(gè)數(shù)碼。例如：第一百六十頁的數(shù)碼是3.

在這里我們要尋找一些規(guī)律：

當(dāng)書的頁碼是9頁是，它的數(shù)碼是9.

當(dāng)書的頁碼是99頁時(shí)，它的數(shù)碼是189.

當(dāng)書的頁碼是999頁時(shí)，它的數(shù)碼是2889.

這樣我們就可以通過比較數(shù)碼的大小來粗略的判斷頁碼是幾頁、幾十頁還是幾百頁，從而

加快做題的速度。(公務(wù)員考試一般不會(huì)超過千頁，同學(xué)們要放心?！?/p>

【結(jié)束】

24、數(shù)碼問題例1：一本故事書的頁碼，在排版時(shí)必須用972個(gè)數(shù)碼，問：這本書共有多少

頁？

【答案】360。

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】一位數(shù)頁數(shù)：9頁(123-9),二位數(shù)頁數(shù):90頁(10111213—99)假設(shè)

100頁以后有X頁，所以lx9+2x90+3xx=972即x=261.所以總共的頁數(shù)是

9+90+261=360?

【結(jié)束】

25、數(shù)碼問題例2：將自然數(shù)按從小到大的順序無間隔地排成一個(gè)大數(shù)：123456789101112…

問：左起第2000位上的數(shù)字是多少？

【答案】是0。

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】本題類似于“用2000個(gè)數(shù)碼能排多少頁的頁碼？”因?yàn)?2000—189戶3=

603……2,所以2000個(gè)數(shù)碼排到第99+603+1=703(頁)的第2個(gè)數(shù)碼“0”.所以本題的第

2000位數(shù)是0。

【結(jié)束】

26、數(shù)碼問題例3：從力”一直寫到"701”：12345678910111213...699700701。共有多少個(gè)阿

拉伯?dāng)?shù)字？

【答案】1995.

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】

解法一：

第1到第9,字符數(shù)有：9個(gè)

第10到第99,字符數(shù)有:90x2=180個(gè)

第100到第701,字符數(shù)有：(701-99)x3=1806個(gè)

因此數(shù)字有:9+180+字06=1995個(gè)

解法二：

由于一直是寫道701,因此從100開始都是3個(gè)字符

因此我們將不是3個(gè)字符的1位數(shù)、2位數(shù)都補(bǔ)充成3位數(shù)

我們看，第1到第9,補(bǔ)充成3位數(shù)的話就是001——009,也就多了2*9=18個(gè)數(shù)字

10到99,補(bǔ)充成3位數(shù)的話就是010——099,也就多了1*90=90個(gè)數(shù)字

因此就多了：18+90=108個(gè)數(shù)字

所以701頁的書本的字符數(shù)有:701x3-108=(701-36)'3=1995個(gè)

【結(jié)束】

27、分段計(jì)算問題

【答案】

是指就是代數(shù)中的分段函數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是正確的找出分段點(diǎn)，明確各分區(qū)間內(nèi)數(shù)

值間的關(guān)系。

【結(jié)束】

28、分段計(jì)算例1：將一根繩子連續(xù)時(shí)折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共6刀。問這樣

操作之后，原來的繩子被剪成了幾段？()

A.18B.49C.42D.52

【答案】B

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】分段計(jì)算問題

剪6刀應(yīng)該是7X8=56段，但是原來還有7斷連續(xù)，所以是56-7=49段，所以選B.

【結(jié)束】

29、分段計(jì)算例2：某原料供應(yīng)商對(duì)購買其原料的顧客實(shí)行如下優(yōu)惠措施：①一次購買金額

不超過1萬元，不予優(yōu)惠；②一次購買金額超過1萬元，但不超過3萬元，給九折優(yōu)惠；③

一次購買金額超過3萬元，其中3萬元九折優(yōu)惠，超過3萬元部分八折優(yōu)惠。某廠因庫容原

因，第一次在該供應(yīng)商處購買原料付款7800元，第二次購買付款26100元，如果他一次購

買同樣數(shù)量的原料，可以少付多少元？()

A.1460元B.1540元C.3780元D.4360元

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】第一次付款7800元，因此第?次購買的原料價(jià)值7800元(不打折)；第二

次付款26100元，因此第二次購買的原料價(jià)值26100+0.9=29000元(打九折)；所以兩次購

買的原料總價(jià)值為7800+29000=36800元。①0-30000元的部分，應(yīng)付30000x90%=27000

元；②30000?36800元的部分，應(yīng)付6800乂80%=5440元。

綜上，總共少支付(7800+26100)-(27000+5440)=1460元。

【結(jié)束】

比例問題—基礎(chǔ)學(xué)習(xí)

直接列出比例式求解問題

用比例法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用幽

比例問更

兩個(gè)數(shù)量同時(shí)發(fā)生增減變化的比例問題

復(fù)雜比例問題

一、解答題

1、比例問題的基礎(chǔ)知識(shí)

【答案】

L比和比例主要包括：比、比例、比的基本性質(zhì)、比的化藺、比例尺、正反比例；

2：比表示兩個(gè)數(shù)相除.兩個(gè)數(shù)相除的結(jié)果，叫做比值；

3：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例.明確：有兩個(gè)比，且比值相等，就能組成比例；反之，

如果是比例，就一定有兩個(gè)比，且比值相等.(比例由兩個(gè)比組成，有四個(gè)數(shù)，是一個(gè)等式；

比是一個(gè)比，有兩個(gè)數(shù)，不是等式)；

4：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積.這就是比例的基本性質(zhì)；.

5：噌加(擴(kuò)大)與誠少(縮小)趨勢(shì)相同的關(guān)系為正比例，增加(擴(kuò)大)與減少(縮小)

趨勢(shì)相反的關(guān)系為反比例

6：解決好比例問題，關(guān)腱要從兩點(diǎn)入手：第一，“和誰比第二，“噌加或下降多少

【結(jié)束】

2、直接列出比例式求解例1:車過河繳費(fèi)3元，馬過河繳費(fèi)2元，人過河繳費(fèi)1元。某天

過河的車數(shù)：馬數(shù)=2：9,馬數(shù)比人數(shù)=3：7,共收渡費(fèi)315元，則車、馬、人的數(shù)目分別是。

()

A.16,63,145B.16,63,147C.14,63,147D.16,63,156

【答案】C

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】車：馬：人=2：9：21,收費(fèi)比為(3X2)：(2X9)：(1X21)=2：6：7,

所以這天過的車數(shù)是315X2+(2+6+7)+3=14,馬有14+2X9=63匹，人有14+2X21=147

人。

【結(jié)束】

3、直接列出比例式求解例2：兩隊(duì)參加競賽，甲隊(duì)平均分是13.06,乙隊(duì)平均分是10.2,

兩隊(duì)總平均分是12.02,那么，兩隊(duì)人數(shù)比為()。

A.1：1B.1：2C.3：7D.7：4

【答案】D

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】兩隊(duì)人數(shù)比為(12.02—10.2)：(13.06—12.02)=1.82：1.04=7：4。

【結(jié)束】

4、直接列出比例式求解例3：已知;a:b=21:4,a:c=7:6,求a:b:c是多少?

【答案】a:b:c是21:4：18o

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】a:b=21:4,a:c=7:6=21：18,故a:b:c=2點(diǎn)4：18

【結(jié)束】

5、直接列出比例式求解例4：科技組與作文組人數(shù)的比為9：10,作文組與數(shù)學(xué)組人數(shù)的

比為5：7,求科技組、數(shù)學(xué)組、作文組的人數(shù)比是多少？若數(shù)學(xué)組與科技組共有69人，求

作文組的人數(shù)？

【答案】科技組、數(shù)學(xué)組、作文組的人數(shù)比是9：14：10,作文組有30人。

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】科：作=9：10,作：數(shù)=5：7=10：14,故，科：數(shù)：作=9：14：10,

69+（9+14）=3,3X10=30（人）

【結(jié)束】

6、直接列出比例式求解例5：小張開車從甲地到乙地送貨，從乙地返回甲地時(shí)的速度是去

時(shí)的速度的3倍，時(shí)間減少了40分鐘。小張送貨時(shí)從甲地到乙地用了多少分鐘？

A.60分鐘B,50分鐘C.70分鐘D.65分鐘

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】設(shè)甲地到乙地用時(shí)X,X:（X-40）=l:3,求的X=60

【結(jié)束】

7、用比例法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例1：有三箱水果共重60千克，如果從第一、二箱中都取出3千

克水果放入第三箱中，則第一、二、三箱水果重量的比是1：2：3,求三箱水果原來分別重

多少千克？

【答案】第一、二、三箱分別有水果13千克、23千克、24千克。

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】現(xiàn)在第一、二、三箱分別有水果:

1

60x=10（千克）

1+2+3

2

60x=20（千克）

1+2+3

3

60x=30（千克）

1+2+3

從而，原來第一、二、三箱分別有水果13千克、23千克、24千克。

【結(jié)束】

8、用比例法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例2：A、B、C是三個(gè)順次咬合的齒輪，已知齒輪A旋轉(zhuǎn)7圈時(shí),

齒輪C旋轉(zhuǎn)6圈。如果A的齒數(shù)為42,那么C的齒數(shù)是多少？如果B旋轉(zhuǎn)7圈，C旋轉(zhuǎn)1

圈，那么A旋轉(zhuǎn)8圈時(shí)，B旋轉(zhuǎn)了多少圈？

【答案】如果A的齒數(shù)為42,那么C的齒數(shù)是49；A旋轉(zhuǎn)8圈時(shí)，B旋轉(zhuǎn)48圈。

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】由題設(shè)知，A:C=7：6,A：C=-：-=6：7=42：49,即若A的齒數(shù)為

76

42,則C的齒數(shù)為49。B:C=7：1,從而A:B:C=7:42:6,由此，A:B=7:42=1:6=8:48。

即A旋轉(zhuǎn)8圈時(shí)，B旋轉(zhuǎn)48圈。

【結(jié)束】

9、用比例法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例3：有紅、黃、白三種球共160個(gè)。如果取出紅球的4，黃球

111113

的一，白球的一，則還剩120個(gè)；如果取出紅球的―，黃球的一，白球的—，則剩116個(gè),

45543

問原有黃球，紅球，白球各幾個(gè)？（）

A.30,45,85B.45,75,40C.40,45,75D.75,40,45

【答案】C

22

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】第二次取出的紅球比第一次少一，白球比第一次多一，則白球總數(shù)

Xr-il5130—2x15

比紅球多30個(gè)。設(shè)紅球數(shù)量為X,列方程：一+^~^+=40,得到x=45,白球有

354

75,黃球有40個(gè)，本題亦可由倍數(shù)快速求解。

【結(jié)束】

2?

10、用比例法解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題例4：有甲、乙兩個(gè)兩位整數(shù)，甲數(shù)的一等于乙數(shù)的一，那么

73

這兩個(gè)兩位整數(shù)的差最多是（

A.49B.56C.63D.70

【答案】B

2234

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】甲數(shù)的一=乙數(shù)的一，甲數(shù)的一=乙數(shù)，甲數(shù)一乙數(shù)=甲數(shù)的一。100

73477

內(nèi)的7的倍數(shù)最大是98.兩個(gè)兩位整數(shù)的差=98X—=56,故應(yīng)選擇B。

7

【結(jié)束】

11、兩個(gè)數(shù)量同時(shí)發(fā)生增減變化的比例例1：A和B兩個(gè)數(shù)的比是8:5,每一數(shù)都減少34

后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).

【答案】A,B兩數(shù)分別是136與85.

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】減少相同的數(shù)34,因此未減時(shí)，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變,

解題時(shí)要充分利用這一點(diǎn).

8：5,就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2：1,兩者相

差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以3,即2：1=6：3,使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）

或5-3=2（份）.因此，每份是34：2=17.A數(shù)是17X8=136,B數(shù)是17X5=85.

【結(jié)束】

12、兩個(gè)數(shù)量同時(shí)發(fā)生增減變化的比例例2：原有男、女同學(xué)共325人，新學(xué)年男生增加了

25人，女生減少了，總?cè)藬?shù)增加了16人，那么現(xiàn)在有男同學(xué)()人

A.170B.110C.160D.190

【答案】A

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】設(shè)男生X人，則女生325-X人。列出方程式：

(X+25)+[325-(325-X)/20]=325+16,求得：X=170

【結(jié)束】

13、兩個(gè)數(shù)量同時(shí)發(fā)生增減變化的比例例3：甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是5：4.如果甲少得22.5

分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是5：7.甲、乙原來各得多少分？

【答案】甲原先得90(分)，乙得72(分).

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后

要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是

36,我們讓變化前后都按36份來算.

5：4=(5X4):(4X4)=20:16.

5：7=(5X3):(7X3)=15：21.

甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來

甲得22.5+5X20=90(分),

乙得22.5-?5X16=72(分).

答：原來甲得90分，乙得72分.

我們?cè)俳榻B一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.

解二：設(shè)原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.

(5x-22.5)：(4x+22.5)=5：7,即5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12X22.5,

x=18.甲原先得分18X5=90(:分)，乙得18X4=72(分).

【結(jié)束】

14、兩個(gè)數(shù)量同時(shí)發(fā)生增減變化的比例例4：有一袋子球，其中紅球占!，然后再放入8個(gè)

53

紅球后，紅球占一，求現(xiàn)在袋子中共有多少個(gè)球？

14

【答案】現(xiàn)在共有球224個(gè).

【解題關(guān)鍵點(diǎn)】本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒有變.把1