第十一章不等式與不等式組11.1.2節(jié)不等式的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025（第一課時）1.理解并掌握不等式的性質(zhì).2.在探索不等式的性質(zhì)的過程中，體會所應(yīng)用到的歸納和類比方法.對于某些簡單的不等式，我們可以直接得出它的解集.例如：不等式x+3>6的解集是x>3，不等式2x<8的解集是x<4.

與解方程需要依據(jù)等式的性質(zhì)一樣，解不等式需要依據(jù)不等式的性質(zhì).與等式類似，關(guān)于不等式，有以下兩個基本事實.(1)交換不等式兩邊，不等號的方向改變:如果a>b，那么b<a.例如，由5>x，可得x<5.知識點

不等式的性質(zhì)(2)不等關(guān)系可以傳遞：如果a>b，b>c，那么a>c.例如，由y>x，x>-3，可得y>-3.知識點

不等式的性質(zhì)類比等式的性質(zhì)，你能猜想不等式有哪些性質(zhì)嗎?知識點

不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1

等式兩邊加（或減）同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.等式的性質(zhì)2

等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?先考慮不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)的情況.知識點

不等式的性質(zhì)探究用“>”或“<”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結(jié)其中的規(guī)律:知識點

不等式的性質(zhì)①5＞35+2

3+2，

5+0

3+0,

5+(-2)

3+(-2)，；②-1＜3

-1+4

3+4，-1+0

3+0,-1+(-7)

3+(-7)．＞＞＞＜＜＜規(guī)律：當(dāng)不等式兩邊加或減同一個數(shù)時，不等號的方向不變．由于減法可以轉(zhuǎn)化為加法，因而這個規(guī)律對于不等式兩邊減去同一個數(shù)的情形仍然成立.知識點

不等式的性質(zhì)知識點

不等式的性質(zhì)一般地，不等式有如下性質(zhì):不等式的性質(zhì)1

不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變.符號語言:如果a>b，那么a±c>b±c.接下來，考慮不等式兩邊乘(或除以)同一個不為0的數(shù)的情況.知識點

不等式的性質(zhì)知識點

不等式的性質(zhì)探究

①6＞26×4

2×4，6÷2

2÷2；②-2＜4

-2×2

4×2，-2÷2

4÷2；③-4＜-2

-4×2

-2×2，-4÷2

-2÷2.＞＞＜＜＜＜規(guī)律：當(dāng)不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)時，不等號的方向不變.知識點

不等式的性質(zhì)

知識點

不等式的性質(zhì)探究

①6＞26×(-4)

2×(-4)，6÷(-2)

2÷(-2)；②-2＜4

-2×(-2)

4×(-2)，-2÷(-2)

4÷(-2)；③-4＜-2

-4×(-2)

-2×(-2)，-4÷(-2)

-2÷(-2).<<>>>>規(guī)律：當(dāng)不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向改變.知識點

不等式的性質(zhì)

注意：兩邊同乘的數(shù)不能是0，若兩邊同乘0，則不等式變?yōu)榈仁?=0；兩邊同時除以的數(shù)也不能是0，因為0作為除數(shù)無意義.比較不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，它們有什么異同?知識點

不等式的性質(zhì)類別不同點相同點不等式等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向要改變.兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，等式仍然成立.(1)兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等式和等式仍成立；(2)兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等式和等式仍成立.例1已知a>b，比較下列兩個式子的大小，并說明依據(jù).(1)a+3與b+3；(2)-2a與-2b.解:(1)因為a>b，所以a+3>b+3(不等式的性質(zhì)1).(2)因為a>b，所以-2a<-2b(不等式的性質(zhì)3).知識點

不等式的性質(zhì)

>><>加同一個數(shù)，不等號方向不變減同一個數(shù)，不等號方向不變乘同一個負數(shù)，不等號方向改變除以同一個正數(shù)，不等號方向不變

C除以同一個負數(shù)，不等號方向改變

解：∵不等式的兩邊都除以(1-a)后不等號的方向發(fā)生了改變，∴1-a<0，∴a>1，∴|a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1.不等式的性質(zhì)對稱性:如果a>b，那么b<a傳遞性:如果a>b，b>c，那么a>c性質(zhì)1:如果a>b，那么a±c>b±c

基本事實第十一章不等式與不等式組11.1.2節(jié)不等式的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)（七年級下）老師：孫老師授課時間：2025（第二課時）1.進一步理解不等式的性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)解簡單的不等式.2.會在數(shù)軸上表示不等式的解集，體會數(shù)形結(jié)合思想.問題

不等式的性質(zhì)有哪些?1.不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變.2.不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.3.不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變.解方程需要依據(jù)等式的性質(zhì)，同樣解不等式也需要依據(jù)不等式的性質(zhì)進行.本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)怎樣利用不等式的性質(zhì)解不等式.思考解不等式的最終目標(biāo)是把不等式轉(zhuǎn)化成什么形式？與解方程類似，解不等式要借助不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化為x>m或x<m(m為常數(shù))的形式.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用

知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用分析：解不等式，就是要借助不等式的性質(zhì)使不等式逐步化為x>m

或x<m(m

為常數(shù))的形式.例1(1)x-7＞26；知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用解：(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊加7，不等號的方向不變，所以x-7+7>26+7，即x>33.這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示.

033例1(2)3x<2x+1；知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用01解：(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊減2x，不等號的方向不變，所以3x-2x<2x+1-2x，即x<1.這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示.

知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用075

例1(4)-4x＞3.

知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用

0除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b這樣的式子，也經(jīng)常用來表示兩個數(shù)量的大小關(guān)系，它們也是不等式.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用“≥”“≤”這兩個符號表示什么意思？x≥3：x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符號“≥”讀作“大于或等于”也可以說是“不小于”；符號“≤”讀作“小于或等于”，也可以說是“不大于”.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用符號“≥”與“>”的含義有什么區(qū)別?“≤”與“<”呢?知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用>大于≥大于或等于<小于≤小于或等于a≥b或a≤b形式的不等式，具有與前面所說的不等式的性質(zhì)類似的性質(zhì).例如:如果a≥b，那么-2a≤-2b.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用你能想到生活中在哪里見到過“≥”“≤”這兩個符號嗎？知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用高速公路的限速標(biāo)志表示在此道路上行駛的汽車的最低車速應(yīng)為80km/h，最高車速應(yīng)為100km/h.如果用v(單位:km/h)表示汽車的速度，則v應(yīng)滿足：v≥80且v≤100，或表示為80≤v≤100.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用思考如果汽車所行駛道路的最高限速是120km/h，那么車速x應(yīng)滿足什么條件?知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用x≤120例2如圖，一個長方體形狀的魚缸長10dm，寬3.5dm，高7dm.若魚缸內(nèi)已有水的高度為1dm，現(xiàn)準(zhǔn)備向魚缸內(nèi)繼續(xù)注水.用V(單位:dm3)表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍并在數(shù)軸上表示.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用10dm3.5dm7dm分析：問題中的不等關(guān)系是:已有水的體積與新注入水的體積之和不能超過魚缸的容積.知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用解:因為“已有水的體積+新注入水的體積V≤魚缸的容積”，所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7，解得V≤210.又由于新注入水的體積V不能是負數(shù)，所以V的取值范圍是0≤V≤210.在數(shù)軸上表示V的取值范圍如圖所示.0210在表示0和210的點上畫實心圓點，表示取值范圍包含這兩個點所對應(yīng)的數(shù).利用數(shù)軸表示不等式的解集通常有以下四種情況(設(shè)a>0):常見不等式的解集在數(shù)軸上的表示：知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用不等式的解集x>ax<ax≥ax≤a數(shù)軸表示0a0a0a0a知識點

不等式性質(zhì)的應(yīng)用用數(shù)軸表示不等式的解集的步驟：1.定邊界點：在數(shù)軸上要標(biāo)出原點和邊界點，有等號邊界點處畫實心圓點(表示包括這一點)，無等號邊界點處畫空心圓圈(表示不包括這一點).2.定方向：大于向右，小于向左.

20

解：(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊減7x，不等號的方向不變，所以5x-6-7x≤7x-4-7x，即-2x-6≤-4.根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊加6，不等號的方向不變，所以-2x-6+6≤-4+6，即-2x≤2.

0-12.

(1)如圖1，此不等式的解集為

，非正整數(shù)解為

；

(2)如圖2，此不等式的解集為

，最大整數(shù)解為

.

x>-2-1，0x<0-1圖1圖23.“春種一粒粟，秋收萬顆子”，唐代詩人李紳這句詩中的“粟”即谷子(去皮后則稱為“小米”)，被譽為中華民族的哺育作物.2024年，某省谷子種植面積已達324萬畝，平均