課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA008學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期

課題用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）

書名：選擇性必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)（A版）

教科書

出版社：人教社出版日期：年月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師李健北京景山學(xué)校

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．

能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理．

教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決空間圖形的平行問題．

教學(xué)難點(diǎn)：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量

問題．

教學(xué)過程

教

學(xué)

時(shí)間主要師生活動(dòng)

環(huán)

節(jié)

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何用空間向量表示空間中的直線和平面，我們發(fā)現(xiàn)，

直線的方向向量和平面的法向量是表示和確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量.

上學(xué)期，我們還學(xué)過空間中直線、平面的各種位置關(guān)系，

你能用直線的方向向量、平面的法向量的位置關(guān)系刻畫空間直線、平面

的平行、垂直關(guān)系嗎？進(jìn)一步將立體幾何與空間向量聯(lián)系起來.我們先看平行

問題.

問題1：由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量有什

么關(guān)系呢？

如圖，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，

如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的

方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以l1//l2u1//u2，而且由向量的共

線定理可以得到

l1//l2u1//u2R,使得u1?u2.

問題2：由直線與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法

向量有什么關(guān)系呢？

如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，l.

如果l//，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的定義可知，un；

反過來，如果un，且l，那么l//.所以l//un.由向量的

數(shù)量積運(yùn)算，可以得到l//unun0.

問題3：由平面與平面的平行關(guān)系，可以得到這兩個(gè)平面的法向量有什么

關(guān)系呢？

如圖，設(shè)n1，n2分別是平面,的法向量.由法向量的定義可知，如果

兩個(gè)平面平行，那么它們的法向量一定平行；反過來，如果兩個(gè)平面的法向量

平行，那么這兩個(gè)平面也平行.所以n1//n2.由共線向量定理，可以得

到

//n1//n2R,使得n1α//βn?2.

下面我們看一個(gè)例題，這個(gè)例題是前面我們學(xué)習(xí)的一個(gè)判定定理，當(dāng)時(shí)沒

有給出證明，

例1證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

已知：如圖，a,b,abP,a//,b//.

求證：//.

分析：證明兩個(gè)平面平行，如果我們用兩個(gè)平面平行的定義，就是要證

明這兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，要用反證法，有難度.這也是前面學(xué)習(xí)時(shí)沒有給出

證明的原因.今天，我們學(xué)習(xí)了用向量的位置關(guān)系刻畫平面的位置關(guān)系，我們

考慮用向的方法解決這個(gè)問題，從而完善立體幾何定理的學(xué)習(xí).用向量法證明

兩個(gè)平面平行，就是要證明這兩個(gè)平面的法向量平行，或者這兩個(gè)平面是以同

一個(gè)向量為法向量的.下面我們就沿著這條思路證明這個(gè)定理.

設(shè)平面的法向量為n，平面內(nèi)的兩條相交直線a，b的方向向量分別

為u，v，由已知條件可得

a//unun0,

b//vnvn0.

即n與平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平

面β內(nèi)的任意向量都可以由u，v的線性組合表示.因此可以通過向量的運(yùn)算證

明n與平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都垂直，即n也是平面的法向量.所以

.

證明：設(shè)平面的法向量為n，直線a，b的方向向量分別為u，v.

?//?

因?yàn)閍//,b//，所以u(píng)⊥n，v⊥n，

所以u(píng)n0,vn0.

因?yàn)閍,b,abP，所以對(duì)任意點(diǎn)Q，由平面向量基本定

理可知，存在x,yR，使得PQxuyv.

從而nPQnxuyvxnuynv0.即nPQ.

又因?yàn)镻Q是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，

所以，向量n也是平面β的法向量.

所以//.

例1小結(jié)：在解決問題過程中，通過向量運(yùn)算，我們可以證明平面α的法向量

與PQ垂直，即與平面β內(nèi)的任意一個(gè)向量都垂直.所以，平面α的法向量也就

是平面β的法向量.這樣，我們證明了這兩個(gè)平面平行.

在這個(gè)過程中，我們通過向量的運(yùn)算，證明垂直關(guān)系.由有限個(gè)垂直關(guān)系，

得到直線與平面內(nèi)所有的直線都垂直.這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法.

向量法可以解決很多立體幾何問題，我們?cè)倏匆粋€(gè)問題..

例2：如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C

上是否存在點(diǎn)P，使得A1P//平面ACD1？

分析：問題是是否存在滿足條件的點(diǎn)P，如何找呢？P在哪兒？

根據(jù)題目條件，點(diǎn)P是否在B1C上？那么，如何表示P？

一般情形下，我們假設(shè)線段B1C上存在點(diǎn)P，使得A1P//平面ACD1.

這樣，根據(jù)向量共線定理，我們有存在，使得.

如何確定?

λ∈??