（二）教學(xué)設(shè)計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA010學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期

課題基本不等式（1）

名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師馬琳北京市第二十二中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎東城區(qū)研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.初步理解基本不等式及其證明方法和幾何解釋；

2.通過利用基本不等式求簡單的最值問題，使學(xué)生理解利用基本不等式解決最值問題的方法；

3.通過對基本不等式證明方法分析法的認識以及利用基本不等式求簡單的最值問題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)

學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).

教學(xué)重點：理解基本不等式及其證明方法.

教學(xué)難點：基本不等式的幾何解釋以及用基本不等式解決簡單的最值問題.

教學(xué)過程

時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動

教師:我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用.那么，是否也有一些不等

式，他們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個

問題.

問題1：前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：有

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.22

??,?∈?,?+?≥

教師:請大家觀察,這個不等式左邊的平方結(jié)構(gòu)要求比較高，使用不方便，能否換成

2??,?=?

一個數(shù)，又因為替換的是個平方數(shù)，所以應(yīng)該是個正數(shù)。那么這里特別地，如果

3分鐘問題引入我們用分別代替上式中的可以得到怎樣的式子？

?>

師生活動：學(xué)生獨立計算后回答。

0,?>0?,??,?

教師總結(jié)：對于變形為①當(dāng)且僅當(dāng)時，等號

?+?

??>0,?>0,?+?≥2????≤2?=?

成立．通常我們稱不等式①為基本不等式.其中叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做

?+?

正數(shù)的幾何平均數(shù)．2?,???

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

?,?

問題2：前面，我們通過考察的特殊情形獲得了基本不等式，你能否

直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本2不等2式呢？

?+?≥2??

師生活動：學(xué)生可能根據(jù)兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，用作差比較法證明上式.教師

在肯定學(xué)生的做法之后，給學(xué)生簡單介紹分析法并且引導(dǎo)學(xué)生用分析法寫出證明過程.

教師:分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求

使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已

6分鐘分析法證明

知條件、定理、定義、公理）為止.

分析法解題過程如下:

要證①

?+?

只要證??≤2②

要證②，只要證.③

2??≤?+?

2??????≤0

要證③，只要證0④

要證④，只要證20⑤

?(???)≤

顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)2時，⑤中的等號成立.

(???)≥

我們可以看到，只要把上面的過程倒過來，就可以直接推出基本不等式了.

?=?

追問（1）：請同學(xué)們想一想上述證明中每一步推理的依據(jù)是什么？教師引導(dǎo)由②①，

由③②由④③，由⑤④的依據(jù).

?

教師總結(jié)：②①（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個正數(shù)，所得不等式與原不等式

?,??

同向）

?

③②（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同時加上正數(shù)（），所得不等式與原不等式同向）

④③（運用完全平方差公式打開計算）

??+?

⑤④（根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以一個負數(shù)，所得不等式與原不等式反向）

?

顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，⑤中的等號成立.

?

追問（2）：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？

?=?

師生活動：學(xué)生討論后回答.

教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋

求使他成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件

（已知條件、定理、定義、公理）為止.

追問（3）:根據(jù)我們的證明過程，說說分析法的證明格式是怎樣的？

師生活動：學(xué)生思考后回答.

教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以

分析法在書寫過程中必須有相應(yīng)的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……”“只要

證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個明顯成立的條件之后，指出顯然……成立。

下面我們一起來看問題3.

同學(xué)們,經(jīng)過從前面基本不等式的代數(shù)解釋,你是否能聯(lián)想

到從幾何角度基本不等式也有背景對應(yīng)呢?下面我們一起來探

究一下?

問題3：

在圖1中，是圓的直徑，點是上一點，

過點做垂直于的弦，連接.你能在這個圖形中嘗

???????=?,??=?.

ab

試找出?和??ab所?對?應(yīng)的是哪??條,?線?段嗎?進而得出基本不

2

等式的幾何解釋嗎？

5分鐘幾何解釋

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考后回答，可證,因而。由于

小于或等于圓半徑，用不等式表示為????～??????=??

?+?

?顯?然，當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即當(dāng)??≤時，2上述不等式的等號成立.圖1

?=?

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)圓的半徑長等于，,

?+?

所以基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任意一條弦”得到它的幾何2解釋?，?當(dāng)=且?僅?

當(dāng)弦過圓心時，二者相等.通過基本不等式的幾何解釋,希望同學(xué)們能借助圖形記住基本

不等式的結(jié)構(gòu)特征,特別是不等號的方向.

前面我們知道了基本不等式的內(nèi)容、證明方法和幾何解釋，下面我們利用基本不等式

5分鐘簡單應(yīng)用

來解決一些簡單的最值問題.請看下面的例題.

例1已知求的最小值.

1

追問（1）：?本>題0,中要?+求?最小值的代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點？是否可以利用基本不等式求

的最小值？

1

?師+生?活動：學(xué)生思考后回答.

教師總結(jié)：本題中要求的代數(shù)式是與和的形式，而且，由于是與的算

1111

?????=1?+???

術(shù)平均數(shù)的2倍，而后者的幾何平均數(shù)是一個定值，所以可以利用基本不等式求

1

解.下面是解答過程．???

解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立

1112

因此所求?的>最0小值是?2+.?≥2???=2?=??=1,?=1

追問（2）：在上述解答過程中，是否必須說明“當(dāng)且僅當(dāng)，即

12

時，等號成立”？?=??=1,?=

師生活動：學(xué)生討論后回答.

1

教師總結(jié)：這是為了說明“2”是的一個取值。

1

?+?

那么請同學(xué)們再想一想，當(dāng)時，成立嗎？這時能說是（

11

）的最小值嗎？?0<2?+?≥?0?0?+??>

師生活動：學(xué)生思考后回答.

0

教師總結(jié)：當(dāng)然是不能，因為的最小值，就是要求出一個使

11

?+??0=?0+?0,??>

都有如果時，找不到對應(yīng)的可以取到．

1

0追,問（3?）+：通?≥過?本0.例的?解0答<，2你能說說滿足什么條?件能夠利?用0基本不等式求最小值呢？

師生活動：學(xué)生討論后回答.

教師總結(jié)：如果兩個正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個數(shù)相等時，可以求得它們的和的最小

值.

例2已知，都是正數(shù)，求證：

（1）如果積等于定值,那么當(dāng)時，和有最小值;

??

（2）如果和??等于定?值,那么?當(dāng)=?時，?積+?有最小值2?.

12

師生活動：師?生+一?起分析后?，鼓勵學(xué)生?=用?自然語言?把?兩個問題4連?在一起說，能用自己

的話表達也是對結(jié)論的進一步理解。并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善.

證明：（1）因為，都是正數(shù)，所以,當(dāng)積等于定值時，,所以

?+??+?

4分鐘簡單應(yīng)用

，當(dāng)且?僅當(dāng)?時，和2有≥最小??值?;??2≥??+

?（≥2）2當(dāng)?和等于?定=值?時，?+?=,所以2?，當(dāng)且僅當(dāng)時，