課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA017學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期第一學(xué)期

課題傾斜角與斜率

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師范方兵北京市第二中學(xué)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)：

1．初步了解直線的傾斜角和斜率的概念．

2．初步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，會(huì)求直線的傾斜角和斜率．

3．通過斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo)，經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，經(jīng)歷從特殊

到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

理解直線的傾斜角和斜率概念，初步掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式

教學(xué)難點(diǎn)：

直線的傾斜角、斜率概念的形成，兩點(diǎn)斜率公式的建構(gòu)

教學(xué)過程

教

學(xué)

時(shí)間主要師生活動(dòng)

環(huán)

節(jié)

在以往的幾何學(xué)習(xí)中，我們常常通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、

度量計(jì)算等方法研究幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，這種方法通常稱為

綜合法．本章我們采用一種新的方法——坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì)．坐標(biāo)

新法是解析幾何中最基本的研究方法．

2課解析幾何是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方

分鐘引法是：通過坐標(biāo)系，把幾何的基本元素——點(diǎn)和代數(shù)的基本對(duì)象——數(shù)（有

入序數(shù)對(duì)）對(duì)應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線（點(diǎn)的軌跡）的方程，從而把幾何

問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)．解析幾何的創(chuàng)立

是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，數(shù)學(xué)從此進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期，它為微積分的

創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ).

1

本章我們將在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置的幾何要素，建立

直線的方程，并通過直線的方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)

到直線的距離等.

我們知道，點(diǎn)是構(gòu)成直線的基本元素.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)用坐標(biāo)

表示，那么，直線如何表示呢？為了研究這個(gè)問題，我們需要弄清楚:

問題1確定一條直線位置的幾何要素是什么?對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的

一條直線l，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置?

教師講解：兩點(diǎn)以及一點(diǎn)和一個(gè)方向可以確定一條直線，由方向向量我

們可以知道，兩點(diǎn)確定一條直線可以歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線.

問題2如何表示直線的方向?

教師講解：在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定一條直線向上的方向?yàn)檫@條

直線的方向.因此，這些直線的區(qū)別在于它們的方向不同.如何表示這些直線

的方向？

我們看到，這些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所

探

成的角不同.因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向．

15究

當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方

分新

向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角（angleofinclination）．

鐘知

問題3當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角大小為多少?直線的傾斜

探

角的取值范圍是什么?

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線

的傾斜角α的取值范圍為

0°≤α<180°.

這樣，平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，而且方

向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程

度不同，傾斜角不相等.因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一

條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向．

問題4直線l的傾斜角α與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有什么內(nèi)在聯(lián)系?

教師講解：對(duì)于一個(gè)一般性命題，可以從特殊的情形來考慮.

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α．

(1)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)，P(，1)，α與點(diǎn)O，P的坐標(biāo)有什么

關(guān)系?

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(2)類似地，如果直線l經(jīng)過點(diǎn)P1(－1，1)，P2(，0)，α與點(diǎn)P1，P2

的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?

2

對(duì)于問題（1），如圖，

2

向量=（，1），且直線OP的傾斜角也為α．由正切函數(shù)的定義，有

?