高等數(shù)學-平面和直線_第1頁
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第4節(jié)一、平面及其方程二、直線及其方程三、兩直線及兩平面夾角平面與直線第七章第1頁①一、平面點法式方程設一平面經(jīng)過已知點且垂直于非零向稱①式為平面

點法式方程,求該平面

方程.法向量.量則有故第2頁例1.求過三點即解:取該平面

法向量為平面

方程.利用點法式得平面

方程第3頁此平面三點式方程也可寫成普通情況:過三點平面方程為說明:第4頁尤其,當平面與三坐標軸交點分別為此式稱為平面截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即第5頁二、平面普通方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面點法式方程此方程稱為平面普通任取一組滿足上述方程數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②平面,所以方程②圖形是法向量為方程.第6頁特殊情形?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

經(jīng)過原點平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸平面;平行于

z

軸平面;平行于xOy面平面;平行于yOz面平面；平行于zOx面平面.第7頁例2.

求經(jīng)過x軸和點(4,–3,–1)平面方程.例3.用平面普通式方程導出平面截距式方程.解:因平面經(jīng)過

x軸,設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程第8頁三、兩平面夾角設平面∏1法向量為

平面∏2法向量為則兩平面夾角

余弦為即兩平面法向量夾角(常指銳角)稱為兩平面夾角.第9頁尤其有以下結論：第10頁所以有例4.一平面經(jīng)過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設所求平面法向量為即法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且第11頁外一點,求例5.設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面距離d.,則P0

到平面距離為(點到平面距離公式)第12頁例6.解:

設球心為求內切于平面

x+y+z=1

與三個坐標面所組成則它位于第一卦限,且所以所求球面方程為四面體球面方程.故第13頁內容小結1.平面基本方程:普通式點法式截距式三點式第14頁2.平面與平面之間關系平面平面垂直:平行:夾角公式:第15頁備用題求過點且垂直于二平面和平面方程.解:

已知二平面法向量為取所求平面法向量則所求平面方程為化簡得第16頁三空間直線方程空間直線普通方程空間直線方程通慣用兩個平面交線來刻畫：第17頁第18頁空間直線點向式方程與參數(shù)方程第19頁第20頁第2

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