福建省龍巖市一級校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)（1+i）2（1﹣i）＝（）A．﹣2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．2﹣2i2．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則c＝（）A．1 B．2 C． D．3．（5分）若平面向量＝（1，﹣2）與的夾角是180°，且，則＝（）A． B． C． D．4．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cosB＝﹣，asinB＝bsinC，則該三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．（5分）已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a∥b，a∥α，則b∥α C．若a?α，b?α，且a∥β，b∥β，則α∥β D．α，β，γ三個平面最多可將空間分割成8個部分6．（5分）已知平面上四個點A（﹣1，2），B（1，1），C（2，1），D（3，4），則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．7．（5分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若點E，F(xiàn)分別滿足，平面EB1C1F將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（）A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：118．（5分）已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若（a﹣b）（sinA+sinB）＝csinB且b＝2，則△ABC外接圓面積的取值范圍是（）A．（π，2π） B．（π，4π） C． D．（2π，4π）二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)（i是虛數(shù)單位），下列選項正確的是（）A．關(guān)于x的方程x3﹣1＝0的解為x＝1 B．復(fù)數(shù)z＝i（2+3i2024）的虛部是5 C．若復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i，則 D．已知a，b∈R，若﹣a+i是關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個根，則a＝1，b＝2（多選）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列的結(jié)論中正確的是（）A．A＞B?cos2A＜cos2B B．A＞B?sin2A＞sin2B C．若△ABC是銳角三角形，sinA＞cosB恒成立 D．若O為△ABC的外心，且c＝7，b＝3，則（多選）11．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體A1D1AP的體積為定值 B．AP+PC的最小值為 C．A1P∥平面ACD1 D．當(dāng)直線A1P與AC所成的角最大時，四面體A1PCA的外接球的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣1+i|＝m的點Z的集合圍成的圖形面積為16π，則實數(shù)m＝．13．（5分）“圓錐容球”是指圓錐形的容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）．已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為．（容器壁的厚度忽略不計）14．（5分）在四面體ABCD中，，AB＝AD＝BD＝4，AB?平面α，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC的中點，現(xiàn)將四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)，則線段EF在平面α上投影長度的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復(fù)數(shù)z＝1+ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）．（1）若（1﹣2i）?z為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）若，且復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，求a的取值范圍．16．（15分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣3）．（1）當(dāng)（+）⊥（﹣）且x＞0時，求|﹣|；（2）當(dāng)＝（3，7），∥（+）時，求向量與的夾角的余弦值．17．（15分）如圖，梯形ABCD是圓臺O1O2的軸截面，E，F(xiàn)分別在底面圓O1，O2的圓周上，EF為圓臺的母線，∠DO1E＝60°，已知CD＝4，AB＝8，G，H分別為O2B，BF的中點．（1）證明：平面CGH∥平面O1O2FE．（2）若三棱錐C﹣GBH的體積為，求圓臺O1O2的側(cè)面積．18．（17分）如圖1，在平面四邊形PABC中，PA⊥AB，CD∥AB，CD＝2AB＝2PD＝2AD＝4．E是線段PC上靠近P端的三等分點，F(xiàn)是線段CD的中點，DE∩PF＝M．將△PDC沿CD折成四棱錐P﹣ABCD，連接PA，PB，BD，如圖2．（1）在圖2中，證明：PA∥平面BDE．（2）在圖1中，求的值．19．（17分）現(xiàn)有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們?nèi)坑蒙希孜惨来蜗噙B地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形．（1）求出所有可能的三角形的面積．（2）如圖，在平面凸四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝3，CD＝2，DA＝4．①當(dāng)∠A大小變化時，求四邊形ABCD面積的最大值，并求出面積最大時|BD|的值．②當(dāng)時，△ABD所在平面內(nèi)是否存在點P，使得|PA|+|PB|+|PD|達(dá)到最?。咳粲凶钚≈?，則求出該值；否則，說明理由．

參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）復(fù)數(shù)（1+i）2（1﹣i）＝（）A．﹣2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．2﹣2i【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：原式＝2i?（1﹣i）＝2i+2．故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則c＝（）A．1 B．2 C． D．【分析】由題意利用三角形內(nèi)角和定理可求B的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求解c的值．【解答】解：因為，，，所以B＝π﹣A﹣C＝，由正弦定理，可得＝，解得c＝2．故選：B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若平面向量＝（1，﹣2）與的夾角是180°，且，則＝（）A． B． C． D．【分析】由題意得且λ＜0，利用向量的模長公式即可求解．【解答】解：∵平面向量＝（1，﹣2）與的夾角是180°，∴和是相反向量，∴存在λ且λ＜0使，∴＝（λ，﹣2λ），又||＝，∴λ2+（﹣2λ）2＝，∴λ＝﹣，則＝（﹣，1）．故選：A．【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算和模長公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cosB＝﹣，asinB＝bsinC，則該三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【分析】結(jié)合正弦定理，即可求解．【解答】解：cosB＝﹣，則B＝，asinB＝bsinC，則sinAsinB＝sinBsinC，sinB≠0，則sinA＝sinC，∵A，C均為三角形的內(nèi)角，∴A＝C，即a＝c，故該三角形的形狀是等腰三角形．故選：B．【點評】本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是（）A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a∥b，a∥α，則b∥α C．若a?α，b?α，且a∥β，b∥β，則α∥β D．α，β，γ三個平面最多可將空間分割成8個部分【分析】對于A，a與b相交、平行或異面；對于B，b∥α或b?α；對于C，α與β平行或相交；對于D，α，β，γ三個平面兩兩垂直時，最多可將空間分割成8個部分．【解答】解：直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，對于A，若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α，故B錯誤；對于C，若a?α，b?α，且a∥β，b∥β，則α與β平行或相交，故C錯誤；對于D，α，β，γ三個平面兩兩垂直時，最多可將空間分割成8個部分，故D正確故選：D．【點評】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．6．（5分）已知平面上四個點A（﹣1，2），B（1，1），C（2，1），D（3，4），則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，先求出向量在向量上的投影的值，然后根據(jù)投影向量的概念算出答案．【解答】解：根據(jù)題意，可得＝（2，﹣1），＝（1，3），＝2﹣3＝﹣1，所以在向量上的投影等于＝＝，可得向量在向量上的投影向量為＝??（1，3）＝（，）．故選：A．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、投影向量的概念等知識，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若點E，F(xiàn)分別滿足，平面EB1C1F將三棱柱分成的左、右兩部分的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（）A．19：8 B．2：1 C．17：10 D．16：11【分析】先計算三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V＝Sh，再得出三棱臺AEF﹣A1B1C1的體積V1，從而根據(jù)，即可求解．【解答】解：設(shè)△ABC的面積為S，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高為h，則三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V＝Sh，因為，，所以EF∥BC，所以△AEF∽△ABC，且，所以△AEF的面積，則三棱臺AEF﹣A1B1C1的體積，從而，故．故選：A．【點評】本題考查幾何體體積的計算，屬于中檔題．8．（5分）已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c．若（a﹣b）（sinA+sinB）＝csinB且b＝2，則△ABC外接圓面積的取值范圍是（）A．（π，2π） B．（π，4π） C． D．（2π，4π）【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理，和差角公式進(jìn)行化簡，可得A＝2B，然后結(jié)合正弦定理及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得外接圓半徑的范圍，進(jìn)而可．【解答】解：因為（a﹣b）（sinA+sinB）＝csinB且b＝2，由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）＝bc，即a2﹣b2＝bc，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bccosA，即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理得sinB＝sinC﹣2sinBcosA，因為C＝π﹣（A+B），所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，則sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），因為△ABC是銳角三角形，所以，，所以，所以B＝A﹣B，則A＝2B，因為△ABC是銳角三角形，所以，，，所以，因為，所以，所以外接圓面積S∈（2π，4π）．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)（i是虛數(shù)單位），下列選項正確的是（）A．關(guān)于x的方程x3﹣1＝0的解為x＝1 B．復(fù)數(shù)z＝i（2+3i2024）的虛部是5 C．若復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i，則 D．已知a，b∈R，若﹣a+i是關(guān)于x的方程x2+bx+2＝0的一個根，則a＝1，b＝2【分析】選項A，求出方程x3﹣1＝0的解即可；選項B，化簡復(fù)數(shù)z，求解即可；選項C，直接求出模長即可；選項D，根據(jù)實系數(shù)一元二次方程根的情況，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【解答】解：對于A，方程x3﹣1＝0可化為（x﹣1）（x2+x+1）＝0，所以x﹣1＝0或x2+x+1＝0，所以x＝1和x＝﹣±i，選項A錯誤；對于B，復(fù)數(shù)z＝i（2+3i2024）＝i（2+3）＝5i，虛部是5，選項B正確；對于C，復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i，所以|z|2＝5，所以，選項C正確；對于D，若﹣a+i是方程x2+bx+2＝0的一個根，則﹣a﹣i也是方程的根，所以，解得或，選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列的結(jié)論中正確的是（）A．A＞B?cos2A＜cos2B B．A＞B?sin2A＞sin2B C．若△ABC是銳角三角形，sinA＞cosB恒成立 D．若O為△ABC的外心，且c＝7，b＝3，則【分析】A中，由二倍角余弦公式可得cos2A＝1﹣2sin2A，cos2B＝1﹣2sin2B，在三角形中，因為A＞B，由正弦定理可得sinA＞sinB＞0，進(jìn)而可得sin2A＞sin2B，進(jìn)而可得cos2A，cos2B的關(guān)系，同理，由sin2A＞sin2B，可證得A＞B，判斷出A選項的真假；B中，當(dāng)A為鈍角時，sin2A＜0，判斷出B選項的真假，C中，由銳角三角形，可得A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，進(jìn)而可得sinA與cosB的關(guān)系，判斷出C選項的真假；D中，設(shè)BC的中點D，由向量的關(guān)系及O為三角形的外心，可得?＝（+）?＝?+?＝（+）?（﹣）＝（2﹣2），由題意可得它的值，判斷出D選項的真假．【解答】解：A中，因為cos2A＝1﹣2sin2A，cos2B＝1﹣2sin2B，在三角形中，A＞B，可得a＞b，由正弦定理可得＞，所以sinA＞sinB＞0，所以sin2A＞sin2B，所以1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即cos2A＜cos2B，當(dāng)cos2A＜cos2B，即1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sin2A＞sin2B，在三角形中，sinA＞0，sinB＞0，所以sinA＞sinB，由正弦定理可得：＞，所以a＞b，可得A＞B，所以A選項正確；B中，因為A＞B，當(dāng)A為鈍角時，則2π＞2A＞π，此時sin2A＜0，sin2B＞0，所以sin2A＜sin2B，所以B選項不正確；C中，若三角形為銳角三角形，則A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞sin（﹣B）＝cosB，所以C正確；D中，因為c＝7，b＝3，即||＝7，||＝3，設(shè)D為BC的中點，因為O為外接圓的圓心，所以O(shè)D⊥BC，可得?＝0，所以?＝（+）?＝?+?＝（+）?（﹣）＝（2﹣2）＝（9﹣49）＝﹣20，所以D正確．故選：ACD．【點評】本題考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，向量的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（6分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體A1D1AP的體積為定值 B．AP+PC的最小值為 C．A1P∥平面ACD1 D．當(dāng)直線A1P與AC所成的角最大時，四面體A1PCA的外接球的體積為【分析】對于A，利用平面DAA1D1∥平面BCC1B1可得到B，P到平面DAA1D1的距離相等，即可判斷，對于B，舉反例即可判斷；對于C，連接A1C1，A1B，證明平面A1C1B∥平面ACD1即可判斷；對于D，當(dāng)P與B重合時，直線A1P與AC所成的角最大，則求出外接球半徑即可．【解答】解：對于A，由正方體可得平面DAA1D1∥平面BCC1B1，且B，P∈平面BCC1B1，所以B到平面DAA1D1的距離等于P到平面DAA1D1的距離，所以四面體A1D1AP的體積為，所以四面體A1D1AP的體積為定值，故A正確；對于B，當(dāng)P與B重合時，，所以AP+PC的最小值不為，故B錯誤；對于C，連接A1C1，A1B，由正方體可得AA1＝CC1，AA1∥CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形，所以AC∥A1C1，因為AC?平面ACD1，A1C1?平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，同理可得BC1∥平面ACD1因為A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1?平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，因為A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故C正確；對于D，因為AC∥A1C1，所以∠PA1C1（或其補角）為直線A1P與AC所成的角，由圖可得當(dāng)P與B重合時，此時∠PA1C1最大，故此時直線A1P與AC所成的角最大，所以四面體A1PCA即四面體A1BCA的外接球即為正方體的外接球，所以外接球的直徑為，即，所以四面體A1PCA的外接球的體積為，故D正確；故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何知識的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R），則復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣1+i|＝m的點Z的集合圍成的圖形面積為16π，則實數(shù)m＝．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及圓的面積公式，即可求解．【解答】解：復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣1+i|＝m的點Z的集合圍成的圖形為以（1，﹣1）為圓心，以m半徑的圓，復(fù)平面內(nèi)滿足|z﹣1+i|＝m的點Z的集合圍成的圖形面積為16π，則π×m2＝16π，解得m＝4（負(fù)值舍去）．故答案為：4．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）“圓錐容球”是指圓錐形的容器里放了一個球，且球與圓錐的側(cè)面及底面均相切（即圓錐的內(nèi)切球）．已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為．（容器壁的厚度忽略不計）【分析】利用圓錐的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角形相似，計算內(nèi)切球半徑，進(jìn)而求解．【解答】解：設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為O1，半徑為r1，如圖所示，因為圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，高為，即PO＝，，由△PO1C與△PBO相似，，可得，即，解得，即圓錐PO的內(nèi)切球的表面積為．故答案為：．【點評】本題考查圓錐內(nèi)切球的表面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬中檔題．14．（5分）在四面體ABCD中，，AB＝AD＝BD＝4，AB?平面α，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC的中點，現(xiàn)將四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)，則線段EF在平面α上投影長度的取值范圍是．【分析】首先證明AB⊥CD，取AC中點為G，連接EG、FG，則GF∥AB，GE∥CD，可得GE⊥GF，在旋轉(zhuǎn)過程中，GE與GF的垂直性保持不變，當(dāng)CD與平面α垂直時，EF在平面α上的射影取得最小值為GF，當(dāng)CD與平面α平行時，EF在平面上的射影長取得最大值，則答案可求．【解答】解：如圖，取AB的中點O，連接CO，DO，由AC＝BC，可得CO⊥AB，由AD＝BD，可得DO⊥AB，又CO∩DO＝O，∴AB⊥平面CDO，得AB⊥CD．取AC中點為G，連接EG、FG，∵E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點，∴GF∥AB，GE∥CD，∴GE⊥GF，∴EF2＝GE2+GF2＝（）2+（）2＝3+4＝7，當(dāng)四面體繞AB旋轉(zhuǎn)時，∵GF∥平面α，GE與GF的垂直性保持不變，當(dāng)CD與平面α垂直時，EF在平面上的射影長最短為GF＝2；當(dāng)CD與平面α平行時，平面EFG∥平面α，此時EF在平面α上的射影最長為EF＝＝，∴線段EF在平面α上的射影長的取值范圍是[2，]．故答案為：[2，]．【點評】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復(fù)數(shù)z＝1+ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）．（1）若（1﹣2i）?z為純虛數(shù)，求實數(shù)a的值；（2）若，且復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，求a的取值范圍．【分析】（1）由復(fù)數(shù)（1﹣2i）?z為純虛數(shù)，列出方程組求解即可得a的值；（2）由在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限列出不等式組求解即可得a的取值范圍．【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)z＝1+ai，得（1﹣2i）?z＝（1﹣2i）?（1+ai）＝1+2a+（a﹣2）i為純虛數(shù)，∴，解得a＝．故實數(shù)a的值為；（2）＝＝，由復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第四象限，得，解得﹣1＜a＜1．∴a的取值范圍為（﹣1，1）．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．16．（15分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣3）．（1）當(dāng)（+）⊥（﹣）且x＞0時，求|﹣|；（2）當(dāng)＝（3，7），∥（+）時，求向量與的夾角的余弦值．【分析】（1）結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解；（2）結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)（+）⊥（﹣）且x＞0時，則，即32+42＝x2+（﹣3）2，解得x＝4（負(fù)值舍去），＝（3，4），＝（4，﹣3），則，故；（2）＝（x，﹣3），＝（3，7），則，∥（+），＝（3，4），則4（x+3）＝4×3，解得x＝0，故＝（0，﹣3），＝（3，4），設(shè)向量與的夾角為θ，則cosθ＝＝，故向量與的夾角的余弦值為．【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．17．（15分）如圖，梯形ABCD是圓臺O1O2的軸截面，E，F(xiàn)分別在底面圓O1，O2的圓周上，EF為圓臺的母線，∠DO1E＝60°，已知CD＝4，AB＝8，G，H分別為O2B，BF的中點．（1）證明：平面CGH∥平面O1O2FE．（2）若三棱錐C﹣GBH的體積為，求圓臺O1O2的側(cè)面積．【分析】（1）由題意可證得CG∥平面O1O2FE，HG∥平面O1O2FE，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）由三棱錐C﹣GBH體積可得△GBH的面積，進(jìn)而可得圓臺的側(cè)面積．【解答】（1）證明：由題意得O1C＝O2G，O1C∥O2G，所以四邊形O1O2GC為平行四邊形，所以O(shè)1O2∥CG，而O1O2?平面O1O2FE，CG?平面O1O2FE，所以CG∥平面O1O2FE．因為G，H分別為O2B，BF的中點，所以HG為△BO2F的中位線，所以HG∥O2F．而O2F?平面O1O2FE，HG?平面O1O2FE，所以HG∥平面O1O2FE，又CG，HG?平面CGH，且CG∩HG＝G，所以平面CGH∥平面O1O2FE；（2）解：設(shè)O1O2＝h，由（1）可知OG∥O1O2，則CG為三棱錐C﹣GBH的高h(yuǎn)，故，由∠DO1E＝60°，可得∠AO2F＝60°，所以∠BO2F＝120°，又因為GH∥O2F，且GH＝O2F，，所以，故，所以h＝5，在Rt△CGB中，，故圓臺的側(cè)面積．【點評】本題考查平面與平面平行的證法及圓臺的側(cè)面積的求法，屬于中檔題．18．（17分）如圖1，在平面四邊形PABC中，PA⊥AB，CD∥AB，CD＝2AB＝2PD＝2AD＝4．E是線段PC上靠近P端的三等分點，F(xiàn)是線段CD的中點，DE∩PF＝M．將△PDC沿CD折成四棱錐P﹣ABCD，連接PA，PB，BD，如圖2．（1）在圖2中，證明：PA∥平面BDE．（2）在圖1中，求的值．【分析】（1）圖2中，連接AC交BD于O，由題意可得O為AC靠近A的三等分點，可證得OE∥PA，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）圖1中，建立以D為坐標(biāo)原點，以DC，DP所在的直線分別為x，y軸，由題意可得F，E，P，D，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線DE，PF的方程，兩式聯(lián)立可得點M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|PM|，|MF|的值，進(jìn)而求出的值．【解答】（1）證明：連接AC，BD交于O，因為AB∥CD，AB＝CD，所以AO＝OC，因為E是線段PC上靠近P端的三等分點，即PE＝EC，所以＝，所以O(shè)E∥PA，PA?平面BDE，OE?平面BDE，所以PA∥平面BDE；（2）解：因為CD＝2AB＝2PD＝2AD＝4，PA⊥AB，CD∥AB，所以PA⊥CD，建立以D為坐標(biāo)原點，以DC，DP所在的直線分別為x，y軸，則D（0，0），C（4，0），P（0，2），F(xiàn)（2，0），又因為E是線段PC上靠近P端的三等分點，即E（，），所以直線DE的方程為y＝x，直線PF的方程為y＝﹣x+2，聯(lián)立，可得x＝y(tǒng)＝1，即M（1，1