第二章概率和概率分布1.事件與概率2.正態(tài)分布3.二項(xiàng)分布4.波松分布5.樣本平均數(shù)的抽樣分布和t分布2.1事件與概率確定現(xiàn)象非確定現(xiàn)象自然現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象一、事件(共2類)必然現(xiàn)象（inevitablephenomena）:在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。隨機(jī)現(xiàn)象（randomphenomena）:在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果未必相同。

隨機(jī)現(xiàn)象在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

二、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

1、隨機(jī)試驗(yàn)（randomtrial）通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)（trial）。隨機(jī)試驗(yàn)具有下列三個特性：（1）可多次重復(fù)（2）結(jié)果不止一個，事先知道可能結(jié)果（3）每次試驗(yàn)結(jié)果唯一，但之前不可確定例如新生兒性別。2、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（randomevent），簡稱事件(event），通常用A、B、C等來表示。（1）基本事件不能再分的事件稱為基本事件（elementaryevent），也稱為樣本點(diǎn)（samplepoint）。（2）必然事件在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件（certainevent），用Ω(Omega)表示。（3）不可能事件在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossibleevent），用ф(Phi)表示。設(shè)隨機(jī)事件E的樣本空間中只有有限個樣本點(diǎn)，即Ω={ω1,ω2,ω3,……,ωn}，其中n為樣本點(diǎn)總數(shù)，每個樣本點(diǎn)ωi（i=1,2,3,……,n）出現(xiàn)是等可能的，并且每次試驗(yàn)有且有僅一個樣本點(diǎn)發(fā)生，則稱這類現(xiàn)象為古典概型（classicalprobabilitymodel）。若事件A包含m個樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為=事件A包含的基本事件數(shù)/基本事件總數(shù)三、概率

例1.1設(shè)有K個不同的（可分辨）球，每個球都能以同樣的概率1/l落到l個格子（l≥k）的每一個中，且每個格子可容納任意多個球，試分別求如下兩個事件A與B的概率。A：指定的k個格子中各有一個球；B：存在k個格子，其中各有一個球。生日問題：求k個同學(xué)沒有兩人生日相同的概率。提示一年有365格子3.1幾何概型當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某一可度量的區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量（長度、面積與體積）相同的子區(qū)域內(nèi)飾等可能的，則事件A的概率定義為=構(gòu)成事件A的子區(qū)域的度量/樣本空間的度量這種概率模型稱為幾何概型（geometricprobabilitymodel）。例1.2（Buffon（蒲豐）投針問題）設(shè)平面上畫有等距為α的一簇平行線。取一枚長l（l<α）的針隨意扔到平面上，求針與平行線相交的概率。蒲豐(C．Buffon)投針實(shí)驗(yàn)是運(yùn)用實(shí)驗(yàn)法研究幾何概率的典型范例．1777年的一天，蒲豐邀請許多賓朋來家做客，并參觀他的實(shí)驗(yàn)．他事先在白紙上畫好了一條條等距離的平行線，然后將紙鋪在桌上，又拿出一些質(zhì)量均勻、長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便扔到紙上，蒲豐則在一旁計數(shù)．結(jié)果，共投了2122次，其中與任一平行線相交的有704次．蒲豐又做了一個簡單的除法2212÷704≈3.142，最后他宣布，這就是圓周率π的近似值，還說投的次數(shù)越多越精確．蒲豐(C．Buffon)ααxθ0xθπα/2x=1/2sinθ圖1.1Buffon投針的幾何概率（a）（b）解：設(shè)x表示針的中心到最近一條平行線的距離，θ表示針與此直線間的交角（圖1.1a），則（θ，x）完全決定針?biāo)涞奈恢?。針?biāo)锌赡艿奈恢脼椋核梢杂忙?x平面上的一個矩形來表示（圖1.1b）。針與平行線相交的充分必要條件是x≤1/2sinθ，即圖1.1b中的陰影部分，它的面積為因此，若把往平面上隨意扔一枚針理解為Ω內(nèi)任一點(diǎn)為等可能，且記針與任一平行線相交事件為A，則由上式可以利用投針試驗(yàn)計算π值，設(shè)隨機(jī)投針n次，其中k次針線相交，當(dāng)n成分大時，可以利用頻率k/n作為概率p的估計值，從而求得π的估計值為π的奇特估計法

表2-1拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗(yàn)記錄試驗(yàn)者投擲次數(shù)發(fā)生正面朝上的次數(shù)頻率（m/n）蒲豐404020480.5069k.皮爾遜1200060190.5016k.皮爾遜24000120120.5005

在一般情況下，隨機(jī)事件的概率p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n

（n充分大）（2-1）0.5

（二）概率的古典定義對于某些隨機(jī)事件，用不著進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)來確定其概率，而是根據(jù)隨機(jī)事件本身的特性直接計算其概率。有很多隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特征：

1、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個；

2、各個試驗(yàn)的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；

3、試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。

具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概型（classicalmodel）。對于古典概型，概率的定義如下：設(shè)樣本空間由n個等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個基本事件，則事件A的概率為m/n，即

P（A）=m/n(2-2)

這樣定義的概率稱為古典概率(classicalprobability)或先驗(yàn)概率(priorprobability)。

【例2.1】在編號為1、2、3、…、10的10個彩球中隨機(jī)抽取1個，求下列隨機(jī)事件的概率。（1）A=“抽得一個編號≤4”；（2）B=“抽得一個編號是2的倍數(shù)”。（1）P(A)=mA/n=4/10=0.4（2）P(B)=mB/n=5/10=0.5【例2.2】在N個紅球和黑球中，有M個是紅的，從這些球中任意抽出n個，試求:

（1）其中恰有m個紅球的概率是多少？

（2）若N=30，M=8，n=10，m=2，其概率是多少？

將N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得

即在30個紅球和黑球中有8個紅球，從這些球中隨機(jī)抽出10個球，其中有2個紅球的概率為6.95%。（三）概率的性質(zhì)

1.對于任何事件A，有0≤P（A）≤1；

2.必然事件的概率為1，即P（Ω）=1；

3.不可能事件的概率為0，即P（ф）=0。三、小概率事件實(shí)際不可能性原理在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理。0.05、0.01、0.