PAGEPAGE1專(zhuān)題2.7函數(shù)的圖象【考試要求】1.在實(shí)際情境中，會(huì)依據(jù)不同的須要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問(wèn)題.【學(xué)問(wèn)梳理】1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)探討函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)；(4)列表(尤其留意特別點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱(chēng)變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up13(縱坐標(biāo)不變),\s\do15(各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(橫坐標(biāo)不變),\s\do12(各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻折變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up12(x軸下方部分翻折到上方),\s\do10(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up12(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do10(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.【微點(diǎn)提示】記住幾個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(chēng).(3)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)隨意自變量x滿(mǎn)意：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(chēng).【疑誤辨析】1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖象，可由y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到.()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝f(|x|)的圖象與y＝|f(x)|的圖象相同.()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿(mǎn)意f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng).()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【解析】(1)y＝f(－x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(－1－x)，故(1)錯(cuò).(2)兩種說(shuō)法有本質(zhì)不同，前者為函數(shù)的圖象自身關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，后者是兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故(2)錯(cuò).(3)令f(x)＝－x，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，兩函數(shù)圖象不同，故(3)錯(cuò).【教材衍化】2.(必修1P24A7改編)下列圖象是函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的圖象的是()【答案】C【解析】其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成.3.(必修1P23T2改編)小明騎車(chē)上學(xué)，起先時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事務(wù)吻合得最好的圖象是()【答案】C【解析】小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條線段，且距離學(xué)校越來(lái)越近，解除A；因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，解除D；后來(lái)為了趕時(shí)間加快速度行駛，解除B.只有C滿(mǎn)意題意.【真題體驗(yàn)】4.(2024·青島二中月考)函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)的解析式為()A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1【答案】D【解析】依題意，與曲線y＝ex關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的曲線是y＝e－x，于是f(x)相當(dāng)于y＝e－x向左平移1個(gè)單位的結(jié)果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.5.(一題多解)(2024·全國(guó)Ⅲ卷)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的是()A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)【答案】B【解析】法一設(shè)所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則其關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－x，y)，由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)(2－x，y)在函數(shù)f(x)＝lnx的圖象上，所以y＝ln(2－x).法二由題意知，對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)(1，0)在函數(shù)y＝lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，代入選項(xiàng)中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗(yàn)，解除A，C，D，選B.6.(2024·上海崇明區(qū)檢測(cè))已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)的定義域是________.【答案】(2，8]【解析】當(dāng)f(x)>0時(shí)，函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖象知滿(mǎn)意f(x)>0時(shí)，x∈(2，8].【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象【例1】作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，如圖①實(shí)線部分.(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出[0，＋∞)上的圖象，再依據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出(－∞，0)上的圖象，得圖象如圖③.【規(guī)律方法】作函數(shù)圖象的一般方法(1)干脆法.當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟識(shí)的基本函數(shù)時(shí)，就可依據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)干脆作出.(2)圖象變換法.若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)留意平移變換與伸縮變換的依次對(duì)變換單位及解析式的影響.【訓(xùn)練1】分別作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)先作出函數(shù)y＝lgx的圖象，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得函數(shù)y＝|lgx|的圖象，如圖①實(shí)線部分.(2)當(dāng)x≥0時(shí)，y＝sin|x|與y＝sinx的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其圖象如圖②.考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)【例2】(1)(一題多解)(2024·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)的部分圖象大致為()(2)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]的圖象大致為()【答案】(1)D(2)D【解析】(1)法一易知g(x)＝x＋eq\f(sinx,x2)為奇函數(shù)，故y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對(duì)稱(chēng)，解除C；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，y>0，解除A；當(dāng)x＝π時(shí)，y＝1＋π，解除B，選項(xiàng)D滿(mǎn)意.法二當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，解除A，C；又當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→＋∞，解除B，而D滿(mǎn)意.(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函數(shù)，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，解除選項(xiàng)A，B；當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，所以f′(0)＝－1<0，f′(2)＝8－e2>0，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上有解，故函數(shù)f(x)在[0，2]上不單調(diào)，解除C，故選D.【規(guī)律方法】1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，推斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，推斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；(3)從周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特別值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.【訓(xùn)練2】(2024·浙江卷)函數(shù)y＝2|x|·sin2x的圖象可能是()【答案】D【解析】設(shè)f(x)＝2|x|sin2x，其定義域?yàn)镽且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，故解除選項(xiàng)A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，故解除選項(xiàng)C.故選D.考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用角度1探討函數(shù)的性質(zhì)【例3－1】已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)【答案】C【解析】將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉肯定值得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，視察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上是削減的.角度2求不等式的解集【例3－2】已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是如圖所示的折線ACB，且函數(shù)g(x)＝log2(x＋1)”，則不等式f(x)≥g(x)的解集是()A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}【答案】C【解析】令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2（x＋1），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.角度3求參數(shù)的取值范圍【例3－3】(2024·合肥一中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________.【答案】(3，＋∞)【解析】在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b的圖象.當(dāng)x>m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【規(guī)律方法】1.利用函數(shù)的圖象探討函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象探討，但肯定要留意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問(wèn)題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；不等式f(x)<g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.【訓(xùn)練3】(1)(2024·杭州檢測(cè))已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時(shí)，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|＜g(x)時(shí)，h(x)＝－g(x)，則h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，無(wú)最小值C.有最小值－1，無(wú)最大值D.有最大值－1，無(wú)最小值(2)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.【答案】(1)C(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】(1)畫(huà)出y＝|f(x)|＝|2x－1|與y＝g(x)＝1－x2的圖象，它們交于A，B兩點(diǎn).由“規(guī)定”，在A，B兩側(cè)，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).綜上可知，y＝h(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，因此h(x)有最小值－1，無(wú)最大值.(2)先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過(guò)A點(diǎn)時(shí)斜率為eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).【反思與感悟】1.識(shí)圖對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要從圖象的左右、上下分布范圍、改變趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面探討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，留意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.2.用圖借助函數(shù)圖象，可以探討函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì).利用函數(shù)的圖象，還可以推斷方程f(x)＝g(x)的解的個(gè)數(shù)，求不等式的解集等.【易錯(cuò)防范】1.圖象變換是針對(duì)自變量x而言的，如從f(－2x)的圖象到f(－2x＋1)的圖象是向右平移eq\f(1,2)個(gè)單位，先作如下變形f(－2x＋1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))，可避開(kāi)出錯(cuò).2.明確一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)與兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的不同，前者是自身對(duì)稱(chēng)，且為偶函數(shù)，后者是兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系.3.當(dāng)圖形不能精確地說(shuō)明問(wèn)題時(shí)，可借助“數(shù)”的精確，留意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.【核心素養(yǎng)提升】【直觀想象】——函數(shù)圖象的活用直觀想象是發(fā)覺(jué)和提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的重要手段，在數(shù)學(xué)探討的探究中，通過(guò)直觀手段的運(yùn)用以及借助直觀綻開(kāi)想象，從而發(fā)覺(jué)問(wèn)題、解決問(wèn)題的例子比比皆是，并貫穿于數(shù)學(xué)探討過(guò)程的始終，而數(shù)形結(jié)合思想是典型的直觀想象范例.類(lèi)型1依據(jù)函數(shù)圖象特征，確定函數(shù)解析式函數(shù)解析式與函數(shù)圖象是函數(shù)的兩種重要表示法，圖象形象直觀，解析式易于探討函數(shù)性質(zhì)，可依據(jù)須要，相互轉(zhuǎn)化.【例1】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A.f(x)＝eq\f(ln|x|,x)B.f(x)＝eq\f(ex,x)C.f(x)＝eq\f(1,x2)－1D.f(x)＝x－eq\f(1,x)【答案】A【解析】由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)解除B，C.若函數(shù)為f(x)＝x－eq\f(1,x)，則x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，解除D.只有選項(xiàng)A中f(x)＝eq\f(ln|x|,x)滿(mǎn)意.有愛(ài)好的同學(xué)可以探討函數(shù)的性質(zhì)作出推斷(略).類(lèi)型2利用函數(shù)的圖象探討函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于已知或易畫(huà)出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助圖象探討，但肯定要留意性質(zhì)與圖象特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【例2】(2024·安徽江淮十校聯(lián)考)已知max{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最大值.若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，則f(x)的最小值為_(kāi)_______.【答案】e【解析】在同始終角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y＝e|x|，y＝e|x－2|的圖象(圖略)，可知f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≥1，,e2－x，x<1.))當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝ex≥e，且當(dāng)x＝1時(shí)，取得最小值e；當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝e2－x>e.故f(x)的最小值為f(1)＝e.【例3】(2024·全國(guó)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)意f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\o(∑,\s\up8(m),\s\do6(i＝1))xi＝()A.0 B.m C.2m D.4m【答案】B【解析】由f(x)＝f(2－x)知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng).又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)(圖略).不妨設(shè)x1<x2<…<xm，則eq\f(x1＋xm,2)＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又eq\o(∑,\s\up8(m),\s\do6(i＝1))xi＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2eq\o(∑,\s\up8(m),\s\do6(i＝1))xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以eq\o(∑,\s\up8(m),\s\do6(i＝1))xi＝m.【規(guī)律方法】1.由函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)y＝f(x)與y＝|x2－2x－3|圖象分別關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，則兩圖象的交點(diǎn)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng).2.解此類(lèi)求圖象交點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和的問(wèn)題，常利用圖象的對(duì)稱(chēng)性求解，即找出兩圖象的公共對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心，從而得出各交點(diǎn)的公共對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心，由此得出定值求解.類(lèi)型3利用函數(shù)的圖象求解方程或不等式若探討的方程(不等式)不能用代數(shù)法求解，但其與基本初等函數(shù)有關(guān)，常將方程(不等式)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)或圖象的上下位置關(guān)系，然后由圖象的幾何直觀數(shù)形結(jié)合求解.【例4】(1)函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.(2)(2024·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|＋2，x<1，,x＋\f(2,x)，x≥1.))設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))在R上恒成立，則a的取值范圍是()A.[－2，2] B.[－2eq\r(3)，2]C.[－2，2eq\r(3)] D.[－2eq\r(3)，2eq\r(3)]【答案】(1)2(2)A【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1＝sin2x與y2＝x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y1＝sin2x與y2＝x2的圖象如圖所示：由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)作出f(x)的圖象如圖所示，當(dāng)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，2)時(shí)，可知a＝±2.當(dāng)y＝eq\f(x,2)＋a的圖象與y＝x＋eq\f(2,x)的圖象相切時(shí)，由eq\f(x,2)＋a＝x＋eq\f(2,x)，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并結(jié)合圖象可得a＝2.要使f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋a))恒成立，只需f(0)≥|a|，當(dāng)a≤0時(shí)，需滿(mǎn)意－a≤2，即－2≤a≤0；當(dāng)a>0，需滿(mǎn)意a≤2，所以－2≤a≤2.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.(2024·長(zhǎng)郡中學(xué)聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x2,ex)的圖象大致為()【答案】D【解析】∵f(－x)＝eq\f(1－x2,e－x)≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，解除選項(xiàng)B，C，又f(2)＝eq\f(1－4,e2)＝－eq\f(3,e2)<0，解除A，選D.2.若函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，則()A.a>1，b>1B.a>1，0<b<1C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1【答案】D【解析】由圖象從左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)與y軸的交點(diǎn)(0，1－b)，∴0<1－b<1，則0<b<1.3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng).而函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，若f(m)＝－1，則m的值是()A.－e B.－eq\f(1,e) C.e D.eq\f(1,e)【答案】B【解析】由題意知g(x)＝lnx，則f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，即ln(－m)＝－1，解得m＝－eq\f(1,e).4.(2024·黃山一模)已知圖①中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x)，則圖②中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為()A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|)C.y＝|f(x)| D.y＝－f(|x|)【答案】B【解析】視察函數(shù)圖象，圖②是由圖①保留y軸左側(cè)部分圖象，并將左側(cè)圖象翻折到右側(cè)所得，因此圖②中對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝f(－|x|).5.已知函數(shù)f(2x＋1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(2x)的圖象成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為()A.(1，0) B.(－1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))【答案】C【解析】f(2x＋1)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，而f(2x)的圖象是由f(2x＋1)的圖象向右平移eq\f(1,2)個(gè)單位得到的，故關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心對(duì)稱(chēng).6.(2024·北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤e，,lnx，x>e，))則函數(shù)y＝f(e－x)的大致圖象是()【答案】B【解析】令g(x)＝f(e－x)，則g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ee－x，e－x≤e，,ln（e－x），e－x>e，))即g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ee－x，x≥0，,ln（e－x），x<0，))因此g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，解除A，C；又ee－0>ln(e－0)＝1，解除D，因而B(niǎo)項(xiàng)成立.7.(2024·煙臺(tái)二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(d,ax2＋bx＋c)(a，b，c，d∈R)的圖象如圖所示，則()A.a>0，b>0，c<0，d>0 B.a<0，b>0，c<0，d>0C.a<0，b>0，c>0，d>0 D.a>0，b<0，c>0，d>0【答案】B【解析】由題圖可知，x≠1且x≠5，則ax2＋bx＋c＝0的兩根為1，5，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－eq\f(b,a)＝6，eq\f(c,a)＝5，∴a，b異號(hào)，a，c同號(hào)，又f(0)＝eq\f(d,c)<0，∴c，d異號(hào)，只有B項(xiàng)適合.8.若函數(shù)f(x)＝eq\f(（2－m）x,x2＋m)的圖象如圖所示，則m的取值范圍為()A.(－∞，－1) B.(－1，2)C.(0，2) D.(1，2)【答案】D【解析】由圖可知，f(x)的定義域?yàn)镽，所以m>0.又因?yàn)閤→＋∞時(shí)，f(x)>0，所以2－m>0?m<2.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(（2－m）x,x2＋m)＝eq\f(2－m,x＋\f(m,x))，所以f(x)在(0，eq\r(m))上單調(diào)遞增，(eq\r(m)，＋∞)上單調(diào)遞減，所以eq\r(m)>1?m>1，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，2).二、填空題9.(2024·石家莊模擬)若函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，1)，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象肯定經(jīng)過(guò)點(diǎn)________.【答案】(3，1)【解析】由于函數(shù)y＝f(4－x)的圖象可以看作y＝f(x)的圖象先關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到.點(diǎn)(1，1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(－1，1)，再將此點(diǎn)向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度.所以函數(shù)y＝f(4－x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(3，1).10.如圖，定義在[－1，＋∞)上的函數(shù)f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f(x)的解析式為_(kāi)_______.【答案】f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x≤0，,\f(1,4)（x－2）2－1，x>0))【解析】當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，設(shè)解析式為y＝kx＋b(k≠0).則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1，))∴y＝x＋1.當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)解析式為y＝a(x－2)2－1(a≠0).∵圖象過(guò)點(diǎn)(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝eq\f(1,4).11.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范圍是________.【答案】(－1，0)【解析】在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿(mǎn)意條件的x∈(－1，0).12.若關(guān)于x的方程|x|＝a－x只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】(0，＋∞)【解析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖象，如圖所示.由圖象知當(dāng)a>0時(shí)，方程|x|＝a－x只有一個(gè)解.【實(shí)力提升題組】(建議用時(shí)：15分鐘)13.函數(shù)y＝eq\f(ln|x|,x2)＋eq\f(1,x2)在[－2，0]∪(0，2]上的大致圖象為()【答案】B【解析】當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(ln|x|＋1,x2)＝eq\f(lnx＋1,x2)，當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)，y＝0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))時(shí)，y＝eq\f(lnx＋1,x2