第頁，共頁普通高中2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學（人教版）全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在四邊形中，與交于點，且，則（）A. B.四邊形是梯形C.四邊形是菱形 D.四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)相等向量的概念和向量的模，結(jié)合矩形的判定定理即可求解.【詳解】由，知四邊形的對角線相互平分且相等，所以四邊形為矩形.故選：D2.兩個三棱錐、一個四棱錐拼在一起不可能拼成的是（）A.一個三棱錐 B.一個四棱錐C.一個三棱柱 D.一個四棱柱【答案】D【解析】【分析】兩個三棱錐和一個四棱錐能否拼成某幾何體，可以看該幾何體可否拆割成兩個三棱錐和一個四棱錐，即可判斷得答案.【詳解】對于A，三棱錐中，分別取的中點，再取的中點，連接，則三棱錐可拆割成三棱錐和四棱錐，A可能；對于B，四棱錐，取的中點，則四棱錐可拆割成三棱錐和四棱錐，B可能；對于C，三棱柱中，取的中點，則三棱柱可拆割為三棱錐和四棱錐，C可能；對于D，一個四棱柱割去一個四棱錐后的幾何體不可能由兩個三棱錐拼成，D不可能.故選：D3.已知復數(shù)，為虛數(shù)單位，當時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)模求出，再利用復數(shù)的除法求解即得.【詳解】依題意，，解得，則，所以.故選：C4.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形，恰為一個直角邊長為3的等腰直角三角形（如圖），，則原圖形的面積為（）A. B.18 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意求出，結(jié)合斜二測畫法作出原圖，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，中，，則，由斜二測畫法，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則，，所以.故選：A5.已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是（）A.點為的內(nèi)心 B.點為的外心C. D.為等邊三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積運算律，結(jié)合向量加減計算判斷得解.【詳解】在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點為的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.故選：B6.已知為虛數(shù)單位，若為的共軛復數(shù)，則（）A.14 B.116 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等復數(shù)建立方程組，解得，進而解出，結(jié)合共軛復數(shù)的概念與復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，得，所以，解得，則，所以，所以.故選：B7.在四邊形中，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，四邊形為直角梯形，建立平面直角坐標系，利用向量夾角公式運算得解.【詳解】，，則且，又，，所以，則，所以四邊形為直角梯形，如圖，以點為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則，，，所以，，所以.故選：B.8.多面體歐拉定理是指：若多面體的頂點數(shù)為，面數(shù)為，棱數(shù)為，則滿足.已知某面體各面均為五邊形，且經(jīng)過每個頂點的棱數(shù)為3，則（）A.6 B.10 C.12 D.20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合歐拉公式列出方程組，求解方程組即得.【詳解】設該多面體的頂點數(shù)為，棱數(shù)為，依題意，，消去得，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)為虛數(shù)單位，則下列說法錯誤的是（）A.虛部為 B. C. D.為純虛數(shù)【答案】AD【解析】【分析】由復數(shù)的基本概念可判斷AD錯誤，由模長公式計算即可判斷B正確，由于與為方程的兩個根，可知，，，即可求解.【詳解】復數(shù)，故實部為，虛部為，故AD錯誤；，故B正確；與為方程的兩個根，可知，所以，，故C正確.故選：AD10.在平行四邊形中，與交于點為的中點，與交于點，延長交于，則（）A.為三角形的外心 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由與相似，為的中點，可知，所以點為三角形的重心，判斷出A錯誤；由重心得到為的中點，所以，判斷出B正確；由平面向量的基本定理判斷出C，D正確.【詳解】在三角形中，為的中點，又與相似，可得：，故點為三角形的重心，故A錯誤；由于點為三角形的重心，延長交于，則為的中點，所以，故B正確；，，故C正確；，故D正確.故選：BCD.11.已知，方程有一個虛根為為虛數(shù)單位，另一個虛根為，則（）A. B.該方程的實數(shù)根為1C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用方程根的意義，借助復數(shù)運算及復數(shù)為0的充要條件求出，再逐項計算判斷即可.【詳解】由是方程的根，得，整理得，而，因此，解得，對于A，，A正確；對于BC，方程，變形，顯然此方程還有一個實根1，另一個虛根，B正確，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，且，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)模長公式即可代入求解.【詳解】由，得，將，代入得，解得.故答案為：213.已知復數(shù)滿足為虛數(shù)單位，在復平面上對應的點為，定點為坐標原點，則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)模的幾何意義，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律及定義法求出向量的數(shù)量積求解即得.【詳解】依題意，點的軌跡是復平面上以點為圓心，2為半徑的圓，，而，，當且僅當方向相反時取等號，所以最小值為.故答案為：14.某容器是一個圓錐和圓柱的組合體（如圖），圓柱的底面直徑為4，高為3，容器內(nèi)放入一個直徑為4的球后，該球與圓柱的側(cè)面和底面、圓錐的側(cè)面都相切，則該容器的體積為_____________.【答案】【解析】【分析】畫出內(nèi)切球的軸截面圖，由圖求出圓錐的高，然后利用圓錐與圓柱的體積公式計算即可.【詳解】由于圓柱的底面直徑為4，故，高為，所以圓柱的體積為：，軸截面如圖：設球心為，則與全等，由，得，與同為的補角，故，，故，故，故圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故所求體積為.故答案為：四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為虛數(shù)，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，解方程即可求得；（2）由于，結(jié)合，即可求解【小問1詳解】因為，所以，即，由于為虛數(shù)，故，所以，故，所以，所以.【小問2詳解】，由于，所以，故.16.在平面直角坐標系中，，四邊形是矩形且.（1）求點的坐標；（2）與點在同一平面直角坐標系中，當點到的距離的平方和最小時，求點的坐標.【答案】（1）點，點；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標表示求出并驗證，再利用向量的坐標表示求解即得.（2）設出點的坐標，利用兩點間距離公式建立關系式，配方求出最小值即得.【小問1詳解】依題意，，由矩形，得，解得或，當時，，不符合題意，而時，，因此，，顯然，于是得，所以點，點.【小問2詳解】設，依題意，，當且僅當時取等號，所以點的坐標為.17.已知為單位向量.（1）若，求的夾角；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，兩邊同時平方得到，從而求解的夾角即可；（2）由得，求，先平方再開方即可求解.【小問1詳解】由于，所以，兩邊平方得，又為單位向量，所以，設的夾角為，則，所以，故的夾角為.【小問2詳解】因為，所以，由，故，所以故.18.已知某圓錐的母線長與底面直徑相等，表面積為.（1）求此圓錐的體積；（2）若此圓錐內(nèi)有一圓柱，該圓柱的下底面在圓錐的底面上，求該圓柱側(cè)面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用圓錐的表面積公式求出圓錐的底面圓半徑及高，再利用圓錐的體積公式計算即得.（2）利用圓錐與其內(nèi)接圓柱的結(jié)構(gòu)特征，用圓柱的底面圓半徑表示出高，再求出側(cè)面積的函數(shù)關系，借助基本不等式求解即得.【小問1詳解】設圓錐底面圓半徑為，依題意，圓錐的母線長，顯然，解得，圓錐的高，所以圓錐的體積.【小問2詳解】設圓錐的內(nèi)接圓柱的底面圓半徑為，高為，則有，即，解得，因此圓柱的側(cè)面積，當且僅當時取等號，所以該圓柱側(cè)面積的最大值為.19.已知點滿足的面積為面積的.（1）求的值；（2）若為的垂心，求的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知為的中點，，結(jié)合已知條件可得，利用三點共線得，求得；（2）由（1）可得，由，得，由，得，進而求