高2026屆高一（下）學(xué)月考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．作答前?考生務(wù)必將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的規(guī)定位置上．2．作答時(shí)?務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存．試卷滿分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理得到，求出答案.【詳解】，又，解得.故選：B2.已知向量滿足：，則（）A.1 B.3 C. D.10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由由，得，所以，故選：D．3.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理求得，可得為等腰直角三角形，可求得.【詳解】由，得，即，所以，則，則為等腰直角三角形，所以，故選：B．4.在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【答案】A【解析】【分析】由變形得，設(shè)的中點(diǎn)為，推出，點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，再根據(jù)外心的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，所以，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過(guò)的外心.故選：A5.在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算先求出，再由正、余弦定理求解.【詳解】，所以，則，即，由正弦定理，.故選:．6.鍵線式可以直觀地描述有機(jī)物的結(jié)構(gòu)，在有機(jī)化學(xué)中廣泛使用．有機(jī)物“萘”可以用下左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)式可以抽象為下右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形．若點(diǎn)為右邊正六邊形的邊界（包括頂點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且向量，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由“等和線定理”結(jié)合圖形分析得解.【詳解】由平面向量共線定理可得，，，則三點(diǎn)共線的充要條件是.下面先證明“等和線定理”，如圖，設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在，使得.，，，則.由“等和線定理”結(jié)合圖形可知：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，易得，綜上，可得.故選：C．7.在中，角的對(duì)邊分別為，若，又的面積，且，則（）A.64 B.84 C.-69 D.-89【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式整理可求得關(guān)系，再由三角形面積公式和余弦定理求得三邊，再由數(shù)量積運(yùn)算得到結(jié)果【詳解】解法一：由，得，則，即，即，又，即；又，得；綜上．則，即．由，平方知所以.解法二：.故選：．8.已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對(duì)任意不等式恒成立，若，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知由向量垂直可得模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來(lái)方法一，直接對(duì)進(jìn)行平方化簡(jiǎn)，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點(diǎn)共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.【詳解】和相互垂直，則，則，結(jié)合圖象，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，即，則，法（一）：對(duì)稱軸時(shí)：，即法（二）：，因?yàn)?，所以向量的終點(diǎn)共線（起點(diǎn)重合），則的面積，，所以.故選:．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于同一平面內(nèi)的任意三個(gè)向量，下列四種說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A.B.若，且，則C.若，則或D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律可判斷，對(duì)B，若，則不一定成立，對(duì)C，根據(jù)向量及向量模的概念可判斷，對(duì)D，由向量模的三角公式可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積不滿足結(jié)合律，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則不一定成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，但是與不一定是共線同向或反向，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D正確；故選：ABC．10.在中，角的對(duì)邊分別為，且已知，則（）A.若，且有兩解，則的取值范圍是B.若，且恰有一解，則的取值范圍是C.若，且為鈍角三角形，則的取值范圍是D.若，且為銳角三角形，則的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，結(jié)合正弦、余弦定理可判斷三角形有幾個(gè)解和特殊三角形所要滿足的條件.【詳解】選項(xiàng)：由正弦定理，，且，則，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：①，則；②且，則綜上或，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：①為最大邊：，且，此時(shí)；②為最大邊：，且，此時(shí)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，且，所以，選項(xiàng)正確；故選；．11.在等腰中，已知，若分別為的垂心?外心?重心和內(nèi)心，則下列四種說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)三角形各心的性質(zhì)結(jié)合向量的加減法則即可求得.【詳解】A選項(xiàng)：為垂心，為高線的交點(diǎn)，則，選項(xiàng)A正確．B選項(xiàng)：，選項(xiàng)B正確；C選項(xiàng)：，選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC12.在銳角中，已知角的對(duì)邊分別為，且，，則下列說(shuō)法正確的是有（）A.的外接圓的周長(zhǎng)為B.周長(zhǎng)的取值范圍為C.的面積的取值范圍為D.的內(nèi)切圓的半徑的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】將條件式利用正弦定理和三角恒等變換求得，，對(duì)A，由正弦定理求解判斷；對(duì)B，利用正弦定理邊化角并結(jié)合角的范圍求解；對(duì)C，利用三角形面積公式結(jié)合正弦定理邊化角并結(jié)合角的范圍求解；對(duì)D，由內(nèi)切圓，結(jié)合余弦定理，可得，結(jié)合B選項(xiàng)求解判斷.【詳解】由，得到，得到，由，得到，則，得到.因?yàn)闉殇J角三角形，則，且，得對(duì)于A選項(xiàng)：，即，外接圓周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：周長(zhǎng)，，，，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：的面積，，，，.故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，得，因?yàn)閮?nèi)切圓，則，由選項(xiàng)B，知，，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平面向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】且【解析】【分析】因夾角為銳角可知數(shù)量積大于0，但要去掉夾角為0的情況.【詳解】由題意知，得，當(dāng)時(shí)，，得故答案為：且14.抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡(jiǎn)稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國(guó)唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為?點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為，若米，且，則解放碑的高度__________米．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，由直角三角形三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，則，在中：，則得到米.故答案為：15.如圖：在平行四邊形中，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，為直線與的交點(diǎn)，為直線與的交點(diǎn)，若，，且，則__________．【答案】##【解析】【分析】取為基底表示向量，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】在中，由，得，即，則，由分別為的中點(diǎn)，得為的重心，則，而，所以.故答案為：16.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于__________．【答案】##【解析】【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.【詳解】由，得，，注意，得，得，記，由，知，如圖，以為鄰邊做平行四邊形，在中：，即，得，所以，故答案為：．法（2）：設(shè)，在中：①因?yàn)?，則，由余弦定理可得，得②聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．故答案為：四?解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.已知向量．（1）若向量，求向量與向量的夾角的大??；（2）若向量，求向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共線向量的坐標(biāo)表示求出，再利用向量夾角的坐標(biāo)表示求解.（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再求出投影向量的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由，得，則，，而，則，所以向量與向量的夾角為.【小問(wèn)2詳解】由向量，得，解得，則，所以向量在向量方向上的投影向量.18.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若面積為，角的平分線與交于點(diǎn)，且，求邊的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得結(jié)果；（2）由三角形面積公式利用可得，再由余弦定理即可求得.【小問(wèn)1詳解】由，得，由正弦定理可得，即；因?yàn)?，所以可得，又因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】易知，所以；如下圖所示：因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，即，即而，所以．19.如圖：在中，已知與交于點(diǎn)．（1）用向量表示向量；（2）過(guò)點(diǎn)作直線，分別交線段于點(diǎn)，設(shè)，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求模長(zhǎng)．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）設(shè)，將向量分別用和表示，根據(jù)三點(diǎn)共線可求的值；；（2）將向量用表示，由三點(diǎn)共線，可得，由基本不等式可解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，將代入，得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，所以，得即．【小問(wèn)2詳解】，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．此時(shí)20.在中，角的對(duì)邊分別為，若，又以為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積分別為，且．（1）求的面積：（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）20.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角求出，利用三角形面積公式求出即可計(jì)算得解.（2）利用正弦定理求出三角形外接圓半徑，進(jìn)而求出，再利用余弦定理求出得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，解得，顯然，同理，依題意，，解得，由余弦定理得，于是，所以的面積.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，令的外接圓半徑為，于是，解得，則，又，解得，所以的周長(zhǎng).21.為改進(jìn)城市旅游景觀面貌?提高市民的生活幸福指數(shù)，城建部擬在以水源為圓心空地上，規(guī)劃一個(gè)四邊形形狀的動(dòng)植物園．如圖：四邊形內(nèi)接于圓（注：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），為動(dòng)物園區(qū)，為植物園區(qū)（為了方便植物園的植物澆水灌溉，水源必須在植物園區(qū)的內(nèi)部或邊界上）．又根據(jù)規(guī)劃已知千米，千米．（1）若，且，求邊的長(zhǎng)為多少千米？（2）若線段千米，求動(dòng)植物園的面積（即四邊形的面積）的最小值為多少平方千米？【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求出，在中利用正弦定理求解；（2）設(shè)，在和中，利用余弦定理可得間的關(guān)系式，利用三角形面積公式結(jié)合三角函數(shù)二倍角公式化簡(jiǎn)可解.【小問(wèn)1詳解】，則在中，，即在中，，由正弦定理知：，即，則千米；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，則在中：在中：則，得所以因?yàn)閳A心在的內(nèi)部或邊界，所以，則，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)中，得到后，利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，并結(jié)合三角函數(shù)值域求最值.22.定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；（2）若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點(diǎn)恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；（3）在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（