2022-2023學(xué)年六年級奧數(shù)舉一反三典型題檢測專題01定義新運算試卷滿分：100分考試時間：100分鐘一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）我們規(guī)定一種運算“※”：※2＝1×2×3，※3＝2×3×4，※4＝3×4×5，※5＝4×5×6，…，如果﹣＝×□，那么□中應(yīng)填（）A． B． C． D．【思路引導(dǎo)】把※8看作一個整體，兩邊同時乘※8，再根據(jù)定義約分即可?！就暾獯稹拷猓阂驗椹仯健痢酰浴酰僵?＝﹣1＝﹣1＝故選：D?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查了定義新運算，先將等式化簡是本題解題的關(guān)鍵。2．（3分）定義a※b＝a2×b+3a﹣2b，若7※m＝37.45，則m＝（）A．2.8 B．1.4 C．0.7 D．0.35【思路引導(dǎo)】根據(jù)新的運算方法“a※b＝a2×b+3a﹣2b”，把式子7※m＝37.45變形，然后解方程即可?！就暾獯稹拷猓阂驗閍※b＝a2×b+3a﹣2b，所以：7※m＝37.4572×m+3×7﹣2×m＝37.4547m+21＝37.4547m＝16.45m＝0.35故選：D。【考察注意點】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。3．（3分）根據(jù)下面給出的例子推出◎的運算規(guī)則，16◎4的計算結(jié)果是（）A．5 B．6 C．8 D．10【思路引導(dǎo)】根據(jù)例子可以推出a◎b＝a﹣2b，代入數(shù)字就可算出結(jié)果?！就暾獯稹拷猓阂驗閍◎b＝a﹣2b，故16◎4＝16﹣2×4＝8。故選：C?！究疾熳⒁恻c】本題關(guān)鍵是根據(jù)例子推出運算法則，即可求出結(jié)果。4．（3分）用min（a，b）表示a、b兩數(shù)中的較小者，用max（a，b）表示a、b兩數(shù)中的較大者，例如min（3，5）＝3，max（3，5）＝5，min（3，3）＝3，max（5，5）＝5．設(shè)a、b、c、d是互不相等的自然數(shù)，min（a，b）＝p，min（c，d）＝q，max（p，q）＝x，max（a，b）＝m，max（c，d）＝n，min（m，n）＝y(tǒng)，則（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．x＞y和x＜y都有可能【思路引導(dǎo)】取a＞b＞c＞d，則x＝b，y＝c，x＞y；取a＞c＞b＞d，則x＝b，y＝c，x＜y，即可得出結(jié)論．【完整解答】解：取a＞b＞c＞d，則x＝b，y＝c，x＞y；取a＞c＞b＞d，則x＝b，y＝c，x＜y．所以x＞y和y＞x都有可能．故選：D。【考察注意點】本題考查定義新運算，考查有理數(shù)比較大小的法則，利用取特殊值法求出x、y的值是解答此題的關(guān)鍵．5．（3分）對于任何自然數(shù)，定義ni＝1×2×3×…×n．那么算式2014i﹣3i的計算結(jié)果的個位數(shù)字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【思路引導(dǎo)】若求2014i﹣3i的結(jié)果的個位數(shù)，沒有必要把2014i﹣3i的結(jié)果算出來，那樣大大增加了計算量也沒有必要，只需求出2014i的個位數(shù)和3i的個位數(shù)即可．【完整解答】解：由新定義：ni＝1×2×3×…×n得：2014i＝1×2×3×4×5×…×2013×2014＝1×3×4×6×7×8×…×2013×2014×10所以1×3×4×6×7×8×…×2013×2014×10是10的倍數(shù)，所以2014i的個位數(shù)為0；3i＝1×2×3＝6所以2014i﹣3i的個位數(shù)也就為：10﹣6＝4故選：B?！究疾熳⒁恻c】本題主要考查學(xué)生分析問題的能力，把求2014i﹣3i的結(jié)果轉(zhuǎn)化成分別求解2014i和3i的個位數(shù)上來．6．（3分）定義新運算：對于非零整數(shù)a、b，規(guī)定，a?b＝，a⊕b＝，那么（2⊕3）?2＝（）A．36 B．64 C．81 D．512【思路引導(dǎo)】根據(jù)所給出的等式a?b＝，a⊕b＝找出新的運算方法，再根據(jù)新的運算方法解決問題?！就暾獯稹拷猓?⊕3＝3×3＝9（2⊕3）?2＝9?2＝9×9＝81故選：C。【考察注意點】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。7．（3分）定義新運算：對于α、b，規(guī)定α?b為a、b之間（包括a、b）所有整數(shù)之和，如3?6＝3+4+5+6＝18，那么2010?2000.9末兩位數(shù)為（）A．00 B．55 C．66 D．72【思路引導(dǎo)】根據(jù)新的運算法則α?b為a、b之間（包括a、b）所有整數(shù)之和解答即可?！就暾獯稹拷猓?010?2000.9＝2010+2009+…+20002010?2000.9末兩位數(shù)為：（0+10）×11÷2＝55故選：B。【考察注意點】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）8．（3分）設(shè)將自然數(shù)n表示為兩個非零自然數(shù)的平方差有F（n）種方法，例如：15＝82﹣72＝42﹣12，故F（15）＝2；而2不能表示，故F（2）＝0。那么，F(xiàn)（1）+F（2）+F（3）+…+F（100）的計算結(jié)果是116?！舅悸芬龑?dǎo)】假設(shè)a可以寫成m2﹣n2，根據(jù)平方差公式，a＝（m+n）（m﹣n），所以（m+n）和（m﹣n）都是a的因數(shù)，且它們奇偶性相同，所以對于任意一對奇偶性相同的正整數(shù)p，q（p＞q），它們的積pq一定能寫成兩個非零自然數(shù)的平方差，所以只要找到1≤pq≤100的所有p，q值，就是F（1）+F（2）+F（3）+…+F（100）的計算結(jié)果，據(jù)此解答?！就暾獯稹拷猓簩τ谌我馄媾夹韵嗤膬蓚€正整數(shù)p，q（p＞q），pq＝（）2﹣（）2所以對于任意一對奇偶性相同的正整數(shù)p，q（p＞q），它們的積pq一定能寫成兩個非零自然數(shù)的平方差，所以只要找到1≤pq≤100的所有p，q值，就是F（1）+F（2）+F（3）+…+F（100）的計算結(jié)果，當q＝1時，p可以取3、5、7、……、99，共有49個；當q＝2時，p可以取4、6、8、……、50，共有24個；當q＝3時，p可以取5、7、9、……、33，共有15個；當q＝4時，p可以取6、8、10、……、24，共有10個；當q＝5時，p可以取7、9、11、……、19，共有7個；當q＝6時，p可以取8、10、12、14、16，共有5個；當q＝7時，p可以取9、11、13，共有3個；當q＝8時，p可以取10、12，共兩個；當q＝9時，p可以取11，只有一個；當q≥20時，p無法滿足條件。所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（100）＝49+24+15+10+7+5+3+2+1＝116。故答案為：116。【考察注意點】本題主要考查了定義新運算，根據(jù)平方差公式判斷兩個因數(shù)的奇偶性是本題解題的關(guān)鍵。9．（3分）定義新運算“*”；a*b＝，那么（…（（2020*2019）*2018）*…*2）*1算式的計算結(jié)果是1。【思路引導(dǎo)】根據(jù)新的運算可以發(fā)現(xiàn)，n*（n﹣1）＝＝n﹣1，據(jù)此化簡要求的算式?！就暾獯稹拷猓阂驗閚*（n﹣1）＝＝n﹣1，所以（…（（2020*2019）*2018）*…*2）*1＝（…（2019*2018）*2017*…*2）11＝……＝2*1＝1故答案為：1。【考察注意點】本題主要考查了定義新運算，根據(jù)新的運算方法求出n*（n﹣1）的通項公式是本題解題的關(guān)鍵。10．（3分）已知：a★b＝4a﹣b÷2，A★（4★6）＝17.5.A＝6?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)所給出的等式找出新的運算方法，再根據(jù)新的運算方法解決問題即可?！就暾獯稹拷猓?★6＝4×4﹣6÷2＝16﹣3＝13A★（4★6）＝17.5A★13＝17.54A﹣13÷2＝17.54A﹣6.5＝17.54A＝24A＝6故答案為：6。【考察注意點】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的解方程的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。11．（3分）定義a*b＝a+2×b﹣2017，則（673*672）×（3210*1230）＝0?！舅悸芬龑?dǎo)】按照定義來分別計算即可。【完整解答】解：673*672＝673+2×672﹣2017＝673+1344﹣2017＝0。根據(jù)0×任何數(shù)都等于0可得最后結(jié)果為0。故答案為：0?！究疾熳⒁恻c】本題要根據(jù)0×任何數(shù)都等于0省略后面的計算。12．（3分）定義新運算a⊙b＝3a﹣b，例如2⊙3＝3×2﹣3＝3，那么2018⊙（4⊙5）＝6047．【思路引導(dǎo)】根據(jù)所給出的等式a⊙b＝3a﹣b，找出新的運算方法，再根據(jù)新的運算方法解決問題即可．【完整解答】解：4⊙5＝3×4﹣5＝72018⊙（4⊙5）＝2018⊙7＝3×2018﹣7＝6047故答案為：6047．【考察注意點】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案．13．（3分）定義一種運算＜＞，這個運算就是將自然數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字相加，然后再對這個和的各個數(shù)位上的數(shù)字相加，直至和為一位數(shù)為止。例如：＜2046＞＝＜2+0+4+6＞＝＜12＞＝＜1+2＞＝3。那么，＜＜12345＞×9＞＝9。【思路引導(dǎo)】根據(jù)定義分步將對應(yīng)的數(shù)代入式子即可?！就暾獯稹拷猓焊鶕?jù)定義＜12345＞＝＜1+2+3+4+5＞＝＜15＞＝＜1+5＞＝6；原式可以表示成＜6×9＞＝＜54＞＝＜5+4＞＝9。故答案為：9?！究疾熳⒁恻c】本題不難，依據(jù)題意代入計算即可。14．（3分）如果規(guī)定a⊕b＝2a+3b，a?b＝3a+2b，那么當x＝2時，（x?5）⊕7的結(jié)果是53?！舅悸芬龑?dǎo)】根據(jù)所給出的等式找出新的運算方法，再根據(jù)新的運算方法解決問題即可?！就暾獯稹拷猓海▁?5）⊕7＝53（3x+2×5）⊕7＝532（3x+2×5）+3×7＝536x+20+21＝536x＝12x＝2故答案為：2?！究疾熳⒁恻c】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的解方程的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。15．（3分）※表示一種新運算，它是這樣定義的：a※b＝（a+b）÷2。那么：9※7＝8；14※（3※5）＝9。【思路引導(dǎo)】根據(jù)所給出的等式a※b＝（a+b）÷2找出新的運算方法，再根據(jù)新的運算方法解決問題?！就暾獯稹拷猓?※7＝（9+7）÷2＝83※5＝（3+5）÷2＝414※（3※5）＝14※4＝（14+4）÷2＝9故答案為：8；9?！究疾熳⒁恻c】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法則，然后再分步求值就可得出答案。16．（3分）“⊙“表示一種新的運算符號．已知：2⊙3＝2+3+4；7⊙2＝7+8；3⊙5＝3+4+5+6+7；…按此規(guī)則，如果n⊙8＝68，那么n＝4．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題目中給的例子可得第一個數(shù)表示從整數(shù)幾開始，后面的數(shù)表示幾個連續(xù)整數(shù)相加，故n⊕8＝n+（n+1）+（n+2）+…+（n+7）＝68，再解方程即可．【完整解答】解：由題意知n⊕8＝n+（n+1）+（n+2）+…+（n+7）＝68，8n+（1+2+3+…+7）＝688n+28＝688n＝40n＝5．驗證5⊙8＝5+6+7+8+9+10+11+12＝68．故答案為：5．【考察注意點】此題考查定義新運算，讀懂題意，搞清運算的方法是解決問題的關(guān)鍵．17．（3分）定義：一天的“幸福指數(shù)”是12M﹣M2，其中M代表今天是星期幾．例如，今天是4月7日星期一，那么今天的幸福指數(shù)就是12×1﹣12＝11．那么，2014年勞動節(jié)（5月1日，星期四）的幸福指數(shù)是32．【思路引導(dǎo)】將12M﹣M2中的M換成星期幾進行運算即可．【完整解答】解：將M＝4代入下式12M﹣M2＝12×4﹣42＝48﹣16＝32故填32【考察注意點】在進行含有平方的運算中，要先算平方，再乘數(shù)，最后算加減．三．計算題（共3小題，滿分14分）18．（4分）設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b＝3×a+2×b．試計算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）【思路引導(dǎo)】本題考查定義新運算．【完整解答】解：（1）5*6＝3×5+2×6＝2727*7＝3×27+2×7＝95（2）6*7＝3×6+2×7＝325*32＝3×5+2×32＝79【考察注意點】解答新定義運算時，有括號的要先算括號里面的，再算括號外面的．19．（5分）設(shè)m，n都表示自然數(shù)，規(guī)定m#n＝2×m+3×n，計算：4#3，2#20．【思路引導(dǎo)】本題考查定義新運算．【完整解答】解：4#3＝2×4+3×3＝172#20＝2×2+3×20＝64【考察注意點】本題按照題目所給規(guī)則進行代值計算便可．20．（5分）規(guī)定3*5＝3+4+5+6+7，5*4＝5+6+7+8，…按此規(guī)定計算：11*5；200*3．【思路引導(dǎo)】本題考查定義新運算．【完整解答】解：11*5＝11+12+13+14+15200*3＝200+201+202【考察注意點】本題難度較低，按照題干所給規(guī)定列式即可．四．解答題（共7小題，滿分35分，每小題5分）21．（5分）定義運算|a﹣b|＝，在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中，任意選5個，從小到大依次記為a1，a2，a3，a4，a5；剩下的5個數(shù)從大到小依次記為b1，b2，b3，b4，b5．證明：|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+|a4﹣b4|+|a5﹣b5|＝25．【思路引導(dǎo)】本題考查數(shù)的大小排列，屬于新定義運算．【完整解答】證明：依題意有a1＜a2＜a3＜a4＜a5，b1＞b2＞b3＞b4＞b5，若a1，b1≤5，則a1，b2，b3，b4，b5均不大于5，這不可能；反過來，若a1，b1≥5，則a1，b2，b3，b4，b5均不小于5，這也不可能；因此，a1與b1中，必有一個不小于5，另一個必大于5，同理類推，a2與b2中，a3與b3中，a4與b4中，a5與b5中，分別必有一個不小于5，另一個必大于5，記S＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+|a4﹣b4|+|a5﹣b5|，則由上推理，在這十個數(shù)中，恰有5個數(shù)均不小于5，另外5個數(shù)均大于5，S＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+|a4﹣b4|+|a5﹣b5|＝10+9+8+7+6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1＝25．【考察注意點】本題關(guān)鍵在于分析出這十個數(shù)分別是1～10，難度較大．22．（5分）規(guī)定：符號“▼”為選擇兩個數(shù)中較大的數(shù)的運算，符號“▲”為選擇兩個數(shù)中較小的數(shù)的運算，比如：5▼3＝5，7▼10＝10，3▲7＝3．計算：[3▲2015▼4]×[214▼2015▲7]÷[[▼0.33]+[▲]]＝？【思路引導(dǎo)】根據(jù)符號“▼”為選擇兩個數(shù)中較大的數(shù)的運算，符號“▲”為選擇兩個數(shù)中較小的數(shù)的運算，化簡即可得出結(jié)論．【完整解答】解：原式＝（3▼4）×（2015▲7）÷（）＝4×7÷＝48．【考察注意點】本題考查定義新運算，考查學(xué)生的計算能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．23．（5分）對于任意自然數(shù)n，定義：△n為不超過n的所有自然數(shù)之和的個位數(shù)字，例如△4表示0+1+2+3+4＝10的個位數(shù)字，即△4＝0；請回答下列問題：（1）△2016＝6（2）是否存在自然數(shù)n滿足△（△n）＝n，若存在，求出所有滿足條件的自然數(shù)；若不存在．請說明理由．（3）計算：（△1）+（△2）+（△3）+…+（△2016）．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解；（2）依次枚舉n＝0到n＝9即可求解；（3）依次枚舉，發(fā)現(xiàn)周期為20，求得每個周期的和，依據(jù)規(guī)律求解即可．【完整解答】解：（1）0+1+2+…+2016＝（0+2016）×2017÷2＝2033136則△2016＝6．（2）△（△0）＝0△（△1）＝1△（△2）＝6△（△3）＝1△（△4）＝0△（△5）＝5△（△6）＝1△（△7）＝6△（△8）＝1△（△9）＝5故存在，所有滿足條件的自然數(shù)有0，1，5．（3）△1＝1，△2＝3，△3＝6，△4＝0，△5＝5，△6＝1，△7＝8，△8＝6，△9＝5，△10＝5，△11＝6，△12＝8，△13＝1，△14＝5，△15＝5，△16＝6，△17＝3，△18＝1，△19＝0，△20＝0，△21＝1，△22＝3，周期為20，每個周期的和是1+3+6+0+5+1+8+6+5+5+6+8+1+5+0+6+3+1+0+0＝70，2016÷20＝100（組）…16（個），（△1）+（△2）+（△3）+…+（△2016）＝70×100+70﹣（3+1+0+0）＝7000+70﹣4＝7066故答案為：6．【考察注意點】考查了定義新運算，注意：（1）解決此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行計算．（2）我們還要知道，這是一種人為的運算形式．它是使用特殊的運算符號，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等來表示的一種運算．（3）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的．24．（5分）設(shè)A⊙B＝4A﹣3B，已知X⊙（4⊙2）＝8，求X是多少．【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知：“⊙”表示的運算是前面數(shù)的4倍減去后面這個數(shù)的3倍，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計算即可等到關(guān)于x的方程，解方程即可．【完整解答】解：X⊙（4⊙2）＝8X⊙（4×4﹣3×2）＝8X⊙10＝84X﹣3×10＝84X＝38X＝9.5【考察注意點】本題考查的是定義新運算．25．（5分）如果1＝1!1×2＝2!1×2×3＝3!…1×2×3×…×99×100＝100!那么1!+2!+3!+…+100!的個位數(shù)字是3?【思路引導(dǎo)】根據(jù)所給出的式子，知道n！等于從1到n連續(xù)n個數(shù)的積，由此用此方法先計算5！的值，那么找出對于所有大于4的自然數(shù)n，n!的個位數(shù)字是0，進而得出1!+2!+3!+…+100!的個位數(shù)字．【完整解答】解：因為，5!＝1×2×3×4×5＝120，因此對于所有大于4的自然數(shù)n，n!的個位數(shù)字是0，所以，1!+2!+3!+…+100!的個位數(shù)字就是：1!+2!+3!+4!＝33的個位數(shù)字3；故答案為：3．【考察注意點】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給出的式子，找出新的運算方法，再根據(jù)5！的值的個位數(shù)字是0，由此得出1!+2!+3!+…+100!的個位數(shù)字．26．（5分）規(guī)定：A〇B表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)．若（A〇5+B△3）×（B〇5+A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數(shù)A×B的所有取值有幾個．【思路引導(dǎo)】由于題目中所要求的定義新運算的符號是較大的數(shù)與較大的數(shù)，則對于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5．對于B也有類似，兩者合起來共有3×3＝9種不同的組合，我們分別討論．（1）當A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）＝96＝6×16＝8×12，無解；（2）當3≤A＜5，B＜3時，則有（5+B）×（5+3）＝96，顯然無解；（3）當A≥5，B＜3時，則有（A+B）×（5+3）＝96，則A+B＝12．所以有A＝10，B＝2，此時乘積為20或者A＝11，B＝1，此時乘積為11．（4）當A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）＝96，無解；（5）當3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）＝96，無解；（6）當A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）＝27，則A＝9．此時B＝3后者B＝4．則他們的乘積有27與36兩種；（7）當A＜3，B≥5時，有（5+3）×（B+A）＝96．此時A+B＝12．A與B的乘積有11與20兩種；（8）當3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）＝96．