2015年高考陜西省理科數(shù)學真題一、選擇題1.設集合，，則（）A． B． C． D．2.某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A．167 B．137 C．123 D．933.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5 B．6 C．8 D．104.二項式的展開式中的系數(shù)為15，則（）A．4 B．5 C．6 D．75.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要7.對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（）A． B．C． D．8.根據(jù)下邊的圖，當輸入x為2006時，輸出的（）A．28 B．10 C．4 D．29.設，若，，，則下列關系式中正確的是（）A． B． C． D．10.某企業(yè)生產甲乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品需原料及每天原料的可用限額表所示，如果生產1噸甲乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元11.設復數(shù)，若，則的概率（）A． B． C． D．12.對二次函數(shù)（a為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（）A．-1是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上二、填空題13.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為14.若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則p=15.設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點p處的切線垂直，則p的坐標為16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為三、解答題17.的內角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．求；若，求的面積．18.如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．證明：平面；若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．19.設某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：求的分布列與數(shù)學期望；劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．20.已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．求橢圓的離心率；如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．21.設是等比數(shù)列，，，，的各項和，其中，，．證明：函數(shù)在內有且僅有一個零點（記為），且；設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明．22.如圖，切于點，直線交于，兩點，，垂足為．證明：；若，，求的直徑．23.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為．寫出的直角坐標方程；為直線上一動點，當?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標．2015年高考陜西省理科數(shù)學真題答案一、選擇題1.答案：A解析過程：由所以，選A2.答案：B解析過程：由圖可知該校女教師的人數(shù)為，選B3.答案：C解析過程：試題分析：由圖像得，當時，求得，當時，，選C4.答案：B解析過程：二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，選C5.答案：D解析過程：試題分析：由幾何體的三視圖可知該幾何體為圓柱的截去一半，所以該幾何體的表面積為，選6.答案：A解析過程：所以，選A7.答案：B解析過程：因為，所以選項A正確；當與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；所以選項D正確，選B8.答案：C解析過程：初始條件：；第1次運行：；第2次運行：；第3次運行：；；第1003次運行：；第1004次運行：．不滿足條件，停止運行，所以輸出的，故選 B．9.答案：B解析過程：，，函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，所以，故選C10.答案：D解析過程：設該企業(yè)每天生產甲、乙兩種產品分別為、噸，則利潤由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當直線過點時，取得最大值，所以，故選D11.答案：D解析過程：如圖可求得，，陰影面積等于若，則的概率是，故選B．12.答案：A解析過程：假設選項A錯誤，則選項B、C、D正確，，因為1是的極值點，3是的極值，所以，，解得，因為點在曲線上，所以，解得：，所以，，所以因為，所以不是的零點，所以假設成立，選A二、填空題13.答案：5解析過程：設數(shù)列的首項為，則，所以，故該數(shù)列的首項為14.答案：解析過程：拋物線的準線方程是，雙曲線的一個焦點，因為拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，所以，解得15.答案：（1,1）解析過程：因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，設的坐標為（），則，因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，因為，所以，即，解得，因為，所以，所以，即的坐標是16.答案：1.2解析過程：建立空間直角坐標系，如圖所示：原始的最大流量是，設拋物線的方程為（），因為該拋物線過點，所以，解得，所以，即，所以當前最大流量是，故原始的最大流量與當前最大流量的比值是三、解答題17.答案：（I）；（II）．解析過程：（I）因為，所以，由正弦定理，得又，從而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因為，所以.故ABC的面積為解法二：由正弦定理得，從而，又由，知，所以故所以的面積為18.答案：（I）證明見解析；（II）解析過程：（I）在圖1中，因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，BAD=，所以BEAC即在圖2中，BE，BEOC從而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以為二面角的平面角，所以.如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，因為,所以得，.設平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為19.答案：T的分布列為：ET=32（分鐘）解析過程：（I）由統(tǒng)計結果可得T的頻率分步為（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為253035400.20.30.40.1從而（分鐘）(II)設分別表示往、返所需時間，的取值相互獨立，且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.解法一：.解法二：故.20.答案：解析過程：（I）過點(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.(1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點，且.易知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為，代入(1)得設則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.解法二：由（I）知，橢圓E的方程為.(2)依題意，點A，B關于圓心M(-2,1)對稱，且.設則，，兩式相減并結合得.易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率因此AB直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓E的方程為.21.答案：（I）證明見解析；（II）當時，，當時，，證明見解析．解析過程：（I）則所以在內至少存在一個零點.又，故在內單調遞增，所以在內有且僅有一個零點.因為是的零點，所以，即，故.(II)解法一：由題設，設當時,當時,若,若,所以在上遞增，在上遞減，所以，即.綜上所述，當時,；當時解法二由題設，當時,當時,用數(shù)學歸納法可以證明.當時,所以成立.假設時，不等式成立，即.那么，當時，.又令，則所以當,,在上遞減；當,,在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數(shù)，都有.解法三:由已知，記等差數(shù)列為,等比數(shù)列為,則，，所以,令當時,,所以.當時,而，所以，.若,,,當,,,從而在上遞減,在上遞增.所以，所以當又,，故綜上所述，當時,；當時22.答案：見解析直徑為3解析過程：（Ⅰ）因為是