江蘇省蘇州市2023?2024學年高一下學期期中調研數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知單位向量的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．33．i是虛數(shù)單位，則的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．4．已知的內角所對的邊分別是，若，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C．3 D．66．下列命題正確的是（

）A．B．若向量，把向右平移2個單位，得到的向量的坐標為C．在中，是為銳角三角形的充要條件D．在中，若為任意實數(shù)，且，則P點的軌跡經過的內心7．蘇州國際金融中心為地處蘇州工業(yè)園區(qū)湖東CBD核心區(qū)的一棟摩天大樓，曾獲2020年度CTBUH全球高層建筑卓越獎.建筑整體采用“鯉魚跳龍門”之“魚”作為象征主題，以“魚躍龍門”為設計理念，呈鯉魚飛躍之勢寓意繁榮昌盛，大樓面向金雞湖，迎水展開，如魚尾般曼妙的弧線，從水面沿裙房一直延伸至主塔樓，某測量愛好者在過國際金融中心底部（當作點Q）一直線上位于Q同側兩點A，B分別測得金融中心頂部點P的仰角依次為，，已知AB的長度為330米，則金融中心的高度約為（

）A．350米 B．400米 C．450米 D．500米8．在平行四邊形中，為的中點，，與交于點，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在中，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．，是復數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則是純虛數(shù)B．若，則C．若，互為共軛虛數(shù)，則，在復平面內對應的點關于實軸對稱D．若，則11．已知P是邊長為1的正六邊形內一點（含邊界），且，則下列正確的是（

）A．的面積為定值 B．使得C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．已知為兩個不共線的非零向量，若與共線，則k的值為．13．中，若，則．14．已知的外接圓半徑為1，則的最小值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復數(shù)在復平面上對應點在第一象限，且，的虛部為2.(1)求復數(shù)；(2)設復數(shù)、、在復平面上對應點分別為、、，求的值.16．已知向量，不共線，點P滿足，x，.證明：(1)若，則點P是線段AB的中點；(2)是A、B、P三點共線的充要條件.17．在平面直角坐標系中，點、、滿足：在軸的正半軸上，的橫坐標是，，．記是銳角，是鈍角．(1)求的值；(2)求的值．18．如圖，在平面四邊形中，已知為等邊三角形，記．(1)若，求的面積；(2)若，求的面積的取值范圍．19．某高一數(shù)學研究小組，在研究邊長為1的正方形某些問題時，發(fā)現(xiàn)可以在不作輔助線的情況下，用高中所學知識解決或驗證下列有趣的現(xiàn)象．若分別為邊上的動點，當?shù)闹荛L為2時，有最小值（圖1）、為定值（圖2）、到的距離為定值（圖3）．請你分別解以上問題．(1)如圖1，求的最小值；(2)如圖2，證明：為定值；(3)如圖3，證明：到的距離為定值．

參考答案1．【答案】D【詳解】復數(shù)在復平面內對應點，位于第四象限.故選：D.2．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】由已知有，，故.故選C.3．【答案】B【詳解】，共軛復數(shù)為.故選：B4．【答案】C【詳解】由正弦定理，所以，，則.故選：C5．【答案】A【詳解】在上的投影向量為.故選：A6．【答案】D【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：向量平移后，不改變方向和模長，故平移后與平移前為相等向量，故把向右平移2個單位，得到的向量的坐標為，故B錯誤；對于C：由，即，即，又，所以為銳角，不能得到為銳角三角形，故充分性不成立，故C錯誤；對于D：由，可得又表示方向上的單位向量，表示方向上的單位向量，根據(jù)向量加法的幾何意義知，以和為鄰邊的平行四邊形為菱形，點在該菱形的對角線上，又菱形的對角線平分一組對角，故點在的平分線上，所以點的軌跡經過的內心，故D正確.故選：D7．【答案】C【詳解】在中，由正弦定理得：，即，又，所以，所以金融中心的高度為.故選：C8．【答案】B【詳解】因為在上，為的中點，設，因為，，三點共線，所以，因為、不共線，所以，解得，所以．故選：B．9．【答案】ACD【詳解】對A，由三角形大邊對大角可得若則，再由正弦定理可得，故A正確；對B，若，則，，，故B錯誤；對C，在中，，又在上為減函數(shù)，故，故C正確；對D，由A可得，若，則，則，故，即，故D正確.故選：ACD10．【答案】AC【詳解】設，，對于選項A：若，則，可得或，當時，，則；當時，，不符合題意；綜上所述：，，所以是純虛數(shù)，故A正確；對于選項B：例如，則，符合題意，但，故B錯誤；對于選項C：若，則，可得，，可知在復平面內對應的點的坐標為，即，且在復平面內對應的點的坐標為，所以，在復平面內對應的點關于實軸對稱，故C正確；對于選項D：若，，則，，滿足，但、的大小無法比較，故D錯誤．故選：AC．11．【答案】AC【詳解】對A，由可得，即，可得，因此，在正六邊形的對角線上運動，所以到的距離為定值，所以的面積為定值，故A正確；對B，因為正六邊形關于對角線對稱，故，故B錯誤；對C，根據(jù)圖形的對稱性，當為中點時，取得最大值，當與重合時取得最小值，即的取值范圍是，故C正確；對D，因為正六邊形邊長為1，所以平行線的距離，又當時，PC有最小值，故D錯誤.故選：AC.12．【答案】/【詳解】由題意若與共線，則，則，因為為兩個不共線的非零向量，故，解得.故答案為：13．【答案】【詳解】中，若，則，則.故.故答案為：14．【答案】/【分析】根據(jù)題意利用正弦定理算出，，從而得到，利用三角恒等變換公式化簡，可得，進而利用二次函數(shù)的性質算出的最小值．【詳解】根據(jù)題意得，當為鈍角時，，有，因此，當取得最小值時，，即為鈍角．若的外接圓半徑，則，可得，，又，所以，因為，當時，有最小值，所以當且時，即，時，有最小值．故答案為：/-0.5.【關鍵點撥】利用積化和差將變形為,從而得到=，再結合二次函數(shù)的性質求出最小值.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，，，由題意得，解得或，又因為復數(shù)在復平面上對應點在第一象限，所以.（2），，，所以對應的點，，，從而，，.16．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為的，所以，即，所以，所以，所以P是線段AB的中點.（2）充分性：若，則，所以，所以，所以，所以A、B、P三點共線；必要性：因為A、B、P三點共線，所以存在實數(shù)x滿足：，所以，即，所以，所以綜上所述，是A、B、P三點共線的充要條件.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，可知，因為，故可設點的坐標為，則有，所以，又為銳角，所以，因為鈍角的終邊與單位圓的交點的橫坐標是，所以，則，所以；（2）由（1）知，，所以，因為，所以，又，所以，又，所以，所以．18．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理與勾股定理可得，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）設，由余弦定理可得，再根據(jù)正弦定理可得，進而可得，再結合求解即可.【詳解】（1）在中由余弦定理，所以，則，所以.又因為為等邊三角形，所以，且，所以.（2）不妨設，在中，由余弦定理，.在中，由正弦定理，即，