連續(xù)體振動(dòng)——弦、桿、軸振動(dòng)力學(xué)與控制基礎(chǔ)0.引言連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定連續(xù)體振動(dòng)求解與分析基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動(dòng)方程統(tǒng)一解法總結(jié)目錄0引言連續(xù)系統(tǒng)：具有分布質(zhì)量和分布彈性的系統(tǒng)，即結(jié)構(gòu)的慣性、彈性以及阻尼都是連續(xù)分布的。如如弦、桿、軸、梁、板等。連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用時(shí)間和坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述：

基本假設(shè)如下：1.線彈性，本構(gòu)滿足線性關(guān)系2.小變形3.材料是均勻連續(xù)的，且各向同性0引言拉伸產(chǎn)生縱向振動(dòng)扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)拉伸產(chǎn)生橫向振動(dòng)1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--弦的橫向振動(dòng)方程

該弦微段的平衡方程為對(duì)微幅振動(dòng)，有弦微段的受力

若不考慮橫向力，則弦自由振動(dòng)微分方程表示為

波動(dòng)方程

1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--桿的縱向振動(dòng)方程基本假設(shè)如下：（1）

只考慮桿的縱向振動(dòng)，即桿只有縱向變形（2）

垂直于桿軸線的任一橫截面在振動(dòng)時(shí)仍保持平面且和原截面保持平行（3）

每個(gè)橫截面內(nèi)的各點(diǎn)只沿桿軸線方向運(yùn)動(dòng)

桿微段的平衡方程為

1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--桿的縱向振動(dòng)方程根據(jù)材料力學(xué)，有

代入桿微段的平衡方程后，且考慮均勻的等截面直桿，即桿的彈性模量以及橫截面積均為常數(shù)，可得

若不考慮軸向外力，則桿自由振動(dòng)微分方程表示為

波動(dòng)方程

1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程基本假設(shè)如下：（1）理想彈性體；（2）

軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)過程中仍保持平面，即忽略扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)截面的翹曲

根據(jù)動(dòng)量矩定理，軸微段的平衡方程為

1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程根據(jù)材料力學(xué)，有

代入軸微段的平衡方程后，且考慮均勻的圓軸，即軸的密度，剪切模量以及橫截面積均為常數(shù)，可得

若不考慮外扭矩，則軸的自由振動(dòng)微分方程表示為

波動(dòng)方程

1連續(xù)體振動(dòng)方程推導(dǎo)--總結(jié)弦的橫向振動(dòng)

桿的縱向振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

自由振動(dòng)

波動(dòng)方程

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定基本定義：

利用該方法只需對(duì)靠近邊界區(qū)域薄切一刀，進(jìn)而對(duì)這兩個(gè)位置的微元進(jìn)行受力分析，即可得到相應(yīng)邊界滿足的等式關(guān)系。切刀法可以很好地解決系統(tǒng)不同邊界處存在質(zhì)量塊、彈性約束的邊值問題。邊界條件確定方法--切刀法2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--弦(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端銷釘連接

弦兩端端點(diǎn)不能承受橫向力，即

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--弦弦邊界處，應(yīng)變始終為零，即c.兩端自由

d.彈性連接若彈性連接在弦右側(cè)，采用切刀法，在弦右側(cè)邊界薄切一刀，此時(shí)對(duì)微元受力分析，可知

若彈性連接在弦左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--桿(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端自由桿邊界處，應(yīng)變始終為零，即

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--桿c.彈性連接若彈性連接在桿右側(cè)，采用切刀法，在桿右側(cè)邊界薄切一刀，此時(shí)對(duì)微元受力分析，可知若彈性連接在桿左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--桿d.慣性載荷若慣性載荷在桿右側(cè)，采用切刀法，在桿右側(cè)邊界薄切一刀，此時(shí)對(duì)微元受力分析，可知若彈性連接在桿左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--軸(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端自由軸邊界處，剪應(yīng)變始終為零，即

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--軸c.彈性連接若彈性連接在軸右側(cè)，采用切刀法，在軸右側(cè)邊界薄切一刀，此時(shí)對(duì)微元受力分析，可知若彈性連接在軸左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動(dòng)初始條件與邊界條件的確定--軸d.慣性載荷若慣性載荷在軸右側(cè)，采用切刀法，在軸右側(cè)邊界薄切一刀，此時(shí)對(duì)微元受力分析，可知若彈性連接在軸左側(cè)，邊界條件可表示為

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析弦、桿、軸振動(dòng)微分方程統(tǒng)一為

求解

通解特解自由振動(dòng)受迫振動(dòng)3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析（1）自由振動(dòng)

采用分離變量法，假設(shè)方程的解為

，化簡(jiǎn)可得

寫作兩個(gè)常微分方程形式，有

解得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析a.兩端固支

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析前3階振型為

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析b.兩端自由

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析c.一端固定一端自由

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析主振型的正交性

正交性

作差3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析作差可得

由于不同階數(shù)下系統(tǒng)模態(tài)頻率是互異的，故正交性得證。

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析（2）受迫振動(dòng)采用分離變量法，假設(shè)方程的解為

，根據(jù)模態(tài)疊加法，連續(xù)體系統(tǒng)的受迫振動(dòng)表示為

代入微分方程，可得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析根據(jù)杜哈梅積分，可得微分方程的解為

通解特解故，連續(xù)體受迫振動(dòng)的解為

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

故，弦的運(yùn)動(dòng)形式為3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

得到頻率方程

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析圖解法

分解

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析特殊情況

這一結(jié)果與單自由度系統(tǒng)的結(jié)果相同，說明在計(jì)算基頻時(shí)，如果桿本身質(zhì)量比懸掛的質(zhì)量小得多時(shí)，可以略去桿的質(zhì)量，此時(shí)桿扮演了彈簧。3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析特殊情況

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由此，桿的頻率方程為

桿的固有圓頻率解得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

代入

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析特殊情況

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由此，軸的頻率方程為

軸的固有圓頻率解得

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

代入

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

由此，桿的頻率方程為

桿的固有圓頻率解得

根據(jù)杜哈梅積分的解

3

連續(xù)體振動(dòng)求解與分析

其中，

桿的振動(dòng)響應(yīng)為4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動(dòng)方程統(tǒng)一解法弦、桿、軸自由振動(dòng)微分方程統(tǒng)一為波動(dòng)方程

傳統(tǒng)求解方法：分離變量構(gòu)造試探解

對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，試探解往往很難構(gòu)造，且構(gòu)造精度較低。為避免試探解的構(gòu)造過程，以求解波動(dòng)方程為例，結(jié)合深度學(xué)習(xí)的知識(shí)，介紹基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Physics-InformedNeuralNetwork，PINN）的求解方法。4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動(dòng)方程統(tǒng)一解法什么是PINN？PINN其主要包含兩個(gè)信息，即物理信息“PI”和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)“NN”，體現(xiàn)了可認(rèn)知和可測(cè)量2個(gè)方面?？烧J(rèn)知表現(xiàn)為方程的物理信息提供了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要逼近的目標(biāo)，從而為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供了可解釋性；可測(cè)量則是指對(duì)物理信息的數(shù)值化測(cè)度，即通過模擬、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等方式獲得體現(xiàn)方程物理信息的數(shù)據(jù)，最終以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方式訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)從“NN”向“PI”的逼近。PI與NN對(duì)于一個(gè)PDE的關(guān)系如圖。4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動(dòng)方程統(tǒng)一解法PINN對(duì)于一個(gè)PDE的求解流程如下：（1）確定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集:給出PDE初邊值問題的形式，采用隨機(jī)抽樣方法和超立方拉丁抽樣方法隨機(jī)確定初始數(shù)據(jù)、邊值數(shù)據(jù)和內(nèi)部配置采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練樣本數(shù)目；（2）構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：定義D層全連接前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。每一層隱藏層都采用非線性激活函數(shù)，如Sigmoid激活函數(shù)、tanh激活函數(shù)、ReLU激活函數(shù)、LeakyReLU激活函數(shù)等，它們構(gòu)成了所需要訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；（3）構(gòu)建損失函數(shù)：根據(jù)所考慮的問題構(gòu)建相應(yīng)的損失函數(shù)來度量預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的差異。對(duì)于參數(shù)發(fā)現(xiàn)這類反問題，只需要將PDE中所有的參數(shù)作為與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)類似的可學(xué)習(xí)參數(shù)，從而利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)求解PDE中的未知參數(shù)。常見的損失函數(shù)有均方誤差、平均絕對(duì)誤差、HuberLoss/SmoothL1Loss、Log-CoshLoss等；（4）訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：通過優(yōu)化損失函數(shù)來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，