2024—2025學(xué)年度高二4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.4名同學(xué)去3個(gè)十字路口作交通協(xié)管志愿者，每名同學(xué)可自由選擇1個(gè)十字路口，不同選擇方法的種數(shù)是（）A.81 B.64 C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】由題意，根據(jù)分步乘法原理，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，每名同學(xué)可自由選擇3個(gè)十字路口中的任意一個(gè)，所以每名同學(xué)有3種選擇方法，由分步計(jì)數(shù)原理知，4名同學(xué)共有種選擇方法.故選：A．2.曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故選：C．3.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)乘法的求導(dǎo)公式直接求導(dǎo)，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B．4.體育課上，四組同學(xué)進(jìn)行籃球訓(xùn)練．現(xiàn)將7個(gè)籃球進(jìn)行分配，每個(gè)組都分到籃球的分配方法有（）A.23種 B.22種 C.21種 D.20種【答案】D【解析】【分析】利用隔板法即可求得結(jié)果.【詳解】將7個(gè)籃球分配給4組學(xué)生，每個(gè)組都分到籃球，即把7個(gè)籃球分成4組，每組至少有1個(gè)籃球，用隔板法．將7個(gè)籃球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空中選3個(gè)插入3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個(gè)組都分到籃球的分配方法有20種．故選:D．5.已知函數(shù)，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.【詳解】由，得．令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值也是最小值．即的最小值為，故選：D．6.投擲一枚正方體骰子兩次，則在第一次正面朝上點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的條件下，第二次正面朝上的點(diǎn)數(shù)大于4的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件概率得，由即可求解.【詳解】記事件“第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“第二次正面朝上的點(diǎn)數(shù)大于4”．投擲一枚正方體骰子兩次，所有的樣本點(diǎn)（x為第一次正面朝上的點(diǎn)數(shù)，y為第二次正面朝上的點(diǎn)數(shù)）共36個(gè)，其中事件A包含的樣本點(diǎn)有18個(gè)事件AB包含的樣本點(diǎn)有6個(gè)，,所以.故選：C．7.在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，甲、乙、丙能正確解答某道題的概率分別為0.5，0.6，0.4，且這三人是否能按時(shí)正確解答該題相互獨(dú)立．記甲、乙、丙三人中能按時(shí)正確解答該題的人數(shù)為X，則（）A.1.8 B.1.7 C.1.6 D.1.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意的取值為0，1，2，3，再利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式以及數(shù)學(xué)期望相關(guān)知識(shí)可解．【詳解】記事件A，B，C分別為甲、乙、丙能按時(shí)正確解答該題，由題意得，，，則，，．由題意可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以.故選：D．8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，先畫(huà)的圖像，求導(dǎo)得到其單調(diào)性以及極值，然后再畫(huà)的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則．由得，所以在上單調(diào)遞減；由得，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，．又當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的大致圖象如圖．由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是，故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.現(xiàn)有牌面互不相同的五張撲克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3張和方塊有2張．從中不放回地抽取2次，每次抽取一張，則下列說(shuō)法正確的有（）A.第二次抽到黑桃的概率為B.在抽取過(guò)程中，至少有一次抽到方塊的概率為C.若已知第二次抽到的是方塊，則第一次也抽到方塊的概率為D.設(shè)抽到黑桃的次數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】利用古典概型的概率計(jì)算，分類(lèi)計(jì)數(shù)、正難則反、條件概率以及離散型分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望，可得答案.【詳解】第二次抽到黑桃的概率為，故A正確；因?yàn)閮纱味汲榈胶谔业母怕蕿?，所以至少有一次抽到方塊的概率為，故B錯(cuò)誤；第二次抽到方塊的概率為，兩次都抽到方塊的概率為，所以已知第二次抽到的是方塊，則第一次也抽到方塊的概率為，故C正確；X可能取值為0，1，2，，，，故，故D正確．故選：ACD．10.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.的展開(kāi)式中，的系數(shù)是60B.，則C.用數(shù)字0，1，2，3，4組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48D.隨機(jī)變量X的分布列為，，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，由題意，可得其正誤；對(duì)于B，利用賦值法，分別賦值為，相減可得其正誤；對(duì)于C，根據(jù)分類(lèi)加法原理，結(jié)合四位數(shù)且為偶數(shù)的性質(zhì)，可得其正誤；對(duì)于D，根據(jù)數(shù)學(xué)期望以及方差的計(jì)算公式，可得其正誤.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，1，2，3，4，5，6，令，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故A正確；在中，令，得，所以；再令，得，即．所以，故B正確；由題意，若四位數(shù)為偶數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字為0，2或4．當(dāng)個(gè)位數(shù)字為時(shí)，四位數(shù)有個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2或4時(shí)，四位數(shù)分別有個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；由題意得，，所以，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則B.若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則函數(shù)在上的最小值為D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，如切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)最值等知識(shí)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷.【詳解】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得，所以.已知切線方程為，其斜率為，所以，解得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，.，令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值，，故C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，不滿足.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得最小值.令，對(duì)其求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以在處取得最大值.要使，則，所以，故選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，由得：，因?yàn)?，所以，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)解導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題型.13.某學(xué)校組織乒乓球比賽，采取3局2勝制．甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行淘汰賽，假設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率均為，且各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．則在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式求解.【詳解】設(shè)甲獲勝為事件A，甲第一局獲勝為事件B，則，，所以在甲獲勝的條件下，甲第一局獲勝的概率．故答案為：14.設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在上恒成立．參變分離得出，求出函數(shù)最小值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】對(duì)任意的，，可得，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，即在上恒成立．因?yàn)椋丛谏虾愠闪ⅲ蛛x參數(shù)有，當(dāng)時(shí)，取最小值，所以，即.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為【解析】【分析】（1）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，利用切點(diǎn)橫坐標(biāo)求得切線斜率，由切線方程求得切點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而建立方程組，可得答案；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以．已知函?shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程是，即，所以，．解得，，所以函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，所以．令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．16.某次物理考試后，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名參加本次考試的學(xué)生的成績(jī)（單位：分），得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）為進(jìn)一步調(diào)查學(xué)生每天學(xué)習(xí)物理的時(shí)間，從樣本采用比例分層抽樣從成績(jī)?cè)?，?nèi)的學(xué)生中抽取13人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）利用小長(zhǎng)方形面積和建立方程，求解即可.（2）由題意得X可取值，再求得相應(yīng)的概率，列出分布列，然后求解期望即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，解得．【小問(wèn)2詳解】由題意，抽取的13人，成績(jī)?cè)?，的學(xué)生人數(shù)分別為，，則X的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望17.2024年國(guó)慶假期期間，某超市舉辦了購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)．設(shè)置甲、乙、丙三個(gè)抽獎(jiǎng)箱，每次從其中一個(gè)抽獎(jiǎng)箱中抽取一張獎(jiǎng)券，已知甲箱每次抽取中獎(jiǎng)的概率為，乙和丙箱每次抽取中獎(jiǎng)的概率均為，中獎(jiǎng)與否結(jié)果互不影響．（1）已知某顧客有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，現(xiàn)有兩種抽獎(jiǎng)方案供選擇：方案一：從甲、乙、丙中各抽取一次，中獎(jiǎng)三次獲得金額50元的代金券，中獎(jiǎng)兩次獲得金額20元的代金券，其它情況沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)．方案二：從甲中抽取三次，中獎(jiǎng)三次獲得金額70元的代金券，中獎(jiǎng)兩次獲得金額30元的代金券，其它情況沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)．計(jì)算獲得代金券金額的期望，分析該顧客選擇哪個(gè)方案比較合適？（2）若一位顧客有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他等可能的選擇甲、乙、丙三個(gè)抽獎(jiǎng)箱中的一個(gè)抽獎(jiǎng)，已知該顧客抽取中獎(jiǎng)，求該顧客選擇乙抽獎(jiǎng)箱的概率．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）分別計(jì)算兩方案中獎(jiǎng)三次和中獎(jiǎng)兩次的概率，從而求得獲得代金券金額的期望，比較期望選擇較大的方案；（2）設(shè)事件A為“顧客選擇甲抽獎(jiǎng)箱”，事件B為“顧客選擇乙抽獎(jiǎng)箱”，事件C為“顧客選擇丙抽獎(jiǎng)箱”，事件D為“抽取的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”，利用全概率公式即可求解，再利用貝葉斯公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】方案一中，中獎(jiǎng)三次的概率為，中獎(jiǎng)兩次的概率為，所以獲得代金券金額的期望為；方案二中，中獎(jiǎng)三次的概率為,中獎(jiǎng)兩次的概率為，所以獲得代金券金額的期望為，因?yàn)?，所以該顧客選擇方案一比較合適.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件A為“顧客選擇甲抽獎(jiǎng)箱”，事件B為“顧客選擇乙抽獎(jiǎng)箱”，事件C為“顧客選擇丙抽獎(jiǎng)箱”，事件D為“抽取的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”，由題意得，，,，,,所以已知該顧客抽取中獎(jiǎng)，求該顧客選擇乙抽獎(jiǎng)箱的概率.18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若，求在區(qū)間的最小值．【答案】（1）極大值，極小值；（2）時(shí)，最小值為；時(shí)，最小值為.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值；（2）利用導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)性和最小值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，所以，?dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，在處取得極小值.【小問(wèn)2詳解】由題意，，令，解得或.因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間的最小值為.當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在區(qū)間的最小值為.綜上所述，時(shí)，在區(qū)間的最小值為；時(shí)，則在區(qū)間的最小值為.19.已知函數(shù)（）．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）求證：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，，無(wú)極大值.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值即可，（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)