第五節(jié)二次函數(shù)的應(yīng)用第一部分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)·突破核心第三章函數(shù)鏈接教材基礎(chǔ)過關(guān)考點(diǎn)一二次函數(shù)的實際應(yīng)用1．與面積有關(guān)的實際問題．2．拋物線形實際問題(1)根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)表達(dá)式；(2)確定自變量的取值范圍；(3)根據(jù)圖象，結(jié)合所求表達(dá)式解決問題．3．實際問題中求最值的步驟(1)分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式；(2)研究自變量的取值范圍；(3)確定所得的函數(shù)；(4)檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；(5)解決提出的實際問題．考點(diǎn)二二次函數(shù)的綜合應(yīng)用二次函數(shù)的綜合題多與一元二次方程、不等式、幾何知識綜合在一起，考查較多的是面積問題、動點(diǎn)問題、存在性問題，難度大、綜合性強(qiáng)．

√

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋c(a＜0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點(diǎn)A，B，C，則ac的值是__________．－2

考點(diǎn)突破對點(diǎn)演練命題點(diǎn)1二次函數(shù)的實際應(yīng)用【典例1】

(2024·陜西)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線FF′為x軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC＝100m，AO＝BC＝17m，纜索L1的最低點(diǎn)P到FF′的距離PD＝2m．(橋塔的粗細(xì)忽略不計)(1)求纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)E在纜索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，F(xiàn)O＜OD，求FO的長．

[對點(diǎn)演練]1．(2024·泰安)如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園．已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是________平方米．450450

[由題意，設(shè)垂直于外墻的邊長為x米，則平行于外墻的邊長為(60－2x)米，又墻長為40米，∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．又菜園的面積＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，∴當(dāng)x＝15時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于外墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．]2．小明大學(xué)畢業(yè)后和同學(xué)創(chuàng)業(yè)，合伙開了一家網(wǎng)店，暑期銷售原創(chuàng)設(shè)計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當(dāng)銷售價為100元時，每天能售出20件．經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．(1)若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？(2)小明希望每天獲得的利潤達(dá)到1050元并且優(yōu)惠最大，則每件T恤衫的銷售價應(yīng)該定為多少？[解]

(1)由題意得，每天銷售T恤衫的利潤為：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1152(元)．答：降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為1152元．(2)設(shè)此時每件T恤衫降價x元，由題意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1050，整理，得x2－30x＋125＝0，解得x＝5或x＝25．又∵優(yōu)惠最大，∴x＝25．∴此時售價為100－25＝75(元)．答：小明希望每天獲得的利潤達(dá)到1050元并且優(yōu)惠最大，則每件T恤衫的銷售價應(yīng)該定為75元．

(1)①m＝________，n＝________；②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)小球飛行高度y(米)與飛行時間t(秒)滿足關(guān)系：y＝－5t2＋vt．①小球飛行的最大高度為________米；②求v的值．x012m4567…y068n…368

(1)求拋物線C1的表達(dá)式；(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)D是否在拋物線C2上；(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點(diǎn)P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

[對點(diǎn)演練](2023·泰安)如圖1，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－4，0)，B(－1，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，當(dāng)△BCP的面積為5時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請說明理由．

【教師備選資源】1．(2022·泰安)如圖，若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，B(0，－4)，其對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一交點(diǎn)為C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．①若點(diǎn)N在線段OC上，且MN＝3NC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②以MN為對角線作正方形MPNQ(點(diǎn)P在MN右側(cè))，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

2．(2021·泰安)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－4，0)，B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP，AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．

(2)如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，∵PD∥y軸，∴∠DPB＝∠OEB，∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO，∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE．

課時分層評價卷(十三)二次函數(shù)的應(yīng)用題號135246879(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共60分)

1．[跨學(xué)科](2024·天津)從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運(yùn)動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列結(jié)論：①小球從拋出到落地需要6s；②小球運(yùn)動中的高度可以是30m；③小球運(yùn)動2s時的高度小于運(yùn)動5s時的高度．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是(

)A．0

B．1

C．2

D．3√題號135246879C

[①令h＝0，則30t－5t2＝0，解得t1＝0，t2＝6，∴小球從拋出到落地需要6s，故①正確；②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，∵－5＜0，∴當(dāng)t＝3時，h有最大值，最大值為45，∴小球運(yùn)動中的高度可以是30m，故②正確；題號135246879③t＝2時，h＝30×2－5×4＝40(m)，t＝5時，h＝30×5－5×25＝25(m)，∴小球運(yùn)動2s時的高度大于運(yùn)動5s時的高度，故③錯誤．故選C．]題號1352468792．(2024·甘肅)如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y(單位：m)與距離停車棚支柱AO的水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的圖象，點(diǎn)B(6，2.68)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)(填“能”或“不能”)．能題號135246879能[∵CD＝4m，B(6，2.68)，∴6－4＝2，在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，當(dāng)x＝2時，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，∵2.12＞1.8，∴貨車能完全停到車棚內(nèi)．]題號135246879

題號135246879

題號135246879

題號1352468794．第34個全國助殘日的主題是“科技助殘，共享美好生活”．某公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時，每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于180元．設(shè)每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？(2)全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？題號135246879

題號135246879

題號1352468795．(2024·福建)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題號135246879

題號135246879

題號135246879

√B

[如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作MN⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥MN于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM．∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，∴△ANB≌△DMA(AAS)．題號135246879題號135246879

題號135246879又AM＝NB，DM＝AN，∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．∴b＝－n2－m＋4．∴n＝m2－4－n2－m＋4．∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．∵點(diǎn)A，C在y軸的同側(cè)，且點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè)，∴m＋n≠0．∴m－n＝1．故選B．]題號1352468797．[情境題](2024·四川自貢)九(1)班勞動實踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地，地上兩段圍墻AB⊥CD于點(diǎn)O(如圖)，其中AB上的EO段圍墻空缺．同學(xué)們測得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班長買來可切斷的圍欄16m，準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該菜地最大面積是______m2．46.4題號135246879

題號1352468798．(2024·湖南)已知二次函數(shù)y＝－x2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－2，5)，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點(diǎn)．題號135246879

題號135246879

題號135246879

題號135246879

題號1352468799．[項目式學(xué)習(xí)試題](2024·山西)綜合與實踐問題情境：如圖1，矩形MNKL是學(xué)?；▓@的示意圖，其中一個花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分與線段AB組成的封閉圖形，點(diǎn)A，B在矩形的邊MN上．現(xiàn)要對該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計方案．方案設(shè)計：如圖2，AB＝6米，AB的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P，與AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，且PO＝9米．欣欣設(shè)計的方案如下：題號135246879第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，用籬笆沿線段AC，BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串紅；第二步：在線段CP上取點(diǎn)F(不與C，P重合