第二節(jié)矩形、菱形和正方形第一部分基礎復習·突破核心第五章四邊形鏈接教材基礎過關考點一矩形的性質和判定1．矩形的定義和性質(1)矩形的定義：有一個角是直角的__________叫做矩形．(2)矩形的性質：①矩形具有平行四邊形的所有性質．②角：矩形的四個角都是____．③對角線：矩形的對角線____．平行四邊形直角相等2．矩形的判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形．(2)有______是直角的四邊形是矩形．(3)對角線____的平行四邊形是矩形．三個角相等

鄰邊相等互相垂直平分一組對角2．菱形的判定(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(平行四邊形＋一組鄰邊相等＝菱形)．(2)四條邊都相等的四邊形是菱形．(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．考點三正方形的性質和判定1．正方形的定義和性質(1)正方形的定義：有一組鄰邊____的____叫做正方形．(2)正方形的性質：①正方形的四個角都是____，四條邊都____．②正方形的對角線____且互相________．相等矩形直角相等相等垂直平分2．正方形的判定(1)對角線相等的____是正方形．(2)對角線垂直的____是正方形．(3)有一個角是直角的____是正方形．菱形矩形菱形1．下列命題，其中是真命題的是(

)A．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形B．有一個角是直角的四邊形是矩形C．對角線互相平分的四邊形是菱形D．對角線互相垂直的矩形是正方形√D

[對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A選項不符合題意；有三個角是直角的四邊形是矩形，故B選項不符合題意；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故C選項不符合題意；對角線互相垂直的矩形是正方形，故D選項符合題意．故選D．]

√

3．如圖，點E為正方形ABCD外一點，且ED＝CD，連接AE，交BD于點F．若∠CDE＝42°，則∠BFC的度數(shù)為(

)A．72° B．71°C．70°

D．69°√

4．如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD和CD上的點，且∠ABE＝∠CBF．求證：DE＝DF．[證明]∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C，又∵∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF，∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF．5．(北師大版九上例題)如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE＝CF．BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．[解]

BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°．∴∠BCE＝∠DCF．又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE＝DF．(2)延長BE交DF于點M(如圖)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF．∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°．∴∠CBE＋∠F＝90°．∴∠BMF＝90°．∴BE⊥DF．考點突破對點演練

√

法二：延長AB，在AB的延長線上截取BM＝AB，連接CM，過點C作CN⊥AB，交AB的延長線于點N，如圖．∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD，∵CN⊥AB，∴CN⊥CD，∴BD∥CN，∴四邊形BNCD是矩形，∴BN＝CD＝3，CN＝BD＝4，∴NM＝BM－BN＝2，

方法總結

矩形性質的問題，利用矩形的四個角都是直角，對邊相等，對角線把矩形分成兩個全等的三角形，經常結合勾股定理來解答．[對點演練]1．(典例1變式)兩個矩形的位置如圖所示，若∠1＝124°，則∠2＝(

)A．34° B．56°C．79° D．146°√B

[如圖，由題意得：∠3＝180°－∠1＝180°－124°＝56°，根據(jù)矩形的性質推出，∠4＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠2＝56°．故選B．]

√

3．(2024·泰山期中)如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P為AB上一動點(不與A，B重合)，作PE⊥AC，垂足為點E，PF⊥BC，垂足為點F，連接EF，則EF的最小值是________．4.8

√A

[如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點E，過點D作DH⊥QE，垂足為點H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，

√

[解]

(1)證明：∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°．∵∠ABO＝∠ACE，∴∠CAE＋∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．

方法總結

菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．

√

2．(魯教版八下P11習題6.3T4改編)如圖，已知點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，G，H分別是對角線BD，AC的中點，要使四邊形EGFH

是菱形，則四邊形ABCD需滿足的條件是(

)A．AB＝CD

B．AC＝BDC．AC⊥BD

D．AD＝BC√

√A

[∵點E為BC的中點，∴BC＝2BE＝2CE．又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正確；

√

C

[如圖，過點E作EM⊥BC，垂足為點M，作MH⊥AB，垂足為點H，作AI⊥GM，垂足為點I．∵∠EMF＋∠EGF＝180°，∴點E，M，F(xiàn)，G四點共圓，∴∠EMG＝∠EFG＝30°，∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，

命題點3正方形的性質和判定【典例3】

(2022·泰安)如圖，四邊形ABCD為正方形，點E是BC的中點，將正方形ABCD沿AE折疊，得到點B的對應點為點F，延長EF交線段DC于點P，若AB＝6，則DP的長度為________．2

√

2．如圖，在直角坐標系中，正方形ABCD如圖擺放，若頂點A，B的坐標分別為(a，0)，(0，b)，則頂點D的坐標為(

)A．(－b，a＋b)B．(a－b，－a)

C．(－a，a－b)D．(b－a，－a)√B

[過點D作DE⊥x軸，垂足為點E，如圖所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠DAO，∴△ABO≌△DAE(AAS)，∴DE＝OA，AE＝OB，∵點A，B的坐標分別為(a，0)，(0，b)，∴OA＝a，OB＝b，∴DE＝a，AE＝b，∴OE＝b－a，∴頂點D的坐標為(a－b，－a)，故選B．]3．(魯教版八下P19例4改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若連接DE，交AC于點F，試判斷四邊形ABDE的形狀；(3)△ABC再添加一個什么條件時，可使四邊形ADCE是正方形？證明你的結論．[解]

(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°．∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE為矩形．(2)四邊形ABDE是平行四邊形．理由如下：由(1)知，四邊形ADCE為矩形，則AE＝CD，AC＝DE．又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝DE，AE＝BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形．(3)當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是正方形．理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD＝CD＝BD，又∵四邊形ADCE是矩形，∴四邊形ADCE是正方形．課時分層評價卷(二十一)矩形、菱形和正方形題號13524687910111213(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共60分)

1．[情境題]如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為(

)A．27°

B．53°

C．57°

D．63°√題號13524687910111213D

[如圖，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF＋27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故選D．]題號135246879101112132．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，連接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面積為54，則OE的長為(

)A．4 B．4.5C．5 D．5.5√題號13524687910111213

題號135246879101112133．[情境題]要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是(

)A．測量兩條對角線是否相等B．度量兩個角是否是90°

C．測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D．測量兩組對邊是否分別相等√題號13524687910111213C

[測量兩條對角線是否相等，不能判定是否為平行四邊形，更不能判定是否為矩形，故選項A不符合題意；度量兩個角是否是90°，不能判定是否為平行四邊形，更不能判定是否為矩形，故選項B不符合題意；測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項C符合題意；測量兩組對邊是否相等，可以判定是否為平行四邊形，但不能判定是否為矩形，故選項D不符合題意．故選C．]題號13524687910111213

√題號13524687910111213

題號13524687910111213

√題號13524687910111213D

[過點E作EM⊥BC，垂足為點M，過點E作EN⊥CD，垂足為點N，如圖所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形．題號13524687910111213

題號13524687910111213

題號135246879101112136．[易錯題]如圖，將邊長為15的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為56時，它移動的距離AA′＝________．7或8題號135246879101112137或8

[設AA′＝x，AC與A′B′相交于點G，∵△ACD是正方形ABCD剪開得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴△AA′G是等腰直角三角形，∴A′G＝AA′＝x，∴A′D＝AD－AA′＝15－x．題號13524687910111213∵兩個三角形重疊部分的面積為56，∴x(15－x)＝56，解得x1＝7，x2＝8，即移動的距離AA′為7或8．故答案為7或8．]題號135246879101112137．(魯教版八下P26習題6.8T2改編)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是________．

題號13524687910111213

題號13524687910111213

題號135246879101112138．(魯教版八下P23隨堂練習T2改編)如圖，平行四邊形ABCD中，點E是對角線AC上一點，連接BE，DE，且BE＝DE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四邊形ABCD的面積．題號13524687910111213

題號13524687910111213

題號13524687910111213

題號13524687910111213

題號13524687910111213

√題號13524687910111213

題號13524687910111213√

題號13524687910111213

題號1352468791011121311．如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD．若AE＝3，PF＝5．則圖中陰影部分的面積為________．15題號13524687910111213

題號1352468791011121312．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s