2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版高一同步經(jīng)典題精練之正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)

一.選擇題(共5小題)

1.(2024秋?福州期末)已知函數(shù)/■(%)=si7i(3x+s)(3>0,0qV?)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為匚，

且在區(qū)間(it,21t)上無最大值，則3的取值范圍為()

15

A.(0,B.(|,1)

C.(0,加焉|f]D.(0,百U/月]

71

2.(2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(%)=cos(ou+(p)(a)>0),其圖象相鄰對(duì)稱軸的距禺為5,

則3=()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024秋?青海期末)函數(shù)/(%)=si?i2%-75cos2%的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.%兀+瞿，fc7r+^](fcez)

B.[ku—，kji+EZ)

S7T11TT

C.[2fc?r+^-2，2knH—GZ)

D.[2/CTT-7j-2，2kn+(/c6Z)

4.(2024秋?咸陽期末)已知函數(shù)/(x)=siiu-,g(x)=|cosx|,h(x)=f(x)+g(x),則下列說法正確

的是()

A.函數(shù)y=/(x)g(x)不是中心對(duì)稱圖形

B.函數(shù)/7(X)在[0,上只有1個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)//(%)在[0,上有2個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)y=/(g(尤))的最大值為1

5.(2024秋?黔東南州期末)設(shè)函數(shù)無)=-2sin3xsin(cox-1)+苧(0<w<5)圖象的一條對(duì)稱軸方

程為久=金，若，(XI)-f(X2)|=2,則陽-兀2|的最小值是()

二.多選題(共4小題)

（多選）6.（2024秋?泉州期末）已知函數(shù)/（x）4s譏（2x—金,則（）

A.f（X）的最小正周期為Tl

B.f（x）在區(qū)間（0,芻上單調(diào)遞增

C.f（x）在區(qū)間（0,芻上的取值范圍為（一苧，1]

[TTQ-T7-

D.使得/（%）2一4成立的％的取值集合為{%|運(yùn)+々7TW%〈彳+/C7T,kEZ}

（多選）7.（2024秋?灌南縣期末）設(shè)函數(shù)f（久）=sin（3x+卬）（3〉0,lwl<分給出以下四個(gè)論斷：

①它的最小正周期為m

②它的圖象關(guān)于直線x=今成軸對(duì)稱圖形；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0）成中心對(duì)稱圖形；

④在區(qū)間[―90）上是增函數(shù).

以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，命題正確的是（）

A.①②今③④B.②③今①④C.①③今②④D.①④今②③

（多選）8.（2024秋?福州期末）已知函數(shù)/（x）=cosx,g（x）=sin2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）與g（x）的圖象存在相同的對(duì)稱軸

B.f（x）與g（無）的值域相同

C.f（x）與g（無）存在相同的零點(diǎn)

D.f（x）與g（x）的最小正周期相同

（多選）9.（2024秋?廣東期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間或，兀）上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)的是（）

A.y=tmxB.y=cos2xC.y=cosxD.y=-|sinx|

三.填空題（共3小題）

10.（2025?江西模擬）若函數(shù)久+cos3久N*）在區(qū)間（一5,裝）上單調(diào)遞增，且/（x）在

區(qū)間（0,芻上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)，則3=.

11.（2024秋?東城區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=sin（x+cp）（cp>0）,若/（-名）=啰），則隼的一個(gè)取

值為.

12.（2025?廈門模擬）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+（p）（3>0,|cp|<n）的圖象經(jīng)過（竽，有，一》兩

點(diǎn)，若人無）在區(qū)間（等，學(xué)）上單調(diào)遞減，則3=；隼=

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?阜寧縣期末）已知/（X）=2sin（x+＜p）（＜peJ））,對(duì)任意都有啰一x）=f（久）.

（1）求＜p的值；

（2）若當(dāng)衽（0,n）時(shí)方程/（x）+機(jī)=0有唯一實(shí)根，求他的范圍.

14.（2024秋?滄州期末）已知函數(shù)/■。）=4s譏（2x-1）.

（1）求/（無）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）用“五點(diǎn)法”畫出了（尤）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

15.（2024秋?天河區(qū)校級(jí)期末）已知/（久）=2s譏（2s;一卷）（3〉0）的最小正周期為n.

（1）求3的值，并求/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求無）在區(qū)間［0,2網(wǎng)上的最大值.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）高一同步經(jīng)典題精練之正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)再認(rèn)識(shí)

參考答案與試題解析

題號(hào)12345

答案DBACB

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?福州期末）已知函數(shù)/（%）=s皿3%+9）（3〉0,0V0V冬）的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為;，

且在區(qū)間（it,2K）上無最大值，則3的取值范圍為（）

A.（0,奇B.焉1）

C.（0,加mIf]D.（0,百|(zhì)|]

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】由圖像與y軸交點(diǎn)求出<p，由函數(shù)在區(qū)間（TT,2n）上有最大值，求出3的取值范圍，從而知

道函數(shù)在區(qū)間（m2TT）上無最大值時(shí)3的取值范圍.

【解答】解：由題意可得f（0）=sincp=多

又0<（p<p

4日"

行0=w，

77"

所以/（%）=sin{a）x+?），

7TTT.W+2/CTT

由3%+^=g+2/C7T,解得％=-----,Jtez,

DZ（JL）

匹+2/CTT[[

f（x）在區(qū)間（冗，2TT）上存在最大值，則----<2兀，解得上+=<3<2々+工，長(zhǎng)Z,

J3126

可得0）6（0,U[1/招],

所以若/（x）在（n,2n）上無最大值，0）的取值范圍為（0,U,1|].

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7T

2.(2024秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)/(x)=cos(3x+(p)(3>0),其圖象相鄰對(duì)稱軸的距離為

則3=()

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的對(duì)稱性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】對(duì)于函數(shù)y=Acos(3x+(p),相鄰對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，我們可以先根據(jù)已知條件求

出周期T,再利用周期公式7=稱來求解3的值.

00

TI

【解答】解：函數(shù)/(無)=COS(3X+CP)(3>0)圖象相鄰對(duì)稱軸的距離為3，

Tn

因?yàn)橄噜弻?duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，所以二=一，那么周期

22

周期公式7==，則豆=嬰，解得3=2.

60CO

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024秋?青海期末)函數(shù)/(%)=-75cos2%的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[kji+,kji+(k6Z)

B.[ku—?^-2，kn+(/ceZ)

STT11TT

C.[2/C7T+善2/C7T+詈(/cez)

D.[2/CTT—,2kjt+^2-](/ceZ)

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)建模.

【答案】A

【分析】利用輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，然后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即

可.

【解答】解：*.,/(%)=sin2x-V3cos2x=2(^sin2x—^-cos2x')

=2(sin2xcos^—cos2xsin=2sin(2x—芻，

f(x)單調(diào)遞減區(qū)間：2/CTT+*<2x—亨<2/CTT+(fceZ),

■771177

解得，kn+WXWknH■-衣-(fc6Z),

則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[/ot+，kn+]2](k6Z).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2024秋?咸陽期末)已知函數(shù)/(x)=sinx,g(x)=|cosx|,h(x)=f(x)+g(x),則下列說法正確

的是()

A.函數(shù)y=/(x)g(x)不是中心對(duì)稱圖形

B.函數(shù)/?(x)在[0,2m上只有1個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)/z(x)在[0,2m上有2個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)y=/(g(x))的最大值為1

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】通過判別y=/(無)g(x)的奇偶性可判別A；分情況求函數(shù)/z(%)的零點(diǎn)可判別8、C；通過

求復(fù)合函數(shù)的值域可判別D.

【解答】解:A項(xiàng).函數(shù)/(尤)=sinx,g(x)=|cosx|,f(x)g(x)=sinx,|cosx|,

/(-x)g(-x)=sin(-x),|cos(-尤)|=-siax-|cosx|=-f(x)g(x),故f(x)g(x)為奇函數(shù)，

所以y=/(x)g(x)是中心對(duì)稱圖形，故A不正確；

8項(xiàng),C項(xiàng).當(dāng)％e[0/芻U笆,2兀]時(shí),h(x)=sinx+cosx,令h(x)=0,得tanx=-1,解得尤=冬;

當(dāng)xeg,等)時(shí)，h(x)=sinr-cos無，令h(x)=0,得tanx=l,解得x=等.

所以函數(shù)〃(x)在[0,2川上有2個(gè)零點(diǎn)，故B不正確，C正確；

。項(xiàng).令f=g(x),因?yàn)間(x)=|cosx|6[0,1]c[o,芻，而/⑺=sinf在[0,芻上單調(diào)遞增，

所以y=/(g(尤))W/(1)=sinl,即函數(shù)y=/(g(x))的最大值為sinl.故。不正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2024秋?黔東南州期末)設(shè)函數(shù)/(無)=-2sin(nxsin+~(0<w<5)圖象的一條對(duì)稱軸方

程為％=金，若，(%1)-f(X2)1=2,則以1-X2|的最小值是()

71717171

A.-B.-C.—D.一

42168

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】首先由三角恒等變換化簡(jiǎn)/(%),由已知對(duì)稱軸方程以及3的范圍可得3的值，結(jié)合正弦函數(shù)

一1

的性質(zhì)可知陽-X2|的最小值為5T即可求解.

【解答】解:/(%)=—2sina)xsin(a)x一1)+空

=—2sirt3x(sina)xcos卷一cosa)xsin^)+苧

=—^/3sin2(ji)x+sina)xcosa)x+苧=^-cos2a)x+^sin2a)x=sin(2a)x+勃

7T

故/(%)=sin(2a)x+可).

f(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程為％=金，

故2coX-^2+可=[+kn(kGZ),可得G)=1+6%(左CZ),

因?yàn)?Vo)V5,所以左=0,3=1,所以/(%)=sin(2%+芻，

所以若1/(x1)-/(皿)|=2,則得到(I久1-久2l)m譏=2*7=2X竽=今

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

—.多選題(共4小題)

(多選)6.(2024秋?泉州期末)已知函數(shù)/(%)=品譏(2x—芻，則()

A.f(X)的最小正周期為IT

B./(x)在區(qū)間(0,分上單調(diào)遞增

C.f(x)在區(qū)間(0,1上的取值范圍為(-孚,|]

-1-TTQ-T7-

D.使得/'(久)2-[成立的x的取值集合為{x|交+/otW久W4+/ot,keZ}

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】已知三角函數(shù)解析式，得到3即可得到函數(shù)周期，判斷A選項(xiàng)；令一5+2/^42%-445+

2/OT,（keZ）解得區(qū)間即是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，從而判斷出8選項(xiàng)：由單調(diào)區(qū)間可以求得函數(shù)在區(qū)間

（0,芻上的值域，判斷C選項(xiàng)；先求出/（乃=-，的解，由函數(shù)單調(diào)性即可得到f（x）N-%勺解集，判

斷。選項(xiàng).

【解答】解：已知函數(shù)/'（久）=■|si?i（2x-⑤），

由解析式知道3=2,則周期7===兀，故A選項(xiàng)正確；

（JL）

令一+2/CTT42.x-—2,（kGZ）,解得一+ku<%+kji,（kGZ）,

??./（x）在區(qū)間（0,普）上單調(diào)遞增，在（普，今上遞減，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)％6（0,芻時(shí)，f（0）<f（x）</（yj）,即fO）e（一字,|],故c選項(xiàng)正確；

令/'（%）=—/解得x=+kn或x=+kn,（k6Z）;

由函數(shù)單調(diào)性可知/'（久）>一去成立的尤的取值集合為{比哈+kn<x<^+ku,k&Z},故。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）7.（2024秋?灌南縣期末）設(shè)函數(shù)/（久）=sin（3x+9）（3〉0,101V分給出以下四個(gè)論斷：

①它的最小正周期為m

②它的圖象關(guān)于直線久=金成軸對(duì)稱圖形；

③它的圖象關(guān)于點(diǎn)弓，0）成中心對(duì)稱圖形；

④在區(qū)間[―。0）上是增函數(shù).

以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，命題正確的是（）

A.①②n③④B.②③n①④C,①③n②④D.①④n②③

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的條件求出函數(shù)八無）的解析式，再結(jié)合正弦性函數(shù)的基本性質(zhì)判斷結(jié)論即可.

【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，①②=③④，

_O-TJ-

由①可得3=元=2,f(x)=sin(2x+(p),

由②可得2X^2+(P=kyi+(fcGZ),解得9=kn+(fcGZ),

因?yàn)閯t9=條則f(%)=sin(2%+9

對(duì)于③,/(%)=s譏(2X亨+亨)=0,③對(duì)，

對(duì)于④，當(dāng)一V。時(shí)，042%+5V1

oo3

所以，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-看，0)上是增函數(shù)，④對(duì)，故A中的命題成立；

對(duì)于。選項(xiàng)，①③=②④，

_■rr

由①可得3=元=2,f(x)=sin(2x+(p),

由③可得2+R=kn(kGZ),可得g=km-等(kEZ),

因?yàn)?91V則/=泉?jiǎng)tf(%)=sin(2'+號(hào)),

對(duì)于②，因?yàn)?($)=sin(2x氏+$=1,

所以，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％=金成軸對(duì)稱圖形，②對(duì)，

對(duì)于④，當(dāng)一卷<%V0時(shí)，0W2x+V*

所以，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-看，0)上是增函數(shù)，④對(duì)，故C中的命題為真命題；

對(duì)于5選項(xiàng)，②③=①④，由②③無法確定函數(shù)/(x)的最小正周期，從而①④無法判斷,

故5中的命題不成立；

對(duì)于。選項(xiàng)，①④n②③，

___217"

由①可得3=元=2,f(x)=sin(2x+(p),

由④，當(dāng)一看時(shí)，(p―^<2x+(p<(p,

因?yàn)開*<9號(hào)，則—言〈磔—言喘，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［一20)上是增函數(shù)，

r

-7r-->71

——

則<<3

12,解得-髀中多，無法確定中的值，此時(shí)，命題②③無法判斷，故。中的命題為假

-7r_

I2

命題.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

（多選）8.（2024秋?福州期末）已知函數(shù)/（x）=cosx,g（x）=sin2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）與g（無）的圖象存在相同的對(duì)稱軸

B.f（x）與g（無）的值域相同

C./（%）與gG）存在相同的零點(diǎn)

D.f（x）與g（無）的最小正周期相同

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性；余弦函數(shù)的定義域和值域；正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】BC

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、D；特殊值法有x=*為共同零點(diǎn)判斷C.

【解答】解：對(duì)于/（x）=cosx對(duì)稱軸為％=加，依Z,

對(duì)于g（x）=sin2x對(duì)稱軸為2%=芻+七71,k±EZ,

若存在相同的對(duì)稱軸，貝！Ui=號(hào)+七兀=>（fc—匕）兀=而女-hGZ,

所以（々一七1）兀=今不可能成立，A錯(cuò)；

f（x）=cosx、g（x）=sin2x值域均為[-1,1],最小正周期分別為2n,n,5對(duì)，D錯(cuò);

TCTCTT

f（―）=g（―）=0,顯然％=5為/（%）與g（X）共同零點(diǎn)，。對(duì).

22乙

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)及余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）9.（2024秋?廣東期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間弓，兀）上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)的是（）

A.y=tanxB.y=cos2xC.y~~cosxD.y=—|sinx|

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；余弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【解答】解：對(duì)于A,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，y=tanx在區(qū)間&，兀）上單調(diào)遞增，但是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于2,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，y=cos2x在（J,兀）上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，故B正確;

對(duì)于C,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，y=cosx在或，兀）上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，y=-|sinx|在（J,兀）上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，故。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

三.填空題（共3小題）

10.（2025?江西模擬）若函數(shù)f（x）=V5s譏3x+cos3x（3€N*）在區(qū)間（一號(hào)，著）上單調(diào)遞增，且/（x）在

區(qū)間（0,芻上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)，則3=2.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由已知結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答】解：由題可得/'（%）=V3sino）x+COSMX=2sin（a）x+卷），

令5+1=當(dāng)?shù)谩本砹?乂+看=一方27r

得％=-環(huán)'

（2兀v71

由題意可得，;而展―4’.?????3=2,

島2針

又于（X）在區(qū)間（0,芻上恰有一個(gè)極大值點(diǎn),

又,36N,**?co=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

n.（2024秋?東城區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=sin（x+（p）（（p>0）,若/（一號(hào)）=/（*），則（P的一個(gè)取

71

值為w（答案不唯一）?.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解.

TT

【答案】-（答案不唯一）.

【分析】由題意，利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，求出tamp的值，可得隼的一個(gè)取值.

【解答】解：對(duì)于函數(shù)/G)=sin(X+3)(<p>0),若f(—

77"7T

貝!Jsin（―6+甲）=sin（―+（p）coscp,

V3.1

BP-sin（p—acoscp=coscp.

l7T

化簡(jiǎn)可得tan(p=V3,則(p的一個(gè)取值為］

71

故答案為：-(答案不唯一).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2025?廈門模擬)已知函數(shù)/(%)=sin(o)x+(p)(3>0,|(p|Vir)的圖象經(jīng)過今，(號(hào)—今兩

點(diǎn)，若了(無)在區(qū)間(冬，等)上單調(diào)遞減，則3=|：隼=J,

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的圖象.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

——1兀

【答案】-；--

【分析】由題意可得關(guān)于3,隼的方程組，可得①，隼的值.

【解答】解：函數(shù)過(冬，I),(萼，—》兩點(diǎn)，若/(x)在區(qū)間(條給上單調(diào)遞減,

3+-

273T5761+2/CTT

可

鈕+2.且即1<口，解得3=］年=*.

一+

33-7761

IkEZ

171

故答案為：-；

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共3小題)

13.(2024秋?阜寧縣期末)已知/(x)=2sin(x+(p)(乎€(-5,J)),對(duì)任意都有啰一x)=f(%).

(1)求cp的值；

(2)若當(dāng)xe(0,IT)時(shí)方程/(x)+優(yōu)=0有唯一實(shí)根，求刑的范圍.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】⑴

(2)TTLE[—y/3fV5)U{—2}.

【分析】(1)由已知條件可得的圖象關(guān)于直線尤=看對(duì)稱，則，+9=]+kn,再結(jié)合＜p的范圍可求得

結(jié)果；

⑵令1=X+苓，貝!It6(/等)，由y=2sinf的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為y=2sin/■與y=-根的圖象有

一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象從而可求出機(jī)的范圍；

【解答】解：⑴f(X)=2sin(x+cp)(＜pG(-J,芻)，對(duì)任意xCR都有fg-%)=/(%),

則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線久=飄稱，

所以&+卬=萬+/CTT,kez,而＜jpe(―左，5)，則k=o,(p=鼻,所以=*

(2)f(%)=2sin(x+4)，當(dāng)(0,TT)時(shí)，設(shè)t=x+e,粵)，

y=2sinr在te(J,另為增函數(shù)，在teg,均為減函數(shù)，

所以方程/(x)+機(jī)=0有唯一實(shí)根，

等價(jià)于丫=2$說與＞=-m的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

由圖象可知一百〈一小W百或-%=2,

所以一言＜mV乃或m=-2,

所以m的范圍是zne[-V3/V3)U{-2}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

14.(2024秋?滄州期末)已知函數(shù)/(%)=4sin(2x-1).

(1)求/(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)用“五點(diǎn)法”畫出了(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

【考點(diǎn)】五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(3x+＜p)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)[答^TT+~^]＞kez；

(2)見解答過程.

【分析】(1)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解;

(2)利用“五點(diǎn)法”即可繪制函數(shù)圖象.

【解答】解：(1)已知函數(shù)/'(久)=4si?i(2x-春)，

令2^n+<2x-zW2內(nèi)tH—y,keZ,解得：Mr+亍T-,keZ,

26236

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［^n+等Anr+keZ；

(2)已知/'(x)=4sin(2x—^),

列表如下：

Xnn77r57T137r

12312612

071n3TT2n

42X-6-

22

f（久）=040-40

TT

4sin（2x—石）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(3尤+(p)的圖象以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想和

數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2024秋?天河區(qū)校級(jí)期末)已知/(x)=2s譏(23%-3)(3>0)的最小正周期為Tt.

(1)求3的值，并求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求/(x)在區(qū)間［0,月捫上的最大值.

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)3=1,［--g+kn,g-+/c7r］(fc6Z)；

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)條件求出3,然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求出答案；

(2)首先求出2x-［的范圍，然后可得答案.

6

277

【解答】解：⑴由/(%)=2s譏(23%-看)的最小正周期為n,得直［=

Vo)>0,

TT

.*.0)=1,/(%)=2sin(2x-

由-42.x—z5+2/c7i得一+knW%工5+k7i,

,zQ+2/C7T6z6J

故/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為［一號(hào)+皿J+fc7T］(fcGZ).

(2)因?yàn)閤e［0,碧］，

所以2比一看e［一苓，爭(zhēng)，

所以當(dāng)2%-弓=當(dāng)即％時(shí)，/⑴取得最大值2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單變換

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

圖象變換

(1)平移變換：

y=f(x)。>0,右移〃個(gè)單位(〃<0,左移⑷個(gè)單位)=、=/(%-〃)；

y=f(x)b>0,上移/?個(gè)單位(6<0,下移個(gè)單位)=>、=/(%)+b.

(2)伸縮變換：

0<4<1,伸長(zhǎng)為原來對(duì)倍

--------------------------------r~>

尸八尤)石，縮短演來世尸八皿)；

y=/(x)A>1,伸為原來的A倍(0<4<1,縮為原來的A倍)=y=4f(尤).

(3)對(duì)稱變換：

y=f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱=y=-f(x)；

y=f(無)關(guān)于y軸對(duì)稱=>y=/(-尤)；

y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱=>y=-/(-x).

(4)翻折變換：

y=f(x)去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊ny=/(|x|)；

y=/(無)留下X軸上方圖將X軸下方圖翻折上去y=|f(尤)I.

【解題方法點(diǎn)撥】

畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時(shí)，可根

據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作

出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ?/p>

換單位及解析式的影響.

(3)描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí)，則可采用描點(diǎn)法.為了通過描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖

象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

【命題方向】

圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn)

在解決函數(shù)圖象的變換問題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的x,y變換”的原則，寫出每一次的變換所

得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò).

正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn)：

①正確求出函數(shù)的定義域；

②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、形如>=尤+

的函數(shù)；

③掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡(jiǎn)化作圖過

程.

將函數(shù)y=2(x-1)2+3的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解

析式為()

解：函數(shù)y=2(x-1)2+3的圖象向左平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=2d+3,

再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到>=2/.

2.三角函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

周期性

①一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)

=f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/(%),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做了(%)

的最小正周期.

③函數(shù)y=Asin(u)x+(p),xCR及函數(shù)y=Acos(u)x+(p)；xGR(其中A、3、(p為常數(shù)，且AWO,a)>0)

的周期

(JL)

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一點(diǎn)提醒

求函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意①的符號(hào)，只有當(dāng)o)>0時(shí)，才能把o)x+(p看作一個(gè)整體,

代入y=sin/的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.兩類點(diǎn)

尸sin尤，xG[O,2TT],y=cos尤，x￡[0,2TT]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)(最值點(diǎn)).

3.求周期的三種方法

①利用周期函數(shù)的定義./(x+T)=/(%)

271

②利用公式：y=Asin(ou+cp)和y=Acos(a)x+(p)的最小正周期為"；y=tan(a)x+(p)的最小正周期為

71

|3|

③利用圖象.圖象重復(fù)的龍的長(zhǎng)度.

3.正弦函數(shù)的圖象

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

iri

圖象Uy1

\rn

定義域RR依z

值域[-b1][-1.1]R

單調(diào)性遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：遞增區(qū)間：

(2%ir—2，2fcn+])(2kn-Tt,2Iat)(kn-2，女豆+訝)

(蛇Z)；

(ZcZ)；(%EZ)

遞減區(qū)間：

遞減區(qū)間：

(2加，2A7t+7r)

(2A?n+292%n+-^-)

*ez)

(%￡Z)

=

最值x—2ATT+2(左EZ)時(shí)，ymaxx=2kn(ZcZ)時(shí)，ymax1；無最值

%=2加+11(蛇Z)時(shí)，

=1;

ymin=~1

x=2kn—2(ZEZ)時(shí)，

ymin=~1

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對(duì)稱性對(duì)稱中心：（hr,0）（A-eZ）對(duì)稱中心：（加+00）（蛇z）對(duì)稱中心.（如，0）（%Z）

對(duì)稱軸：x=hr+在Z對(duì)稱軸：x=hr,依Z無對(duì)稱軸

周期12n2TTTT

4.正弦函數(shù)的定義域和值域

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法

1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法.

（1）形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y—Asin（^a）x+（p）+k的

形式，再求最值（值域）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=f,化為關(guān)于t

的二次函數(shù)求值域（最值）；

（3）形如y—asinxcosx+b（sin尤士cos尤）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t—

sinx±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解.

5.正弦函數(shù)的單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y=Asin（3x+e）或y=Acos（3x+e）（其中，3>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視"

為一個(gè)整體，通過解不等式求解.但如果。<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性

弄錯(cuò).

6.正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

正弦函數(shù)的對(duì)稱性

正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有sin（-無）=-sinr.另

外，正弦函數(shù)具有周期性，其對(duì)稱軸為無=配+*,kEz.

【解題方法點(diǎn)撥】

例：函數(shù)y=sin2x+2sin^x的對(duì)稱軸方程為x=x=(kCZ).

解：由于函數(shù)y=sin2x+2sin2]=sin2x+l-cos2x=V2sin(2x—$+1,

而函數(shù)y=sint的對(duì)稱軸為七=Mr+*

貝I]2x—g=/OT+2，解得x=”+■(kez)

4ZZo

則函數(shù)尸sin2x+2sin2尤的對(duì)稱軸方程為久=竽+普(keZ)

故答案為％=竽+等(keZ).

這個(gè)題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡(jiǎn)，化成一個(gè)單獨(dú)的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x-[看成一

個(gè)整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來即可.

【命題方向】

這個(gè)考點(diǎn)非常重要，也很簡(jiǎn)單，大家熟記這個(gè)公式，并能夠理解運(yùn)用就可以了.

7.余弦函數(shù)的定義域和值域

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法

1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法.

(1)形如y=asin尤+bcosx+c的三角函數(shù)化為y—Asin(3x+0)+k的

形式，再求最值(值域)；

(2)形如y—asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin尤=f,化為關(guān)于t

的二次函數(shù)求值域(最值)；

(3)形如y—asinxcosx+b(sin尤+cos尤)+c的三角函數(shù)，可設(shè)t—

sinx±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解.

8.余弦函數(shù)的單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法

1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.

2.求形如y—Asin(3x+M或y=Acos(3x+?)(其中，3>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視"

為一個(gè)整體，通過解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將3化為正數(shù)，防止把單調(diào)性

弄錯(cuò).

9.余弦函數(shù)的對(duì)稱性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

余弦函數(shù)的對(duì)稱性

余弦函數(shù)〉=35彳是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，其對(duì)稱軸為尤=后1,kEz.可以看出余弦函數(shù)在

對(duì)稱軸上的值為最值，也可以看做是y軸平移阮個(gè)單位后依然還是對(duì)稱軸.

【解題方法點(diǎn)撥】

例：(中，三角函數(shù)的對(duì)稱性)若函數(shù)y=cos?x+5)(3>0)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間距離為5,則3

等于

解:因?yàn)槭珻OSX的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸距離為TT,要使y=C0S(3X+總的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為大

J2

則其周期縮小為原來的一半，所以3=2.

這里面應(yīng)用了余弦函數(shù)的對(duì)稱軸之間的間隔為半個(gè)周期的性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為求周期的問題.

【命題方向】

這是個(gè)很基本的考點(diǎn)，也比較容易，但也非常重要，希望大家能夠掌握.

10.五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的圖象

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.五點(diǎn)法作y=Asin(3x+(p)(A>0,3>0)的簡(jiǎn)圖

找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為使y取得最小值、最大值的點(diǎn)和曲線與x軸的交點(diǎn).其步驟為：

(1)先確定周期7=答，在一個(gè)周期內(nèi)作出圖象；

00

7137r

(2)令X=ajx+(p,令X分別取0,—,TT,—,2IT,求出對(duì)應(yīng)的無值，列表如下：

7l-(P37r(p2n-(p

X一9+2L

0)co2co33(x)(x)

0nn37r2ir

22

a)x+cp

尸0A0-A0

Asin(3x+夕)

由此可得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；

(3)描點(diǎn)畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡(jiǎn)圖向左右分別擴(kuò)展，從而得到y(tǒng)=Asin(皿+0)的

簡(jiǎn)圖.

2.振幅、周期、相位、初相

當(dāng)函數(shù)y=As應(yīng)（a）x+（p）（A>0,a）>0）,xG（-°°,+°°）表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，則A叫做振幅,丁=呼叫

做周期，戶抑做頻率，a）x+（p叫做相位,￡叫做初相.

27r71

函數(shù)產(chǎn)Acos（o）x+（p）的最小正周期為;~~>y=Atan（a）x+（p）的最小正周期為■;―

【解題方法點(diǎn)撥】

1.一個(gè)技巧

-T

列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距