排列與組合

CCC

【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

【題型二】數(shù)字排列

【題型三】幾何問題

【題型四】捆綁法

【題型五】插空法

【題型六】定序問題（先選后排）

【題型七】列舉法

【題型八】多面手問題

【題型九】錯(cuò)位排列

【題型十】涂色問題

【題型十一】分組問題

【題型十二】分配問題

【題型十三】隔板法

【題型十四】分解法模型與最短路徑問題

【題型十五】環(huán)排問題

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂

解空高考

考情分析:排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來考察，所以

需要考生對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握

題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。

備考策略:根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，

而這塊內(nèi)容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來。

6題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

【例1】已知"為正整數(shù)，若C：；5=C/2,則〃=

【答案】3或7

【分析】根據(jù)組合數(shù)的定義和性質(zhì)分析求解即可.

0<n+5<12*

【詳解】因?yàn)镃：；5=c；/，則,neN,解得l<n<7,n€N\

0<2n-2<12

由組合數(shù)性質(zhì)可知：〃+5=2〃-2或〃+5+2〃-2=12,解得〃=7或〃=3.

故答案為：3或7.

【例2】排列數(shù)和組合數(shù)都有豐富的性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用，下列結(jié)論中正確的是()

A.C：=dB.A：=nA^C.C"=￡%D.￡(C；J=C%

i=0i=0

【答案】BCD

【分析】利用組合數(shù)的定義和排列數(shù)的定義可A、B；利用組合數(shù)的遞推關(guān)系式c：=c3+c：1可證明C正

確；從組合數(shù)的意義角度看，X(c；,)，C“都表示是兩個(gè)各有〃個(gè)元素的集合A和8中選取總共〃個(gè)元

素的方式數(shù)，由此得D正確.

1(n—1)!加m'n\n\

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?m---...—=仁,

m-(m—l)!(n—m)!m\yn—my.

故A不正確；

,(n—1)!n(n—\\\n\m

對(duì)于B,因?yàn)?A.T--------=---------=--------r-=A?,故B正確;

\<n—my.\n-my.[n-my.

t=0

對(duì)于c,因?yàn)閄CL=C*+CL+C3+…+C'=%+c“M+CZ+???+」,

r

r

uC：+2+C：+2+…+C：+產(chǎn)=C'^'r+Cm+r=C'm+r+1,故C正確;

對(duì)于D,考慮從兩個(gè)各有〃個(gè)元素的集合A和3中選取總共“個(gè)元素的方式數(shù)，總的選取方式數(shù)是c；“.

另一方面，我們可以將選取過程分為不同的情況，即從集合A中選取，個(gè)元素，從集合中選取?個(gè)元素,

其中i從。到〃，對(duì)于每個(gè)，，選取的方式數(shù)是c；,xc7.由于c7=c;，所以每種情況的方式數(shù)是(c；y,

因此，總的選取方式數(shù)可以表示為：X(cQ,由于這兩種方法計(jì)算的是同一個(gè)選取過程的方式數(shù)，所以它

們相等：Z(cQ=Q〃，故D正確.

故選：BCD.

【變式1】已知A；=C>3,貝然=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)排列與組合公式計(jì)算求解即可.

九I"I

【詳解】由A：=c/，則gr而肯，

貝IJ〃一2=6,即〃=8.

故選:D

【變式2](1)已知C：；；=A"+1,求加

(2)C：+C；+C：++C；.

【答案】(1)6；(2)252

【分析】(1)利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將C：;；=A3+I化簡(jiǎn)并展開，解方程即可求得

答案.

(2)法一：利用組合數(shù)的性質(zhì)求解；法二：直接計(jì)算，求和.

【詳解】(1)由C：；；=A"+1得C"=A"+1,

即"+1)=但_]),_2)+],即儲(chǔ)一7〃+6=0,

解得〃=1,或〃=6,

又由A3知〃一122,BPn>3,

故〃=6.

⑵法一：c：+c；+c：++c；=C+c；+c"+c；

10x9x8x7x6

=或+篌++C；=C；+C；=C：o==252.

Ix2x3x4x5

法二：原式=1+5+15+35+70+126=252.

【題型二】數(shù)字排列

【例11用2,3,4,5,6這五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則不同的奇數(shù)共有()

A.120個(gè)B.72個(gè)C.60個(gè)D.48個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)分步乘法原理，先安排個(gè)位數(shù)字，再安排余下的4個(gè)位置.

【詳解】根據(jù)題意，先安排個(gè)位數(shù)字，在3和5中選一個(gè)共有C；=2種，

再安排余下的4個(gè)位置，有A：=24種，

所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，不同的奇數(shù)共有24x2=48種.

故選：D.

【例2】設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為。，b,c,若b>a,b>c,則稱這個(gè)三位數(shù)為

“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0,1,2,3,4,5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，

“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.

【答案】40

【分析】根據(jù)給定條件，利用“峰型三位數(shù)”是否含有數(shù)字0分類，結(jié)合排列、組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.

【詳解】①若“峰型三位數(shù)”由三個(gè)不同的數(shù)字組成：

當(dāng)“峰型三位數(shù)，，含有數(shù)字o時(shí)，0必為個(gè)位，再從余下5個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，大的數(shù)字為十位，有C；種方

法；

當(dāng)“峰型三位數(shù)，，沒有數(shù)字0時(shí)，從除0外的5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，最大數(shù)字作十位，有A；C；種方法，

此時(shí)，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為C；+A；C；=30；

②若“峰型三位數(shù)，，由兩個(gè)不同的數(shù)字組成，則一定不包含0,此時(shí)共有C；=10種方法；

綜上，“峰型三位數(shù)，，的個(gè)數(shù)為30+10=40.

故答案為：40

【變式1】設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，則A

的元素個(gè)數(shù)最多為.

【答案】137

【分析】三位數(shù)中的5的倍數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位是5討論即可.

【詳解】由題意知，集合中且至多只有一個(gè)元素不是5的倍數(shù)，其余均是5的倍數(shù).

首先討論三位數(shù)中的5的倍數(shù)，

①當(dāng)個(gè)位為。時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有A；=72個(gè)；

②當(dāng)個(gè)位為5時(shí)，則百位有C；個(gè)數(shù)字可選，十位有C；個(gè)數(shù)字可選，

根據(jù)分步乘法原理，這樣的5的倍數(shù)有C；C；=64個(gè)，

最后，再加上單獨(dú)的不是5的倍數(shù)的數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為72+64+1=137個(gè).

故答案為：137.

【變式2】用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個(gè).

⑴六位數(shù)；

(2)六位奇數(shù).

【答案】⑴600個(gè)

(2)288個(gè)

【分析】(1)由全排列減去。在首位即可求解；

(2)法一：從個(gè)數(shù)入手分析或從對(duì)首位排奇數(shù)還是非。偶數(shù)分兩類進(jìn)行.法二：由0不在兩端，再從1,3,

5中選1個(gè)排在個(gè)位，剩下全排列即可求解；

【詳解】(1)0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字共能形成A。種不同的排法，當(dāng)。在首位時(shí)不滿足題意，故可以組

成A*A；=600個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù).

(2)方法一(位置分析法)：①從個(gè)位入手：個(gè)位數(shù)排奇數(shù)，即從1,3,5中選1個(gè)有A；種方法，首位數(shù)

在排除0及個(gè)位數(shù)余下的4位數(shù)字中選1個(gè)有A：種方法，余下的數(shù)字可在其他位置全排列有A：種方法，由

分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有A；?A：?A：=288個(gè)不同的六位奇數(shù).

②從首位入手：對(duì)首位排奇數(shù)還是非0偶數(shù)分兩類進(jìn)行.

第1類，首位排奇數(shù)，有A；種選擇，再個(gè)位排奇數(shù)有A；種方法，其余位置全排列有A：.則共有A；.A；.A：=

144種方法.

第2類，首位排非0偶數(shù)，共有人；.72：=144種方法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有144+144=288個(gè)不同的六位奇數(shù).

方法二（元素分析法）：0不在兩端有A：種排法.從1,3,5中選1個(gè)排在個(gè)位，剩下的4個(gè)數(shù)字全排列.故

共有A；?A；?A；=288個(gè)不同的六位奇數(shù).

【題型三】幾何問題

【例1】平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)（除原

10點(diǎn)外），無兩條直線互相平行.求：

（1）這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）；

（2）這些直線交成多少個(gè)三角形.

【答案】⑴630

（2）43484820

【分析】（1）先由題意結(jié)合任意兩點(diǎn)確定一條直線原理求出10點(diǎn)所確定的直線數(shù)=45,再由任意兩條直

線交一個(gè)點(diǎn)求出交點(diǎn)總數(shù)C2和重復(fù)計(jì)算的交點(diǎn)總數(shù)1。量即可求解.

（2）由（1）確定點(diǎn)的總數(shù)，再由不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)三角形原理得到任取三點(diǎn)的組合數(shù)再減去三點(diǎn)共

線的組合數(shù)即可求得構(gòu)成的三角形數(shù).

【詳解】（1）由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C；°=45條，

這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，無兩條直線互相平行，

則任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C：個(gè)交點(diǎn)，

而在原來10點(diǎn)上每一個(gè)點(diǎn)都有9條直線共點(diǎn)于此，

所以在原來的10點(diǎn)上共有10C：點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)，

所以這些直線交成新的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：C；5-10C；=630.

（2）由（1）可知共有這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有630+10=640個(gè)

因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來自上述640個(gè)點(diǎn)，

且上述除原10點(diǎn)外的630個(gè)交點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)均與相交于該點(diǎn)的兩條直線中的兩點(diǎn)在一條直線上，

所以這些直線三角形的個(gè)數(shù)有《40-2x630=43486080-1260=43484820（個(gè)）.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)于“這些直線交成多少個(gè)三角形？”的問題中易因忽略三點(diǎn)共線問題導(dǎo)致求解出錯(cuò).

【例2】在正方體中，下列說法正確的是()

A.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以確定28條不同的線段

B.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有12個(gè)

C.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有64個(gè)

D.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有48個(gè)

【答案】ABD

【分析】利用幾何組合計(jì)數(shù)問題，結(jié)合正方體及直三棱柱、三棱錐、四棱錐的構(gòu)造特征，列式計(jì)算即得.

【詳解】對(duì)于A,每?jī)牲c(diǎn)確定一條線段，則正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可確定不同的線段有C；=28條，A正確；

對(duì)于B,直三棱柱的兩個(gè)底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱兩底面在正方體相對(duì)面上，

以正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有4個(gè)，從而正方體的一組相對(duì)面對(duì)應(yīng)的直三棱柱有4個(gè)，

因此以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有3*4=12個(gè)，B正確；

對(duì)于C,正方體頂點(diǎn)任取4個(gè)點(diǎn)，共有C；=70種選法，

其中四點(diǎn)共面的共有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面共12種，因此三棱錐共有70-12=58個(gè)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C,知正方體四點(diǎn)共面的情況有12種，每一種情況，余下每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)1個(gè)四棱錐，

因此四棱錐共有12x4=48,D正確.

故選：ABD.

【變式1】連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體.

【答案】12

【分析】求出4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，利用正難則反進(jìn)行求解.

【詳解】正三棱柱共有6個(gè)頂點(diǎn)，從中任取4個(gè)，有C：種，

其中4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，分別為三個(gè)側(cè)面，

故可以組成C：-3=12個(gè)四面體.

故答案為：12

【變式2】點(diǎn)集S={(x,y)|x45,y44且x,yeN*},則由S中的點(diǎn)可以組成多少個(gè)不同的三角形?

【答案】1056

【分析】利用組合數(shù)的知識(shí)結(jié)合圖象分析即可.

【詳解】總共有C；。=1140種，

如圖，三點(diǎn)共線(粗虛線)有8組，

四點(diǎn)共線有9組(圖中實(shí)線加上5條豎線)，

五點(diǎn)共線有4組，

于是一共能組成Cl0-8C：-9C；-4C：=1140-8-36-40=1056種.

故答案為：1056.

【題型四】捆綁法

【例1】3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計(jì)算

結(jié)果，用數(shù)字作答.

(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；

(2)全體站成一排，男生互不相鄰；

(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾；

(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起；

【答案】(1)432

(2)1440

(3)3600

(4)1440

【分析】(1)根據(jù)條件，利用組合與排列先選后排，即可求解；

(2)根據(jù)條件，利用不相鄰問題插入法，即可求解；

(3)利用特殊元素優(yōu)先考慮，結(jié)合條件，即可求解；

(4)利用相鄰問題捆綁法，即可求解.

【詳解】(1)從3名男生中任選2名有C；種選法，從4名女生中任選2名有C；種選法，

再將選取的4人排列有A：種排法，由乘法原理共有C；C：A：=432種排法，

(2)先將女生全排有A：種，再從5個(gè)空隙中選出3個(gè)將3個(gè)男生插入到3個(gè)空隙中有A；種，

由乘法原理共有A；A；=1440種排法.

(3)先排甲，有5種方法，其余6人有A；種排列方法，共有5xA：=3600種，

(4)甲乙必須相鄰，先將甲乙捆綁有A；種，再與剩下的5個(gè)人排列有A：種，共有A>A：=1440種.

【例2】甲、乙、丙等7名同學(xué)站成一排照相.

(1)甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰的排法共有多少種？

(2)甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法共有多少種？

【答案】(1)720

(2)1440

【分析】(1)將相鄰?fù)瑢W(xué)看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，再與其他4人進(jìn)行排列，結(jié)合分布乘法計(jì)算即可求解；

(2)先排其余4人，形成空位后，接著選出其中三個(gè)空給甲、乙、丙3名同學(xué)進(jìn)行排列，再結(jié)合分布乘法

計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰，先將3人看成一個(gè)整體有喜=6種排法，

接著將這個(gè)整體與其他4人進(jìn)行排列共有A；=120種排法，

所以甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰的排法共有A；A；=720種排法.

(2)甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法分兩步，

第一步先將其余4人進(jìn)行全排有A：=24種排法，

第二步從上述4人隔開的5個(gè)空中選出其中三個(gè)空給甲、乙、丙3名同學(xué)進(jìn)行排列有其=60種排法，

故甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法共有A：A；=24x60=1440種排法.

【變式1】現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多

少種不同的站法？

(1)4名男學(xué)生互不相鄰；

(2)老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；

(3)2名老師之間有男女學(xué)生各1人.

【答案】(1)2880

⑵96

(3)3840

【分析】(1)利用插空法，先排老師和女學(xué)生，最后排剩余的4名男學(xué)生即可.

(2)特殊元素優(yōu)先安排求解即可.

(3)先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.

【詳解】(1)先排老師和女學(xué)生共有A：=24種站法，

再將男生插入到五個(gè)空中，有A；=120種，

所以共有24x120=2880種不同的站法.

(2)由題意可得共A；A；A；=2x2x24=96種不同的站法.

(3)先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，有C；C；A；種站法，

兩老師的站法有A；種，

再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有A；種，

所以共有C；C：A；A；A；=2x4x2x2x120=3840種不同的站法.

【變式2】6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州里運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為A,B,C,D）的志愿者活動(dòng)，每位

同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目.

（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種?

（2）若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式？

【答案】⑴144

（2）1560

【分析】（1）利用捆綁法和插空法即可求解；

（2）將6為同學(xué)分成4組，計(jì)算每一類的情況即可.

【詳解】（1）根據(jù)題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外的兩位同學(xué)排列有A；A；種排法，

第二步：再把丙丁插空排列有A：種排法,

所以共有A；A：A：=144種排法；

（2）先將6為同學(xué)分成4組，按人數(shù)分有1,1,1,3和1,1,2,2種分法:

第一類：按w,3分法有CRF/?A：種分法;

C：c；c；c；

第二類：按1』,2,2分法有?A：種分法;

AjA|

所以共有:?A：=1560種分法.

所以一共有1560種不同報(bào)名方式.

【變式3】數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某校有A,3,C,￡>,瓦P共6位同學(xué)獲獎(jiǎng),在競(jìng)賽結(jié)束后站成一排合影留念時(shí)，假設(shè)AB

兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有種.

【答案】32

【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問題，再結(jié)合不相鄰列式求解.

【詳解】依題意，排A,B,48相鄰且站在正中間，有A；種站法;

再排C,￡>,C,￡>不相鄰，而兩側(cè)各有2個(gè)位置，即不在同側(cè),

在48兩側(cè)各取1個(gè)位置再排列C,。，共有C；C；A；種站法,

最后排耳戶有A；種站法，

所以不同的站法共有A；C；C；A；A*32（種）.

故答案為：32

【題型五】插空法

［例1］《哪吒2》9天登頂中國(guó)影史票房榜，之后持續(xù)狂飆，上映16天票房突破100億；21天登頂全球動(dòng)

畫電影票房榜，電影中哪吒需要從風(fēng)、火、水、雷、土五種靈珠中選出四個(gè)，按順序排列成法陣對(duì)抗敵人,

已知風(fēng)靈珠和火靈珠不能相鄰，問共有多少種法陣組合方式—.（用數(shù)字作答）

【答案】84

【分析】根據(jù)已知條件，分兩種情況進(jìn)行排列組合即可.

【詳解】由題知共分兩種情況：

第一種情況：風(fēng)、火靈珠選出一個(gè)，水、雷、土三種靈珠均被選出，

共有C1A；=2x4x3x2=48種法陣組合；

第二種情況：風(fēng)、火靈珠均被選出，水、雷、土三種靈珠選出兩個(gè)，

先從水、雷、土三種靈珠中選出兩個(gè)進(jìn)行排列，共有A；=3x2=6種方法，

再將風(fēng)、火靈珠進(jìn)行插空，共有A；=3x2=6種方法，

則共有6x6=36種法陣組合，

所以共有48+36=84種法陣組合.

故答案為：84

【例2】在體育課上，某項(xiàng)體育測(cè)試需要對(duì)A,B,C在內(nèi)的8名同學(xué)依次進(jìn)行測(cè)試，下列說法正確的是（）

A.A同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有2A；種

B.A,B,C三名同學(xué)需要相鄰，安排方法一共有A。種

C.A,B,C三名同學(xué)都不相鄰，安排方法一共有A；A：種

D.A,3兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有（A*2A；A：）種

【答案】AC

【分析】對(duì)于A,利用特殊元素優(yōu)先考慮，即可求解；對(duì)于B,利用捆綁法，即可求解；對(duì)于C,采有插入

法，即可求解；對(duì)于D,直接求出安排方法數(shù)，再進(jìn)行判斷，即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)锳同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有A；A；=2A；種，所以選項(xiàng)A正

確，

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)锳,B,C三名同學(xué)需要相鄰，先將A,B,C三名同學(xué)當(dāng)成一個(gè)整體與剩余5人進(jìn)行全

排，有A?種排法，

再對(duì)A,B,C三名同學(xué)進(jìn)行全排，有A；種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有A；A；,故選項(xiàng)B

錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C,A,B,C三名同學(xué)都不相鄰，先排其余5人，有A；種排法，

再將A,B,C三名同學(xué)三人插入6個(gè)空中，有A：種排法，

由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有A；A：種，所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)锳,3兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有A；A：=30A3

又A；-2A閨=56A：-4A：=52A*豐30At,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：AC.

【變式1]2024年4月26日，神舟十九號(hào)與神舟十八號(hào)航天員順利會(huì)師中國(guó)空間站，激發(fā)了全國(guó)人民的民

族自豪感和愛國(guó)熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90

后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時(shí)刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長(zhǎng)蔡旭哲

和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（）

A.16種B.32種C.48種D.64種

【答案】B

【分析】先排兩位指令長(zhǎng)，然后用四名宇航員的排列總數(shù)減去“80后”，“90后”相鄰的排法，即可求解.

【詳解】?jī)晌恢噶铋L(zhǎng)蔡旭哲和葉光富必須站中間，有用種排法，

剩下的四名宇航員共有種排法，其中兩位“80后”彼此相鄰，兩位“90后”彼此相鄰且分別在左側(cè)或右側(cè)的

排法共有2其用種，

所以兩位指令長(zhǎng)蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不

同的站法共有尺（4-2度M）=32種.

故選：B.

【題型六】定序問題（先選后排）

【例1】在一張節(jié)目單中原有7個(gè)節(jié)目已排好順序，現(xiàn)要插入3個(gè)節(jié)目，并要求不改變?cè)?個(gè)節(jié)目前后相

對(duì)順序，則一共有種不同的插法.

【答案】720

【分析】利用倍縮法求解即可.

A10

【詳解】由題意，不同的插法共有力=720種.

A；

故答案為：720.

【例2】一條鐵路線原有〃個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了58種，問：

原有多少個(gè)車站？現(xiàn)有多少個(gè)車站？

【答案】原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè)

【分析】由組合知識(shí)得到方程，求出答案.

【詳解】由題意可得A3-A；=58,即（〃+2）（〃+1）-〃5-1）=58,解得”=14.

所以原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè).

【例3】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有

懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為

【答案】90

【解析】由題意，對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行取下，

先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有A：種方法，

因?yàn)槿』裘看沃蝗∫槐K，而且只能從下往上取，

所以必須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序,

故答案為：90

【變式1】14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他

人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.C；A；B.C；A；C.C；A；D.C；A；

【答案】D

【分析】先從后排9人中抽2人，再把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，即可求解.

【詳解】由題意，從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，有C；中不同的取法，

將前排5人和后來兩人看成七個(gè)位置，

把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，完成調(diào)整，有A；中不同的排法，

所以不同調(diào)整方法的總數(shù)是C；A；種.

故選：D.

【變式2】城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦

的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目.若保

持原來10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）

A.110B.144C.132D.156

【答案】C

【分析】共有12個(gè)節(jié)目，只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可得出答案.

【詳解】添加節(jié)目后，共有12個(gè)節(jié)目，

因?yàn)楸３衷瓉?0個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，

則只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，

所以，不同的排法種數(shù)為A；?=12x11=132.

故選：C.

【變式3】某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了甲、乙、丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)

順序不變，且甲、乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（）

A.360種B.144種C.180種D.192種

【答案】D

【分析】按丙是否在甲、乙中間分兩種情況；當(dāng)丙不在甲乙中間時(shí)，利用插空法和分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算；

當(dāng)丙在甲乙中間時(shí)，利用捆綁法、插空法及分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算；最后利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可求

解.

【詳解】分兩種情況：

當(dāng)丙不在甲、乙中間時(shí)，先加入甲，有A；種方法，再加入乙，有A；種方法，最后加入丙，有A；種方法，此

時(shí)不同的加入方法共有A；）A；A；=180種；

當(dāng)丙在甲、乙中間時(shí)，共有A；A：=12種方法.

故不同的加入方法共有180+12=192種.

故選：D

【題型七】列舉法

【例1】數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是:

任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)12=32+12+12+12=22+22+22+02.設(shè)

25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a,。,G〃）的個(gè)數(shù)是（）

A.28B.24C.20D.16

【答案】A

【解析】顯然a,b,c,d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論.

最大數(shù)為5的情況：

?25=52+02+02+02,此時(shí)共有&=4種情況；

最大數(shù)為4的情況：

@25=42+32+02+02,此時(shí)共有段=12種情況；

③25=4z+2?+2?+『，此時(shí)共有A：=12種情況.

22222222

當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，3+3+2+2>25>3+3+2+1）故沒有滿足題意的情況.

綜上，滿足條件的有序數(shù)組（。,8。/）的個(gè)數(shù)是4+12+12=28.

故選：A

【例2】已知字母x,y,z各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如"yzyz）,

則不同的排法共有（）種

A.36B.30C.24D.16

【答案】A

【解析】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：口,》，zz.

當(dāng)相鄰的這組字母為XX時(shí)，將6個(gè)位置編成1-6號(hào),

若就在1號(hào)和2號(hào),則3號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法;

若初在2號(hào)和3號(hào)，則1號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法;

若xx在3號(hào)和4號(hào)，則1號(hào)和2號(hào)字母不相同，5號(hào)和6號(hào)字母不相同，有2x2=4種排法;

若xx在4號(hào)和5號(hào)，則2號(hào)和6號(hào)字母相同，1號(hào)和3號(hào)字母相同，有2種排法；

若xx在5號(hào)和6號(hào)，則1號(hào)和3號(hào)字母相同，2號(hào)和4號(hào)字母相同，有2種排法，

即相鄰的字母為xx時(shí)，共有2+2+4+2+2=12種排法.

同理，相鄰的字母為"，zz時(shí)，也都有12種排法，故共有12x3=36種排法.

故選：A.

【變式1】工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺

栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是.

【答案】60

【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一

個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有10x6=60

種方法，故答案是60.

【題型八】多面手問題

【例1】某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法

語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況分成三類.

①“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”不參加，這時(shí)有窗穿種；

②“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中有一人入選，

這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，

因此有C；C；C：+C；C；C：種；

③“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中兩個(gè)均入選，

這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，

因此有c；c；c：+c：c；c；+c；c；c；c：種.

綜上分析，共可開出C：c：+C；C；C：+C；c；c；+C；C；C：+C；C；C：+C；C；C；C；=185種.

故選：B.

【例2】“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午

節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右

槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派

方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)4=｛只會(huì)劃左槳的3人｝,8=｛只會(huì)劃右槳的3人｝,C=｛既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳

的2人｝,據(jù)此分3種情況討論：

①從A中選3人劃左槳，劃右槳的在（BDC）中剩下的人中選取，有C：=10種選法，

②從A中選2人劃左槳，C中選1人劃左槳，劃右槳的在（BDC）中選取，有C；C；C：=24種選法，

③從A中選1人劃左槳，C中2人劃左槳，8中3人劃右槳，有C；=3種選法，

則有10+24+3=37種不同的選法.

故選：C.

【變式1】我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳

舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.

第一類2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來跳舞，接著從剩余的5人中選擇

3人唱歌，故有C；V=100種；

第二類2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有C；種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇2人來跳舞，有C；種，

再從剩余的6人中選擇3人唱歌，有C；種，故有C；C；?或=400種；

第三類2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有C；種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇1人來跳舞，有C；種，再

從剩余的7人中選擇3人唱歌，有C；種,有C；C；.C：=175種，

所以共有1。0+4。。+175=675種不同的選法，

故選：A.

【變式2】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)

要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

【答案】D

【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有C；C；種，有

一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有c；c：種，即共有

C；c：+C；C；C；+C；C；=92（種）不同的選派方法.

故選：D

【題型九】錯(cuò)位排列

【例1】將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒

放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：

（1）在6個(gè)小球中任選2個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里，有C：=15種選法，假設(shè)選出的2個(gè)小球的編號(hào)為5、

6；

（2）剩下的4個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里，

對(duì)于編號(hào)為1的小球，有3個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是2號(hào)盒子.

則對(duì)于編號(hào)為2的小球，有3個(gè)盒子可以放入，

對(duì)于編號(hào)為3、4的小球，只有1種放法.

綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為15x3x3=135種.

故選：B.

【例2】編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩

個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

【答案】B

【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人，方法數(shù)有C；=10,

另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致，方法數(shù)有2,

所以不同的坐法有10x2=20種.

故選：B

【變式11"數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，

它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一

個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至

右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）

5

A.72B.108C.144D.196

【答案】C

【解析】按題意5的上方和左邊只能從1,2,3,4中選取，5的下方和右邊只能從6,7,8,9中選取.因

此填法總數(shù)為4x3x4x3=144.

故選：C.

【變式21將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)

小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的方法總數(shù)是（）

A.20B.40C.120D.240

【答案】B

【解析】第一步，先選取3個(gè)盒子，放入編號(hào)相同的3個(gè)球，方法數(shù)為C：=20,第二步剩下的3個(gè)盒

子放入編號(hào)不同的小球，有2種方法，所以總方法數(shù)為20x2=40.

故選：B.

【題型十】涂色問題

【例1】如圖所示，積木拼盤由A,民C,O,E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤

的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：A與8為相鄰區(qū)域，A與。為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏

色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是.

【分析】先涂A,再涂3,再涂C,再涂。，最后涂E,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方法種數(shù).

【詳解】先涂A,則A有5種涂法，再涂8,因?yàn)?與A相鄰，所以8的顏色只要與A不同即可，有4種涂

法，同理C有3種涂法，￡（有4種涂法，E有4種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為

5x4x3x4x4=960.

故答案為：960.

【例2】如圖，一個(gè)區(qū)域分為5塊，現(xiàn)給每塊著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色.若有4種顏色可供選

擇，則不同的著色方法共有種.

【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，按照顏色分類，用3種顏色與用4種顏色分為兩類

計(jì)算即可得結(jié)論.

【詳解】按照使用顏色的種灶分為兩類：

第一類，使用了4種顏色，此時(shí)2,4同色或3,5同色，則共有C；.A：=48,

第二類，使用了三種顏色，此時(shí)2,4同色且3,5同色，則共有A：=24,

所以共有48+24=72種.

故答案為：72.

【變式1】將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不

同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？

②

①④

③

【答案】180

【分析】分①④不同色；①④同色兩種情況，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求出兩種情況下的涂法，再相加得到

答案.

【詳解】依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色.

第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成四步來完成.

第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；

第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；

第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法.

于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法為5x4x3x2=120（種）.

第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成.

第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法.

于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5x4x3=60（種）.

綜上可知，所求的涂色方法共有120+60=180（種）.

故答案為：180

【變式2】從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體A-38的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏

色，且共點(diǎn)的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有種.

【答案】96

【分析】根據(jù)所涂顏色的種數(shù)分類，結(jié)合排列，組合公式，即可求解.

【詳解】若所有相對(duì)的棱涂同一種顏色，共用3種顏色，有A：=24種方法，

若所有相對(duì)的3對(duì)棱中有2對(duì)對(duì)棱涂同色，共用4種顏色，有C；A：=72種方法,

所以共有24+72=96種方法.

故答案為：96

【題型十一】分組問題

【例1】將6本不同的書(包括1本物理書和1本歷史書)平均分給甲、乙兩人，其中物理書和歷史書不能

分給同一個(gè)人，則不同的分配種數(shù)是()

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】利用分步乘法原理和分組分配方法求解.

【詳解】第一步：把1本物理書和1本歷史書分給兩個(gè)人，1人一本，有A；種分配方法，

第二步：把剩下4本書平均的分給兩個(gè)人，有*xA；種分配方法，

所以共有A；x看xA；=12種分配方法，

故選:B.

【例2】(1)由0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？

(2)把5個(gè)不同顏色的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，有多少種不同的放法？

(3)某書法興趣小組有7名組員，其中3人只擅長(zhǎng)硬筆書法，2人只擅長(zhǎng)軟筆書法，其余2人既擅長(zhǎng)硬筆

書法，又擅長(zhǎng)軟筆書法，現(xiàn)從書法興趣小組中選擇擅長(zhǎng)硬筆書法的2人參加硬筆書法比賽，擅長(zhǎng)軟筆書法

的2人參加軟筆書法比賽(每個(gè)人不能同時(shí)參加兩個(gè)比賽)，則不同的選擇方法有多少種？

【答案】(1)420；(2)150；(3)37.

【分析】(1)按個(gè)位數(shù)字是否為0分類，結(jié)合排列計(jì)數(shù)問題列式求解.

(2)把5個(gè)不同顏色的小球按1：1：3,1:2:2分成3組，再利用全排列列式求解.

(3)根據(jù)給定的信息，按擅長(zhǎng)兩種書法的選與不選分類，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題求解.

【詳解】(1)求沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)有兩類：

個(gè)位數(shù)字為0,共有A1個(gè)；個(gè)位數(shù)字不是0,共有A；A；A；個(gè)，

所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是A2A*A；A|=120+300=420.

C2c2

（2）把5個(gè)不同顏色的小球按1:1:3分成3組的分法數(shù)為C；；按1:2:2分成3組的分法數(shù)為卡，

將每種分法所得3組放入3個(gè)不同盒子，有A；種放法，

所以不同的放法種數(shù)為（C；+—=150.

A?

（3）求不同選法種數(shù)，有三類辦法：

擅長(zhǎng)兩種書法的不選，有C；C；種；擅長(zhǎng)兩種書法的選1人，有（C；C；+C；C；）C；種；

擅長(zhǎng)兩種書法的選2人，有C；C；+C；C；+C；C；A；種，

所以不同選法種數(shù)是+（C?+C；c；）C；+C；C；+C；C；+C；C；A；=37.

【變式1】某市政工作小組就民生問題開展社會(huì)調(diào)研，現(xiàn)派遣AB,C三組工作人員對(duì)市內(nèi)甲，乙、丙、丁四

區(qū)的居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，若每區(qū)安排一組工作人員調(diào)研，且每組工作人員至少負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)調(diào)研，

則不同的派遣方案共有（）

A.36種B.48種C.56種D.72種

【答案】A

【分析】按照分組分