2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺：圓壓軸題強化練習(xí)題

1.如圖，是。。的直徑,是。。的切線，連接AC交于點D,點E為。。上一點，滿足踮=DB,

連接BE交AC于點凡若CD=1,BC=逐，則,EF=

2.如圖，已知A8是。。的直徑，弦CDLA8于點E,OE=BE.點P是劣弧而上任意一點（不與點A,

。重合），CP交于點M,AP與CD的延長線相交于點E設(shè)NPCD=a.

①則NP=，（用含a的代數(shù)式表示）；

②當/尸=3/尸。時，則——=

BM-------------

3.如圖，已知△ABC,AC=BC=6,ZC=90°,。是AB的中點，。。與AC,8c分別相切于點。與點

E.點F是與AB的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G.則/。G=,

CG=_____________________.

4.如圖，A8是。。的直徑，點。為AB下方。。上一點，點C為麗D的中點，連結(jié)CD,CA,AD.延長

AC.DB交于點E.若CE=2乃，BD=2,則。。的半徑為,S&ABD=.

第1頁共44頁

E

c.

5.如圖，O。是△ABC的外接圓，NA4C=60°于點Z),延長A。交O。于點E,若BD=8，CD=

3V3,則AD的長是_____________________

6.以AB為直徑的。。與AC相切于點A,弦DELAB于點H連接CD并延長交AB于點R交。O于點G,

連接OD.若/DOH=2AC,OD=3,AH=1.貝!IDE=,CG

7.如圖，以AB為直徑的。。上有兩點C、D,且點。平分劣弧8C,連接AC、AD,過點。作OO的切

線交AB的延長線于點E,連接CD,若AB=4,DE=相,貝UBE=,CD

DE

第2頁共44頁

8.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于圓。，AC為圓。直徑，BD、AC交于點E,8。平分/AOC,/CA。的平

分線交BD于F,OG切圓。于。，交CA延長線于G,若BF=2遮，點O到DC的距離為遮，則AC

9.如圖，在。。中，48為直徑，BD為弦,點C為弧2。的中點，以點C為切點的切線與A3的延長線

交于點E,連接AC交8。于點R若AP=3CRAB=6,則CE的長度為.

10.如圖，以AB為直徑的。。與AE相切于點A,以AE為邊作菱形ACDE,點C在。。上，CD與AB

交于點F,連接CE,與。0交于點G,連接GR若AB=8,4E=2巾,則CF=,

GF=.

11.如圖，AB是O。的切線，2為切點，49與O。交于點C,。是O。上一點，連接出），CD,ZBDC

1

=30°,延長48至點R使得BF=^4B,連接OR過點2作BG，。/于點G,BG=2,貝Utan/AF。

為,四邊形GOAB的面積為.

第3頁共44頁

'A

Fl

12.如圖，ZXABC中，AB=AC,以48為直徑的。。交3c于點。，過點。作。。的切線。E交A8的延

長線于點E,若AB=4,tan/C48=2,則切線。E的長為.

13.如圖，以AB為直徑的O。與2E相切于點2,EF交。0于C、F,弦CD垂直AB于點連接8尸

交CD于G.若CD=AH=4,BF=則BH=,EC=.

14.如圖，AABC內(nèi)接于。。，AD是。。的直徑，OE是。。的切線，點。為切點，點E在C8的延長線

上，OCLAD,CF±AB,垂足分別為點O,F,連接。?若DE=3,CE=3V13,則AO=,

0F=.

15.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，點。為AC弧的中點，對角線AC經(jīng)過圓心，延長AC與過點B的

QO的切線BF交于點F.若AB=BF=3百,則BC的長度-,AD的長度為.

第4頁共44頁

16.如圖，NMPN=30°,點。在PM上，。。與PN相切于點A,與PM的交點分別為8,C.作C￡)〃

PN,與O。交于點D,作CELPN,垂足為E,連接EO并延長，交CD于點F,CD=8,則的長

17.如圖，AB是。。的直徑，BC是切線，AC交0O于點D,若AB=10,AD=4心貝！］CD的長

為,過點D作DE±AB于點E,連接CE并延長交。。于點F,則EF的長

為.

18.如圖，AB為圓。的直徑，過圓外一點E作圓的兩條切線，交圓。于3,。兩點，弦COLOA于點M,

連接AE交MD于點F,交圓O于點G,已知AM=2,CD=6,則AB的長為；

則FG的長為.

19.如圖，已知是。。的直徑，弦EFLAB于點C,過點/作。。的切線交A8的延長線于點。，G為

8E的中點，連接下G.若N。=30°,FG=2V7,則。。的半徑是,

第5頁共44頁

EF

20.如圖，平行四邊形ABC。的頂點A、8和對角線交點下均在OO上，。。與2c相切于點8,邊AD經(jīng)

過圓心。且交。。于點E,若半徑04=或,則線段AB=,線段DE=

21.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,直徑AC交弦8。于點E,延長8。交過點C的切線于點R連接CD若

22.如圖，。。是RtZiABC的外接圓，ZACB=90°,CD是。。的切線，AQ_LC。，點E是弧BC的中

點，連接BE,BD,若3c=8,BE=2V5,則42=,BD=.

23.如圖，AB是。。的直徑，8C是OO的切線，點8為切點.連接AC交。。于點。，點E是。。上一

點，連接BE,DE,過點A作A尸〃BE交8。的延長線于點?若BC=5,CD=3,ZF=ZADE,則

第6頁共44頁

AB的長度是；DF的長度是

24.如圖，△ABC是。。內(nèi)接三角形，。。的半徑是屬，BC=2,ZACB=120°,ZACB的角平分線

CD交AB于點F,交。。于點D,連接AD.BD,過點D作的切線交CB的延長線于點E,則線段

AB的長度為,線段DE的長度為.

7c

25.如圖，已知08是。。的半徑，弦CO_LOB,垂足為點E,且tan/BZ)C=?0E=-r,過點C作O。

Dq

的切線，交0B的延長線于點P,則0B的長為,則CP的長

為.

26.如圖，以AB為直徑的O。與AE相切于點A,3E與O。交于點。，過D作于點"連接

CE交AB于點F、交0。于點G.若BH=2,AH=8,則CD=,AG=.

第7頁共44頁

2025年重慶中考數(shù)學(xué)壓軸專題：圓

參考答案與試題解析

—.試題（共26小題）

1.如圖，A8是。。的直徑，8C是。。的切線，連接AC交。。于點D,點、E為OO上一點，滿足/=DB,

廠—3A/5

連接BE交AC于點F,若CO=1,BC=V5,貝！JAB=26，EF=——.

----.........-5—

A

【解答】解：連接AE、BD,

〈AB是。0的直徑，5C是。。的切線，

ZADB=90°,BCLAB,

ZABC=90°,

ZBFC+ZDBE=90°,ZC+ZDAB=90°,

'：DE=DB,

:?NDBE=NDAB,

：.ZBFC=ZC,

；?BF=BC=V5,

■:BDLCF,

:?DF=CD=1,

'：ZBDC=ZABC=90°,ZC=ZC,

???△BDCs^ABC,

.CDBC

??一,

BCAC

%_包

??AC—CDi7'

：.AF=AC-CD-DF=5-1-1=3,AB=，25-5=2遙,

?；NEAF=NDBF,ZAFE=ZBFD,

第8頁共44頁

XAFEs"BED,

EFAF_

DF~BF'

AF-DF3x1375

EF=~B^=JS=^

2.如圖，已知AB是。。的直徑，弦COJ_48于點E,OE=BE.點尸是劣弧而上任意一點（不與點A,

。重合），CP交AB于點M,AP與C。的延長線相交于點孔設(shè)/PCZ）=a.

①則//=60。-a,（用含a的代數(shù)式表示）;

②當N尸=3NPCD時，則一=V3.

BM——

【解答】解：①連接O。，BD,PO,

???弦CD_LA3于點區(qū)OE=BE,

：.OD=BD,

?：OD=OB,

:AODB是等邊三角形，

：.ZBOD=60°,

VZPC￡>=a,

：.ZPOD=2a,

???/尸03=60°+2a,

ZA=^ZPOB=30°+a,

第9頁共44頁

：.ZPFE=9Q0-ZA=60°-a.

故答案為：60°-a；

②：/AFE=3NPCD,

60°-a=3a,

a=15°,

:./POD=2/PCD=30°,

：.ZPOB=90°,

???OP//CE,

:.APOMs^CEM,

：.OMtEM=OP：CE,

???直徑A5J_CD,

:.DE=CE,

：.OM：EM=OP：ED,

設(shè)圓的半徑是r,OM=x,

：.EM=-x,DE=~-r,

.1、V3

..x：Q—r-x)=r：—r,

22

.\x=(2—V3)r,

：.OM=(2-V3)r,

AM=AO+OM=3r-V3r,BM=OB-OM=V3r-r,

.AM3r-V3r

*MBV3r-r

故答案為：V3.

第10頁共44頁

A

3.如圖，已知△ABC,AC=BC=6,/C=90°,。是AB的中點，。。與AC,BC分別相切于點。與點

E.點F是。。與AB的一個交點，連DF并延長交CB的延長線于點G.則/CDG=67.5°,CG

=3V2+3.

切。。于點。，

：.ZODA=9Q°,ZDOA=45°,

?：OD=OF,

1

ZODF=ZOFD=|ZDOA=22.5°,

ZCDG=ZCDO-ZODF=90°-22.5°=67.5°.

VZC=90°,

J.OD//CB；

TO是A5的中點，

???00是△ABC的中位線，即0。=5。=3；

VAC=BC=6,ZC=90°,

.\AB=6V2,貝I03=3也

9：0D//CG,

第11頁共44頁

：.ZODF=ZG；

?：OD=OF,則/O。尸=NOF￡),

NBFG=ZOFD=ZG,

:.BF=BG=OB-0F=3近-3,

:.CG=BC+BG=6+3近—3=3夜+3,

故答案為：67.5°,3V2+3.

4.如圖，AB是。。的直徑，點。為A8下方。。上一點，點C為做的中點，連結(jié)CD,CA,AD.延長

AC、DB交于點E.若CE=2正,BD=2,則。。的半徑為3,S^ABD^4股.

【解答】解：延長C。交OO于尸，連接8C,如圖所示:

?..AB為。。的直徑，

ZADB=90°,

即BE1AD,

:點C為而D的中點，

，根據(jù)垂徑定理得：CFLA。，

C.OC//BE,

'：OA=OB,

；.0C是△ABE的中位線，

設(shè)OO的半徑為R,則A8=2R,OC=R,

；.AC=CE=2拈BE=2OC=2R,

第12頁共44頁

：.AE=4y[6,DE=BD+BE=2R+2,

在中，由勾股定理得：AD1=AB1-BD2,

在RtZXA即中，由勾股定理得：AD2=AE2-DE1,

：.AB2-BD1=AE1-DE2,

：.(22?)2-22=(4V6)2-(2R+2)2,

整理得：7?2+R-12=0,

解得：Ri=3,R2=-4(不合題意，舍去)，

???OO的半徑為3,

：.AB=6,

：.AD=7AB2—BD2=V62-22=4位,

S^ABD=BD=2x4>/2x2=4V2,

故答案為：3；4V2.

5.如圖，G)O是△ABC的外接圓，NBAC=60°于點。，延長AO交。。于點E,若BD=遍，CD=

3V3,貝ijAD的長是_V13+2.

【解答】解：連接過O點作。尸，3C于F,作OGLAE于G,

：O。是△ABC的外接圓，ZBAC=60°,

：.ZBOC=12Q°,

■:BD=陋,CD=3V3,

：.BC=BD+CD=4V3,

第13頁共44頁

：.BF=2BC=2V3,DF=BF-BD=V3,

,：ZBOF=60°,ZBFO=90°,

BFBF

：.0B=0C==4,OF=—=2,

sinbOcosbO

：.0G=DF=43,GD=OF=2,

在RtAAGO中，4G=VOX2-0G2=V13,

：.AD=AG+GD=V13+2,

故答案為：V13+2.

6.以AB為直徑的O。與AC相切于點A,弦DELAB于點H連接CD并延長交AB于點F、交。0于點G,

連接OD若ND0H=2NC,OD=3,AH=1.貝！IZ?E=_2V5_,CG=

【解答】解：TAB為直徑，DELAB,

1

：.DH=EH=^DE,

由題意知，OA=OD=3,

：.OH=OA-AH=2,

由勾股定理得，DH=VOD2-OH2=V5,

：.DE=2V5；

???OO與AC相切于點A,

：.BALCA,

J.DE//CA,

:?/GDE=/C,

如圖，連接AE,AG,

第14頁共44頁

B

'：AD=AD,

1

：./LDEA=^DGA=^DOA=Z.C=乙GDE,

???AC=AG,AE//CG,

又,：DE/心,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

：.AC=DE=2V5,AE=CD,

：.AG=2V5,

在△AHE和△尸中，

^HEA=Z.HDF

EH=DH,

^AHE=Z.FHD

：.AAHE^AFHD（ASA）,

：.AE^DFfAH=FH=T,

：.AF=2,

如圖，過G作GM_LC4的延長線于Af,

設(shè)GM=mAM=b,貝!JCM=2而+b,

'：ZGCM=ZFCA,ZGMC=90°=ZFAC,

???△GCMs△bCA,

GMCM2V5+d

---=---,即-=---

AFAC22V5

解得，b=V5（a—2）,

由勾股定理得，AG1=AM1+GM2,即（2遮）2=爐+。2=［遮（。—2）］2+。2,

1n

解得，。=百或。=0（舍去），

：.CM

第15頁共44頁

由勾股定理得CG=7cM2+GM2=萼

7.如圖，以AB為直徑的。。上有兩點C、D,且點。平分劣弧BC,連接AC、AD,過點。作。。的切

l2\/6

線交AB的延長線于點E,連接CQ,若45=4,DE=V5,貝!J8￡=1,CD=—.

---------3一

【解答】解：連接BC、0D交于點F,連接BD,

為。。的直徑，且AB=4,

1

；?0D=0B=^AB=2,ZACB=90°,

???點。平分劣弧5C,

：.OD.LBC,且尸。=尸3,

TOE與。。相切于點

：.DELOD,

：.ZCFD=ZODE=90°,

：.CB//DE,

：.ZABC=ZEf

■:DE=V5,

???OE=VOD2+DE2=卜+(V5)2=3,

：.BE=OE-OB=3-2=1,

'：FB//DE,

：.AOFB^/\ODE,

.OFFBOB2

??OD-DE-OE-3’

：.OF=|OD=|x2=I，F(xiàn)C=FB=|f>E=|xV5=竽,

：.FD=OD-OF=2-1=I，

第16頁共44頁

：.CD=>JFC2+FD2=J(竽尸+(|尸=竽,

8.如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于圓。，AC為圓。直徑，BD、AC交于點E,8。平分/AOC,/CA。的平

分線交8。于RZX?切圓。于。，交CA延長線于G,若BF=2遮，點。到。C的距離為遮，則AC

【解答】解：：BD平分NADC,

ZADB=ZCDB,

：.AB=BC,

：.AB=BC,

平分/CA。，

：.ZEAF=ZDAF,

'：ZAFB^ZDAF+ZADB,NBAF=ZEAF+ZBAC,

：.ZADB=ZBAC,

：.NAFB=/BAF,

：.BF=AB=2V5,

：.BC=AB=2V5,

：AC是。。的直徑，

；.NABC=90°,

第17頁共44頁

：.AC=ylAB2+BC2=y[2AB=2V10,

如圖，過點。作OHLC。于H連接OD,

1

則C”=HD=^CD,OH=V2,

-1

又。c=*ac=VTU,

CH=Voc2-OH2=2V2,

ACD=4VL

:AC是。。的直徑，

ZADC=90°,

：.AD=<AC2-CD2=2V2,

G切O。于。，

ZODG^ZODA+ZADG=9Q°,

:ZADC=ZODA+ZODC=90°,

ZADG^ZODC,

,：OD=OC,

：./ODC=NOCD,

：.ZADG=ZOCD

：/G=NG,

.?.△GAD^AGDC,

.GAAD2>/21

"GD~DC~4V2-2

設(shè)AG=x,則G￡)=2x,

/.(2x)2+(VlO)2=(x+VlO)2,

解得Xl=0(不符合題意，舍去)，%2=|vio,

2

：.AG=1V10,

第18頁共44頁

2/

故答案為：2V10;-V10.

9.如圖，在。0中，A3為直徑，5。為弦，點。為弧5。的中點，以點。為切點的切線與A3的延長線

交于點連接AC交5。于點R若A尸=3CRAB=6,則CE的長度為4.

【解答】解：連接0C,

??,點。為弧5。的中點，

???0。垂直平分5D

〈CE與。。相切于點C,

：.CELOC,

：.ZOHB=ZOCE=90°,

J.FB//CE,

：.AAFB^AACE,

'：AF=3CFfAB=6,

1

.*.AC=3CF+CF=4CF,OC=OA=?5=3,

.AF3CF3

AC~4CF~4’

ABAF3

，9AE~AC~4

AAE=1AB=1x6=8,

AOE=AE-OA=S-3=5,

???CE=y/OE2-OC2=V52-32=4,

故答案為：4.

第19頁共44頁

10.如圖，以AB為直徑的。。與AE相切于點A,以AE為邊作菱形ACDE,點C在。。上，CD與

交于點F,連接CE,與。O交于點G,連接GF,若AB=8,AE=2小,貝|CF=——，GF=

—2—

V53

2—'

【解答】解：連接OC,BG,AG,作CI±EA交EA延長線于點/,作GH±EA于點H,交CD延長線

于點J,

:菱形ACDE,

:CD//AE,

：.四邊形C/H7和四邊形CIAF,四邊形AFJH都是矩形,

：0。與AE相切于點A,

：.ZCFA=ZBAE=90°,

設(shè)OF=x,

VAB=8,

.,.OA=OC=4,貝!|AF=4-x,

由勾股定理得CF2=AC2-AF2=OC2-OF2,

第20頁共44頁

即(2V7)2-(4-x)2=42-x2,

1

解得久=29

*.*OF=AF=CI=

：.CF=y/OC2-OF2=J42-(i)2=竽，

：.EI=AE+Al=AE+CF=^-+2y[7=字

CE=VC/2+E/2=7V2,

為。。的直徑，

ZAGB=90°,

.?.ZGAE=90°-ZBAG=ZB=ZECA,

'：ZAEG^ZCEA,

：.叢AEGsACEA,

EAEG目口2夕EG

??一，即-尸=-尸,

ECEA7V22V7

：.EG=2V2,CG=5V2,

,."GH//CI,

:.AEGHsAECI,

EGGHEH?2V2GHEH

--=---=---,即-尸==

ECCIEI7V2道，

22

；.GH=1,V7,

：.CJ=HI=EI-EH=亨一V7=孚，JG=JH-GH=^-1=

：.JF=/C-CF=零-竽=V7,

GF=y/jG2+JF2=J(f)2+(V7)2=V53

乂田9上3位V53

故答案為：——;――.

22

11.如圖，A3是。。的切線，B為切點，AO與。0交于點C,。是。。上一點，連接3D,CD,ZBDC

一1

=30°,延長AB至點尸，使得BF=%B,連接。尸，過點8作8GJ_0F于點G,BG=2,貝！Jtan/AF。

2V3「

為—可—,四邊形GOAB的面積為_^V3_.

第21頁共44頁

A

B

C

【解答】解：連接O-

〈AB是。。的切線，B為切點,

：.AB.LOBf

：.ZABO=ZFBO=90°,

VZBDC=30°,

ZAOB=2ZBDC=60°,

ZA=90°-ZAOB=30°,

：.OA=2OB,

：.AB=y/OA2-OB2=V（2O5）2-OB2=遮OB,

：.BF=|AB=IxWOB=孚OB,

tanZAF（?=§fOB_273

BF孚OB3

???BG_L。歹于點G,BG=2,

：.ZFGB=ZOGB=ZFBO=90°,

J/OBG=NA尸0=90°-/FBG,

—=tanZOBG=tanZAFO=

BG3

OG=竽BG=竽X2=竽，

OB=VFG2+OG2=J22+（竽/=弩1,

：.AB=V3X=277,

14^/3^12V21

??S四邊形GOA3=SZ\GOB+SZ\AOB=2x2x—2—F2X2A/7X——=6V3,

故答案為：—6V3

第22頁共44頁

'A

F

D

12.如圖，ZvlBC中，AB=ACf以AB為直徑的。0交8。于點。，過點。作。0的切線QE交A3的延

長線于點E,若A3=4,tanNCAB=2,則切線DE的長為4

9

：AB=ACf

：.ZC=ZABC,

：?/ODB=NC,

：.OD//AC,

；?/DOE=/CAB,

???DE與。。相切于點。，

：.DE±OD,

：.ZODE=90°,

VAB=4,tanZCAB=2,

1DE

0D=^AB=2,—=tanZDOE=tanZCAB=2,

2OD

：.DE=2OD=4,

故答案為：4.

第23頁共44頁

c

13.如圖，以A3為直徑的。。與BE相切于點8,右方交。。于。、F,弦CQ垂直A3于點H,連接5b

交CD于G.若C￡)=A8=4,BF則1,EC=—.

13-----4-

【解答】解：連接AC、BC、BD,

為。。的直徑，弦COLAB于點X,CD=A8=4,

1

：.ZCHB=ZAHC^ZACB=90°,CH=DH=^CD=2,

：.ZBCH=ZCAH=90°-ZACH,

:.叢BCHs叢CAH,

.BHCH21

"CH~AH~~2

1

：.BH=*CH=1,

：.BA=BH+AH=1+4=5,CB=VCW2+BH2=V22+l2=V5,

?；/BHG=NBFA=90°,ZGBH=ZABF,BF=^^-,

：.4GBHsAABF,

.BGBH1V13

???嬴=薪=

13

???BG=^-BA=祟X5=孚’

?一口—R口口一15VT^32A/T^^口/p2TJ2/,J13、272

..GF—BF-BG=-^5--------，GH=—BH1=r(-5D—)2—lz=

_LOOOLz\O

:.CG=CH+GH=2+1=|,

第24頁共44頁

???。0與BE相切于點'

：.EB.LAB,

：.EB//CG,

:?△EBFs^CGF,

15V13

.EBBF45

??CG-GF-32皿―32

39

4545815

?,-￡B=32CG=32X3=T

,：AB垂直平分CD,

：.CB=DB,

：.NBCD=ZD=ZEFB,

：.ZEBC=NBCD=NEFB,

:NE=NE,

:.AEBCsAEFB,

ECCBV5V65

EB—BF-曲月—15

13

?>.....>,、>76S

故答案為：1,—

14.如圖，△ABC內(nèi)接于OO,A。是。。的直徑,OE是。。的切線，點O為切點，點E在CB的延長線

上，OC±AD,CF±AB,垂足分別為點O,F,連接OF.若DE=3,CE=3V13,則12

6V13

OF=-------

13

第25頁共44頁

A

【解答】解：如圖，過C作CHLOE交ED延長線于點“，過。作QQ_LCE交CE于點。，連接CD

BD,

「AD是O。的直徑，OCLA。，

：.OC^OA=OD,

.?.△OAC>△OOC、△ACD為等腰直角三角形,

：.ZODC=ZOAC=45°,

E是O。的切線，

OD±DE,

,：CHIDE,OCA,AD,OC=OD,

：.四邊形OCHD為正方形，

設(shè)CH=DH=0D=OC=x,

則HE=HD+DE=x+3,

,：CH2+HE2=CE1,

即/+0+3）2=（3713）2,

解得：xi=6（舍去負值），

:.CH=DH=0D=0C=6,DC=6上,

.?.40=200=2X6=12；

'JDQLCE,

:?S〉CDE=5.CE?DQ=5-DE?CH,

第26頁共44頁

A|x3^13-DQ=|x3

x6,

?,?加=嗜

9：ZCBD=ZCAO=45°,

：.BD=V2DQ

VCFXAB,OCLAD,

：.ZAOC=ZAFC=90°.

???A、C、。、尸四點共圓,

：.ZCFO=ZCAO=45°,ZOCF=ZOAF,

9：ZCAO=ZCBD=45°,/0AF=NDCB,

：.ZCFO=ZCBD,/0CF=/DCB,

:.AOCFsADCB,

OF0C1

BD~DC~收

116V26_6/13

???0F=&BD=質(zhì)xp=W

6A/13

故答案為：12；]3

15.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，點。為AC弧的中點，對角線AC經(jīng)過圓心，延長AC與過點8的

Q0的切線BF交于點F.若48=BF=3e，則BC的長度3；AD的長度為_3/_

【解答】解：四邊形ABC。內(nèi)接于O。，點。為AC弧的中點，B尸是O。的切線，如圖，連接。3,

AZBOF=9Q°,

第27頁共44頁

〈AC是。。的直徑，

ZABC=ZADC=90°,

9：AB=BF=3V3,

：.ZFAB=ZFf

?：OA=OB,

：.NOBA=ZFAB=ZF,

丁ZFOB=ZFAB+ZOBA,

：./FOB+/F=ZFAB+ZOBA+ZF=90°,

AZFAB=ZOBA=ZF=30°,

.\BC=ABt^nZBAC=3V3tan30°=3,

ZACB=60°,

OB=OC,

???△08C是等邊三角形，

OC=BC=OB=OA=3f

AC=6,

:點。為AC弧的中點，

AD^CD,

AD=CD,

：.△AC。是等腰直角三角形，

：.AD1+CD1=2AD1=AC1,

：.AD=*AC=3V2,

故答案為：3；3V2.

16.如圖，NMPN=30°,點。在PM上，OO與PN相切于點A,與PM的交點分別為8,C.作CC〃

PN,與。。交于點D,作CE±PN,垂足為E,連接EO并延長，交CD于點F,C￡>=8,則。4的長

為――<EF的長為_2V21.

—3------

M7廣

NEA

第28頁共44頁

【解答】解：延長AO交C。于點"，

???。0與PN相切于點A,

：.PNLOA,

*：CD〃PN,/MPN=30°,

：.ZOHC=ZOAP=90°,/OCD=/MPN=3S,

VCD=8,O〃_LC￡>于點H,

1

；?CH=DH=*CD=4,

1

0H=^OC,

：.CH=70c2-CH2=Joe2-80C)2=苧oc=4,

.?Q=OC=孥；

■:CELPN于點、E,

：./AEC=/EAH=ZAHC=90°,

四邊形AEC”是矩形，

：.AE=CH=4,

：.OE=y/AE2+OA2=J42+(皚2=

11

9：HF//AE,OH=^OC=^OA,

J.AHOF^AAOE,

.OFOH1

**OE~OA~2

.o1^^1v4/21_2/21

??OF=2X——=——，

?萬廳一4y[212V2Tg歷彳

..EF—OE+OF=——I——=2V21,

故答案為：2V21.

17.如圖，AB是（DO的直徑，BC是切線,AC交。。于點D,若AB=10,AD=4V5,則CD的長為_遍_

第29頁共44頁

6V29+10V145

過點D作。于點E,連接CE并延長交。。于點R則EF的長為

29

【解答】解：連接OF、BD,作于點L則/OLF=/OLE=90°,

A8是。。的直徑，AB=1Q,AD=4y[5,

1

OF=OB=^AB=5,ZADB=ZBDC=90°,

BD=7AB2-AD?=J102-(4俑2=2遍,

BC與。0相切于點8,

BC.LAB,

ZABC=90°,

ZCBD=ZA=90°-ZACB,

CDBC=BD=2店=\

—=tanZCBD=tanA=

BDAB—AD—475—2

111

CD=^BD=X2V5=V5,BC=^AB=5,

于點E,

/BED=90°,

BEBD

—=cosXABD,

BDAB

BD^_=(2佝2

BE—AB~10-2,

OE=OB-BE=5-2=3,CE=V5C2+BE2=V52+22=V29,

NOEL=NCEB,

ELRF22^/29OLBC_5_5V29

—=cosZOEL=cosZCEB=k—~i==on>—=sinZOEL=sinZCEB=

OECE72929OECE=729=^9-

2回2炳6回,「5區(qū)“S溶、s15國

EL=2gOE=29x3=2gjOL=OE=X3=-—,

FL=<0F2-OL2=J52—(嚼^=當署，

“m36/291071456/29+107145

EF=EL+FL=-29H----西—=-----------，

第30頁共44頁

,,心生,l6V29+10V145

故答案為：底一一

18.如圖，為圓。的直徑，過圓外一點E作圓的兩條切線，交圓。于8,。兩點，弦CDLOA于點M,

連接AE交岫于點R交圓。于點G,已知A"2,CD=6,則加勺長為一萬一則小的長為

27

10—

【解答】解：連接AC、AD.BD,

TAB為。。0的直徑，弦CDJ_Q4于點M,AM=2,0)=6,

1

AZAMD=ZDMB=ZADB=90°,CM=DM=*D=3,

???ZDAM=/BDM=90°-ZADM,

：.△AMDs△z)M5,

.AMDM

"DM~BM'

?RM—DM2-32-9

,?8例-前一

913

：.AB=AM+BM=2+^=號，

；.ft4=0B=%B=竽，

,：AB垂直平分CD,

22

：.AC=AD=7AM2+DM?=V2+3=V13,

：.BD=yjAB2-AD2=[(竽下一(VH)2=

連接01)、OE、DG,OE交BD于點L,

第31頁共44頁

,EB、即分別與。。相切于點8、D,

.EB=ED,BE±AB,

?/OB=OD,

...點。、E都在BD的垂直平分線上，

...?！甏怪逼椒?/p>

：.ZOLB=ZOBE=90°,LD=LB=%D=緣

:ZOLB=ZOBE,ZLOB=/BOE,

.,.△OLBS^OBE,

.OLLB

??一,

OBBE

陽曙="審

27

故答案為：—

10

第32頁共44頁

19.如圖，已知AB是。0的直徑，弦于點C,過點尸作。。的切線交A8的延長線于點。，G為