第18章勾股定理——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：18.1-18.2

⑥重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航

平行四邊形

行小邊形的11矩上的件-11菱舊的件質(zhì)與11人"開小J件也倒三角形的中位

性質(zhì)與小定]1,川工]]1川定■線

⑥重難點(diǎn)知識(shí)剖析

知識(shí)點(diǎn)一：平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形性質(zhì)和判定的聯(lián)系

平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的判定

平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形的對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2.平行四邊形的核心性質(zhì)

(1)中心對(duì)稱是平行四邊形的核心性質(zhì)；

(2)對(duì)稱中心兩側(cè)的對(duì)應(yīng)元素都相等；

(3)過對(duì)稱中心的任意直線，平分平行四邊形的周長(zhǎng)和面積；

3.平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用策略

(1)平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了新的理論依據(jù)；

(2)平行四邊形的兩條對(duì)角線將平行四邊形分成的四個(gè)三角形中，相對(duì)的兩個(gè)三角形全等,

且四個(gè)三角形的面積相等，相鄰兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差等于平行四邊形相應(yīng)的鄰邊之差；

(3)利用對(duì)角線互相平分可以解決對(duì)角線或邊的取值范圍問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系“三角形的

試卷第1頁(yè)，共12頁(yè)

兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”來解決.

(4)運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊

形的定義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡(jiǎn)單.

注：凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平

行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題.

4.平行四邊形的判定要注意的一些問題

(1)判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).

(2)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，有可能是等腰梯形.

(3)一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形也不一定是平行四邊形.

(4)兩組鄰邊分別相等或兩組鄰角分別相等都不能判定四邊形是平行四邊形.

心-典例精講WL.

1.如圖，在平行四邊形/BCD中，ZABC,/BCD的平分線BE,C尸分別與4。相交于點(diǎn)

(2)若48=5,CF=6,求的長(zhǎng).

例2.

2.如圖,在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線8。，點(diǎn)￡和點(diǎn)F是直線BD上的兩點(diǎn)且DE=BF.

(1)求證：四邊形NECF是平行四邊形；

(2)若NOJLBD,AB=5,BC=3,FE=8,求點(diǎn)。到/F的距離.

Q變式訓(xùn)練

3.如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZA=90°,/O=16cm,SC=21cm,

CD=13cm.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線3c以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng).動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

在線段上以每秒1cm的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P也同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)以點(diǎn)P、C、。、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，I

的值為()

AQD

BP

37537

A.2或二秒B.7秒C.5或彳秒D.——秒

2

4.綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們開展了口/BCD的折紙活動(dòng)，￡是8c邊上的一動(dòng)點(diǎn)，尸是

4D邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將口沿直線E尸折疊，使點(diǎn)C落在42邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)。的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N,連接CM.

EE

圖1圖2

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,若乙D=60。，ME1AB,BE=2,貝|EC=

(2)【操作探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)N落在胡的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：四邊形EAWF為平行四邊形.

知識(shí)點(diǎn)二：矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所

在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

試卷第3頁(yè)，共12頁(yè)

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

2.矩形的判定

（1）矩形的判定：

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊

形的對(duì)角線相等.

②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.

3.矩形的判定與性質(zhì)

（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識(shí)其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四

邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對(duì)稱圖形、內(nèi)角都是直角、對(duì)角線相等.同時(shí)平行四

邊形的性質(zhì)矩形也都具有.

（2）矩形的折疊問題常與勾股定理聯(lián)系起來構(gòu)建方程；

（3）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常

用到等腰三角形的性質(zhì)，并且分成的四個(gè)等腰三角形的面積相等.

在典例精講

例1.

5.如圖，在矩形紙片中，0c=8,點(diǎn)M是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是DC邊上的中點(diǎn)，

佳佳按如下方式作圖：

①連接MC,MD；②取MC,的中點(diǎn)P,0；③連接PN,QN.

若四邊形MPNQ是矩形，可以推斷/。的長(zhǎng)度不可能是（）

A.2B.3C.4D.5

例2.

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

6.如圖，已知在四邊形/BCD中，AD=BC,ABCD,=/D,點(diǎn)E是4B邊上的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸為AD邊上一點(diǎn)，連接CF、CE,D4與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

(I)求證：四邊形為矩形；

(2)若N1=2N2,CF=5,求/尸+3C的值.

Q變式訓(xùn)練

7.如圖，在矩形/BCD中，4B=4,8c=13,點(diǎn)E,尸分別在邊上，將矩形/8CZ)

沿所折疊，得到四邊形且點(diǎn)A恰好為邊NF的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為()

A.7.2B.7.5C.8D.8.4

8.如圖，在048co中，AD=12cm,CD=6cm,=60°,過點(diǎn)。作。E_L8C,垂足為

E.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿4D方向以lcm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā),

以2cm的速度沿射線C2運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸，。運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間為，s(O<t<8).

(1)當(dāng)PQ〃OC時(shí)，求/的值;

試卷第5頁(yè)，共12頁(yè)

⑵當(dāng)沁^=焉時(shí)，求出f的值,并判斷此時(shí)四邊形。EQP是什么特殊的四邊形？說明理由.

、ADCQI。

知識(shí)點(diǎn)三：菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線.

（2）菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=：仍.（。、6是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）

2.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：???/2=2C=CD=D4四邊形是菱形；

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）.

幾何語言：???/C18D,四邊形是平行四邊形，.??平行四邊形是菱形

-：仁典例精講

例i.

9.如圖，在菱形4BCD中，N4=60°,點(diǎn)E,尸分別在邊48,BC±,ZEDF=60°,

BF=a,BE=1,則3。的長(zhǎng)為（）

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

D

C.V6+1D.273-1

例2.

10.如圖，在平行四邊形42。中，E,尸分別是邊/RBC上的點(diǎn)，連接/尸、CE,4F與CE

交于點(diǎn)。，AFLBC,CE±AB.下面是兩位同學(xué)的對(duì)話:

小明:若BE=BF,小聰：若//=CE,

則四邊形/8C。則四邊形Z8CO

為菱形為菱形

(1)請(qǐng)選擇一位同學(xué)的說法，并證明;

⑵在(1)的條件下，若/。=45。,/8=8,求△NEO的周長(zhǎng).

Q變式訓(xùn)練

11.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線ZC與8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DEL2C交2c于點(diǎn)E,

若菱形/8CZ)的周長(zhǎng)為20,AO=4,則DE=

12.如圖，在△4BC中，BD平分/ABC,AD的垂直平分線分別交48,BD,8C于點(diǎn)￡,F,

G,連接?！?、DG.

(1)求證：四邊形BGDE是菱形：

(2)若NEDG=30。，ZC=45°,ED=6,求8C的長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)四：正方形的性質(zhì)與判定

試卷第7頁(yè)，共12頁(yè)

1.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，

有四條對(duì)稱軸.

2.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.說明：正方形的判定沒有固

定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

在典例精講

例1.

13.我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成.如圖，正方形N2CD與正方形

EFG”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的，連結(jié)。尸.若8G=4,EF=\,則"等

于（）

A.V17：4B.V17：5C.V15:4D.715:5

例2.

14.在正方形4BCD中，E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接/￡交對(duì)角線于點(diǎn)尸.

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

圖3

⑴連接CF,如圖1,求證：AF=FC；

(2)如圖2,過點(diǎn)尸作尸GL4E交BC于點(diǎn)G,求證：/E4G=45。；

⑶在(2)的條件下，如圖3,連接EG,當(dāng)8G=4,DE=3時(shí)，求EG的長(zhǎng).

Q變式訓(xùn)練

15.如圖，正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E和尸分別為邊N8和CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在48上,

GH〃BC交CD于H,且G5=l,點(diǎn)〃■和N分別是斯和G”上的動(dòng)點(diǎn)，QMN1EF.當(dāng)

4M=CN時(shí)，線段GN的長(zhǎng)度為.

16.【操作思考】

(1)如圖1,己知方格紙每個(gè)小方格都是長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，已知線段N8的端點(diǎn)均在

正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，其位置如圖所示.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙上畫出以N2為斜邊的所有互不全等的直

角三角形，要求這些三角形的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.

【聯(lián)系應(yīng)用】

AT1

(2)如圖2,在中，ZC=90°,—=D,￡是2c邊的三等分點(diǎn)，連接

BC3

AD,AE,求/1+/2+/3的度數(shù).

【拓展延伸】

(3)如圖3,已知正方形的邊長(zhǎng)為3,當(dāng)點(diǎn)a是邊的三等分點(diǎn)時(shí)，把△助沿C7Z

翻折得△GC4,延長(zhǎng)所交40于點(diǎn)求A?的長(zhǎng).

試卷第9頁(yè)，共12頁(yè)

M

AD

知識(shí)點(diǎn)五：三角形的中位線

1.三角形中位線定理

文字表述三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的的一半

A

圖形表述/\

BC

符號(hào)表述AD=DB,AE=ECDE//BC,DE=^BC

2.三角形中位線應(yīng)用策略

(1)三角形有三條中位線，每一條中位線與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.三角

形的中位線定義為證明兩條直線平行、兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系提供了一個(gè)重要依據(jù).

(2)三角形的中位線與中線的區(qū)別：三角形的中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，三角

形的中線是連接三角形頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的線段.

(3)當(dāng)遇到中點(diǎn)時(shí)，可考慮構(gòu)造三角形的中位線來解決問題，這種思路方法就是我們常說

的“遇到中點(diǎn)想中位線”；相應(yīng)地，知道三角形的中位線也就等于知道了三角形兩邊的中點(diǎn).

3.中點(diǎn)四邊形

(1)順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)而成的四邊形是平行四邊形；

(2)順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)而成的四邊形是菱形；

(3)順次連結(jié)對(duì)角線垂直的四邊形各邊中點(diǎn)而成的四邊形是矩形.

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

-A-典例精講

例i.

17.如圖，△NBC中，〃是BC的中點(diǎn)，AD平分NBAC,BDLAD于點(diǎn)、D,若

48=4,AC=6,則M）等于（）

C

B.3

例2.

18.如圖，點(diǎn)。、E是Rt448C兩直角邊/8、/C上的一點(diǎn)，連接BE,已知點(diǎn)產(chǎn)、G、H

分別是BE、8c的中點(diǎn).

BH

（1）若BD=CE,那么FG與GH有什么數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（2）連C。，取CD中點(diǎn)連接GM,若BD=8,CE=6,求GM的長(zhǎng).

G變式訓(xùn)練

19.如圖，平行四邊形/BCD的對(duì)角線4C,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別是線段NO,BO

的中點(diǎn).若/。+8。=24°加，的周長(zhǎng)是18。小，則EF的長(zhǎng)為（）

A.12

20.已知ZUBC,過點(diǎn)N作/PLAD,AGLCE,垂足分別為尸，G,連接尸G.

試卷第11頁(yè)，共12頁(yè)

Et

D

(1)如圖1：延長(zhǎng)/月、AG,與直線5。相交于M、N,若BD、C￡分別是△/BC的外角平分

線，試說明：FG=^AB+BC+AC)-

(2)如圖2,若BD、CE分別是△/2C的內(nèi)角平分線，則線段FG與三邊又有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想；

(3)如圖3,若AD為aABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線，直接寫出線段FG與

△/8C三邊的數(shù)量關(guān)系是

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

1.(1)見解析

(2)BE=8

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行可得乙i8C+ZBCD=180。，再根據(jù)角平分線

的性質(zhì)可得ZCBE+ZBCF=1(ZABC+ZBCD)=90°,進(jìn)而可得BE1CF；

(2)過點(diǎn)A作/尸〃尸C,交于點(diǎn)尸，交BE于點(diǎn)、H,得四邊形/PC尸是平行四邊形，構(gòu)

造證明=,AH=HP=、AP=3,再由勾股定理求出瓦/=4即可

22

解答.

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰三角

形的判定，添加輔助線，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???BE平分CF平分NBCD,

.-.ZCBE=-ZABC,ZBCF=-ZBCD.

22

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AB//CD,

.-.ZABC+ZBCD=1SO°,

ZCBE+ZBCF=1(ZABC+ZBCD)=90°,

.-.ZCGB=90°,

BEVCF.

(2)解：過點(diǎn)A作4P〃尸C,交BC于點(diǎn)尸，交BE于點(diǎn)、H,

???AD//BC,

???四邊形NPCF是平行四邊形,

4P=CF=6,

BE平分ZABC,

；.NABE=ZCBE.

在口/BCD中，AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE,

答案第1頁(yè)，共24頁(yè)

???/ABE=ZAEB,

AB=AE=5.

???AP//FC,由(1)知，BELCF,

???BE1AP,

BH=EH=-BE,NBAP=ZDAP=-ZBAD,

22

同理可得：4B=AE=5

.-.AH=HP=-AP=3

2

.?.在RtdABH中,BH2+AH2=AB2,

即BH?+32=52,

故9=4,

BE=2BH=8.

2.(1)證明見解析

⑵竽

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等.

(1)由DE=BF得BE=DF,證明“BE絲ACZ>F(SAS),推出NE=C尸，AE//CF,即

可證明四邊形AECF是平行四邊形；

(2)設(shè)點(diǎn)。至壯尸的距離為人根據(jù)鼠小=；4尸?力=3/。?￡)廠求解.

【詳解】(1)證明：..,點(diǎn)￡和點(diǎn)9是直線2。上的兩點(diǎn)且QE=8廣，

/.DE+DB=BF+BD,

/.BE=DF,

v四邊形是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

/ABE=/CDF,

在△45￡和4。。廠中，

AB=CD

</ABE=/CDF,

BE=DF

./BEmACDF(SAS),

答案第2頁(yè)，共24頁(yè)

AE=CF,ZAEB=ZCFD,

AE//CF,

四邊形AECF是平行四邊形.

（2）解：設(shè)點(diǎn)。到/尸的距離為兒

AD_LBD,AB=5,AD=BC=3,

:.ZADB=9Q0,

:.BD=y/AB2-AD2=后4=4，

?;DE+BF+BD=2BF+4=FE=8,

:.BF=2,

:.DF=BD+BF=4+2=6,

AF=y/AD2+DF2=A/32+62=3A/5，

?：S=~AF-h=-AD-DF,

:22

—x3A/5/Z=—x3x6,

22

7675

5

.??點(diǎn)。到/尸的距離是逃.

5

3.C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，分兩種情況：①當(dāng)四

邊形PC。。為平行四邊形時(shí)，②當(dāng)四邊形。尸。。為平行四邊形時(shí)，分別結(jié)合平行四邊形的

性質(zhì)，列出一元一次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：???4D=16cm,動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒1cm的速度向終

點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),

二運(yùn)動(dòng)時(shí)間為16+1=16（秒），

5C=21cm,P的速度為每秒3cm,尸到達(dá)C的時(shí)間為21+3=7（秒），

當(dāng)產(chǎn)在C點(diǎn)以及C點(diǎn)的左邊時(shí)，即04V7時(shí)，PC=21-3；,

當(dāng)P在C的右邊時(shí)，即7</416時(shí)，PC=3/-21,

以點(diǎn)尸、C、D、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①當(dāng)四邊形尸皿。為平行四邊形時(shí)，0<區(qū)7,PC=DQ,

?*.16—，=21—3t,

答案第3頁(yè)，共24頁(yè)

解得：rg

②當(dāng)四邊形。尸。0為平行四邊形時(shí)，7Vt〈16,CP=D。,

**?3t—21—16—t,

37

解得

4

537

綜合上述，當(dāng)/=］或半時(shí)，以點(diǎn)尸、C、D、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

24

故選：C.

4.(1)73，30°

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得加0=?,由

折疊知EC=EA/=VL由折疊的性質(zhì)可得/尸EC=/F￡M=75。，再由平行四邊形的性質(zhì)求

得NDFE=180°-NFEC=105。,據(jù)此即可求解.

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)先證九化〃NF,再證ME=NF即可證明四邊形現(xiàn)WF為平行四邊形.

【詳解】(1)解：?.?口/BCO,ZD=60°,

:"B=ZD=60°,

"MEVAB,

:"BEM=30°,

BE=2,

;.BM=gBE=\,EM=血2-f=5

由折疊知EC=EM=△,

由折疊知NFEC=NFEM=1(180°-N8W)=75°,

?:口ABCD,

AD//BC,

ZDFE=180°-ZFEC=105°,

由折疊知NNFE=4DFE=105°,

ZNFA=ZNFE+ZDFE-180°=2xl05°-180°=30°,

故答案為：6,30°；

(2)證明：由折疊知=產(chǎn)，ZEFD=ZEFN,ZN=ZD.

答案第4頁(yè)，共24頁(yè)

???AD//BC,

:.ZCEF+ZEFD=1SO0,

/MEF+/EFN=180。,

/.ME//NF,

ZBME=NN,

-uABCD,

???NB=ND,AD=BC,

Z.BME=NB,

:.BE=ME=CE,

:.ME=-BC,

2

點(diǎn)N在E4延長(zhǎng)線上，

/B=ZNAF=NN,

AF=NF=DF,

NF=-AD.

2

???AD=BC,

:.ME=NF,

.??四邊形EMNF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形折疊問題，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外

角的性質(zhì)，勾股定理.熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定和折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，垂線段最短的含義，如圖，連

接NM,PQ,求解四邊形MPN0是矩形時(shí)，MN=PQ=4,再進(jìn)一步分析即可.

【詳解】解：如圖，連接NM,PQ,

的中點(diǎn)分別是P,Q,N,Z)C=8,

PQ=-DC=4,PN//DM,QN//CM,

.,.四邊形MPNQ是平行四邊形.

答案第5頁(yè)，共24頁(yè)

當(dāng)四邊形"PNQ是矩形時(shí)，則肱V=尸。=4.

二點(diǎn)M到。C的距離不超過4,即4DW4,

故選：D

6.(1)證明見解析；

⑵/歹+3C的值為5.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形/BCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)得到48〃。。求得/。+/氏〃)=180。，得到/氏4。=/。=工*180。=90。，根據(jù)矩形

2

的判定定理得到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到求得N1=4B,Z2=ZG,推出

/G=/FCG,得到尸G=C方=5,由點(diǎn)E是45邊上的中點(diǎn)，得到然后證明

小AEGQ公BEC(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/G=5C,再由等量代換得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???/。=5。，AB=CD,

???四邊形力BCD是平行四邊形，

??.AB//CD,

ZD+ZBAD=1SO°,

vZBAD=ZD,

???/BAD=ZZ)=-xl80°=90°,

2

???四邊形力BCD為矩形；

(2)解：??,四邊形45CD是平行四邊形，

??.AD//BC,

Z1=ZBCF,Z2=ZG,

???Nl=2/2,

ZBCF=2Z2,

???/FCG=/2,

??.NG=ZFCG,

；.FG=CF=5,

,?,點(diǎn)E是AB邊上的中點(diǎn)，

AE=BE,

在△/EG與中，

答案第6頁(yè)，共24頁(yè)

N2=NG

<ZAEG=ZCEB

AE=BE

.?."EGaBEC（AAS）,

：.AG=BC,

：.FG=AG+AF=BC+AF=5,

故/尸+8C的值為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等

腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性

質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.

設(shè)尸C=2x,則/尸=/N=，NF=!廠C=無，進(jìn)而得出8尸=13-2x,進(jìn)而在RM/3尸中，

22一

AF2=BF2+AB2,根據(jù)勾股定理建立方程解方程，得出//=5,進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)以及

平行線的性質(zhì)得出NAFE=ZAEF則AE=AF=5,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形，

.-.Z5=9O°,AD//BC,AD=BC,

依題意，F(xiàn)N=FC,

設(shè)bC=2x,貝|/尸=力"=!液=［廠。=》，

22

.-.BF=BC-FC=13-2x,

在RM/B尸中，AF2=BF?+AB?,

即，=（13-2J+42,

解得：x=5,

AF=5,

,?,折疊，

ZAFE=ZCFE

AD//BC

；.NAEF=ZCFE,

???ZAFE=ZAEF

答案第7頁(yè)，共24頁(yè)

AE=AF=5,

.■.DE=AD-AE=l3-5=8

故選：C.

8.⑴f=4；

(2"=5,四邊形OEQ尸是矩形，理由見解析.

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

(1)由題意得/尸=rcm,CQ=2tcm,求出PD=(12—)cm,四邊形尸0CD是平行四邊形,

推出PZ)=QC,得到12-7=2/,求解即可；

S-PD，QFpn717r7

（2）先求出產(chǎn)------=焉=高，因此*=5，得出f=5,得到尸。=7,耍=10,

,△DCQ-CQ-DEiu$iu

進(jìn)一步求出0E=7,得到=即可得出答案.

【詳解】(1)解：由題意得：AP=tcm,CQ=2tcm,

.■.PD=AD-AP=(12-t)cm,

?.?四邊形NBC。是平行四邊形，

AD//BC

■：PQ//DC,

???四邊形PQCD是平行四邊形，

PD=QC,

12—，=2%,

???，=4；

(2)解：如圖，過0作0尸_L3于R

???AB//CD.DEVBC,

：.QF=DE,

答案第8頁(yè)，共24頁(yè)

c-PD-QFr

.、/\DPQ_2_DPDn_7

S^DCQ-CQDE1°

n-t7

??_______?一___一,

2t10

?，?％=5,

當(dāng)，=5時(shí)，=7,。。=10,

在RtZXOEC中，ZC=60°,

：,EC=-DC=3

2

,,QE=QC-EC=lQ-3=7

：,QE=PD

又???Q￡||尸。

???四邊形DEQP是平行四邊形.

又???/。￡。=90。，

???四邊形?；亍?。是矩形.

9.C

【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

證明△%￡>￡絲△5。尸是解題的關(guān)鍵.先證明△45。是等邊三角形，再根據(jù)/取證明

△ADEQ△BDF,得到=B尸=指，進(jìn)而可求解的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：???四邊形Z5C。是菱形，

:.AB=AD,AD//BC,

NA=60°,

是等邊三角形，ZABC=1800-ZA=120°f

AD=BD,ZABD=ZA=AADB=ZDBC=60°,

???NEDF=60°,

ZADE=ZBDF,

在△ZOE和ABDF中,

ZA=ZDBF

<AD=BD,

ZADE=ZBDF

答案第9頁(yè)，共24頁(yè)

:.^ADE&A5Z）F（ASA）,

AE=BF=遙,

■：BE=1,

：,BD=AB=AE+BE=46+1.

故選：C

10.(1)選小明，證明見解析

⑵8

【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：

(1)證明ACEB會(huì)得到8C=4B,即可得證；

(2)證明JOC公AEOA(AAS),得到OC=OA,推出心以=/￡+EC,根據(jù)菱形的性質(zhì)

和等腰直角三角形的性質(zhì)推出CE=8E,得到即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：選小明

???AF^BC,CEVAB,

ZAFB=ZCEB=90°,

'ZB=NB

在ACEB和△/^8中｛BE=BF,

NCEB=AAFB

:.KEBAAFB(ASA),

BC=AB,

??.平行四邊形/BCD為菱形.

選小聰：

???AFrBC,CELAB,

ZAFB=ZCEB=90°,

'ZB=ZB

在KEB和△"B中｛乙CEB=NAFB,

CE=AF

:必CEB%AFB(AAS),

BC=AB,

答案第10頁(yè)，共24頁(yè)

???平行四邊形力為菱形；

(2)解：ACEBAAFB,

/.BC=AB,BF=BE,

:.FC=EA,

ZCOF=NAOE

在AFOC和AEOA中</OFC=ZOEA=90°,

FC=EA

:AFOC義八EOA(AAS),

OC=OA,

:,CAAOE=4E+EO+OA

=AE+EO+OC

=AE+EC；

???/￡>=45。，四邊形45CD為菱形,

/./B=45。,

在RS￡3C中，48=45。，

：?EC—EB,

:?CAAOE=4E+EB=AB,

又?；AB=8,

???CAAOE=8.

一24

11.——18

57

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形和三角形的面積，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.先根據(jù)菱形的周長(zhǎng)求得菱形的邊長(zhǎng)為5,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC1BD,OD=OB,

OC=CM=4,然后由勾股定理求出05=3,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S.BS=；S菱揚(yáng)火。，由三

1Q7

角形與菱形的面積公式求出。￡的長(zhǎng)；由勾股定理求出8E=M，CE=g最后由

c-BEDE即

-------=蕓得出答案.

、△CDE-CEDE"

2

【詳解】解：???菱形45CZ）的周長(zhǎng)為20,

答案第11頁(yè)，共24頁(yè)

AB=BC=CD=204=5,AC_LBD,OD=OB,OC=OA=4,

；"AOB=90。,AC=2OA=S,

??OB=yjAB2-OA2=552—42=3，

??.BD=2OB=6,

???菱形/BCD中，對(duì)角線/C與8。交于點(diǎn)O,

A'"CD=/S菱形zscz），

:.-BCDE=-x-ACBD,

222

—x5xDE='x8x6,

24

24

DE=——；

5

?；DELBC交BC于息E,

ABED=ZCED=90°,

25

2418

故答案為：y;—■

12.(1)見解析

⑵9+3百

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可證

AEDB=ADBG=ZABD=ZGDB,可得BE〃DG,DE//GB,由菱形的判定可證結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作DHL5C,由菱形的性質(zhì)可得DE=DG=6,DG//EB,由直角三角形的性

質(zhì)可得CH=DH=3,HG=~JiDH=3小，進(jìn)而得到8C即可.

【詳解】(1)證明：在△/BC中，BD平分/ABC,

ZABD=NDBG,

???EG垂直平分8。，

:.DG=BG,DE=EB,

ZDBG=ZGDB,NABD=ZEDB,

答案第12頁(yè)，共24頁(yè)

AEDB=/DBG=ZABD=AGDB,

-.BE//DG,DE//GB,

.?.四邊形BGDE是平行四邊形，

又,；DE=EB,

四邊形BGDE是菱形；

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作DH1BC,

A

?.?四邊形8GDE是菱形，

DE=DG=6,DG//EB,

：.ZEDG=ZDGC=30°,

又?；DH工BC,

.-.DH=^DG=3,HG=6DH=36,

?；/C=45。，DHVBC,

.-.ZC=ZCDH=45°,

:.CH=DH=3,

BC=BG+CH+HG=6+3+343=9+343.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三

角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)

用菱形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

13.B

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題

的關(guān)鍵.

由正方形和全等三我的性質(zhì)求得砂=1,DE=BG=4,AE=BF=3,再由勾股定理求得

AD=y]DE2+AE2=5，DF=+EF2=V17，即可求解.

【詳解】解：,??正方形EFGH,

FG=EH=EF=\,NDEF=90°,

答案第13頁(yè)，共24頁(yè)

:.BF=BG-FG=4-1=3,

由題意，得RM48尸當(dāng)RMD/E之RM8CG,

AF=DE=BG=4,AE=BF=3,

■■AD=ylDE2+AE2="+32=5，

???DF=siDE2+EF2=V42+l2=V17，

■?■DF:AD=y/vj:5.

故選：B.

14.（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）EG=7

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；

（2）連接FC,根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，可得“B2CBF,

AF=CF,NBAF=NBCF,根據(jù)尸四邊形的內(nèi)角和，貝U

ZBAF+ZAFG+ZFGB+ZGBA=360°,推出NA4尸+/FGB=180。，根據(jù)平角的性質(zhì)，可

ZFGC+ZFGB=1^0°,等量代換，可得/BCF=/FGC,根據(jù)等邊對(duì)等角，可得

NFAG=NFGA,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，即可；

（3）延長(zhǎng)C2到a,使明=?！?根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，可得

△ADE會(huì)"BH,NHAB=ZEAD,由（2）ZEAG=45°,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系，可得

/EAG=NHAG,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，可得△AHG絲HG=EG,再根

據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可.

【詳解】（1）解：證明如下：

?.?四邊形N3CZ）是正方形，是對(duì)角線

AD=CD,AADB=NCDB=45°

廠是公共邊

.-.AAFD^CFD

AF=CF.

（2）解：證明如下：

連接尸C,

?.?四邊形ABCD是正方形，AD是對(duì)角線，

答案第14頁(yè)，共24頁(yè)

AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,

在△ZB/和Z\CAF中，

AB=BC

<AABD=ZCBD=45°

BF=FB

.??^ABF=^CBF,

；.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

-FG1AE,

.-.Z^FG=90°,

ZBAF+ZAFG+/FGB+ZGBA=360°,

ZBAF+90°+ZFGB+90°=360。，

ZBAF+ZFGB=ISO°

vZFGC+ZFG5=180°,

:?/FGC=/BAF,

ZBCF=ZFGC,

??.CF=GF,

,?.AF=CF=GF,

ZFAG=ZFGA,

VZAFG=90°,

ZFAG=ZFGA=45°,

即/￡/G=45。.

AD

(3)解：延長(zhǎng)C5到〃，使BH=DE,

???四邊形45CD是正方形，

:.AB=AD,ZADE=ZABH=90°,

/\ADE絲AABH,

答案第15頁(yè)，共24頁(yè)

???AHAB=ZEAD,

???/E4G=45。，

???/HAG=/BAG+/BAH=/BAG+/DAE=/BAD-ZEAG=45°,

??.ZEAG=ZHAG,

在和中，

AH=AE

</HAG=/EAG,

AG=AG

???/\AHG義AAEG,

:,HG=EG,

?；HG=BH+BG=DE+BG,BG=4,DE=3,

.?.〃G=4+3=7

：.HG=EG=7.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形，全等三角形，等腰三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形

的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)行解答，即可.

13

15.—

8

【分析】首先求出/E=8E=D尸=。尸=2,然后證明出四邊形/斯。，EGHF,EGNM,

MNHF是矩形,得到G8=〃C=1,然后設(shè)￡M=GN=x,則1不=NH=4-x,勾股定理

表示出/A/?,CN2,然后根據(jù)4A/=CN列方程求解即可.

【詳解】???正方形48co的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡和尸分別為邊48和CD的中點(diǎn)，

AE=BE=DF=CF=2

?:GH//BC交CD于H,且GB=1,MN工EF

四邊形NEFD,EGHF,EGNM,ACVHF是矩形，

GB=HC=\

：.ZAEM=ZCHN=90°,EF=AD=GH=BC=4

答案第16頁(yè)，共24頁(yè)

:.沒EM=GN=x,貝l|MF=NH=4-x

■-AM2=AE2+EM2=22+x2=4+x2,A^C2=/7C2+W2=I2+(4-x2)=x2-8x+17

AM=CN

???AM2=CN2

4+_8x+17

13

/.x=——.

8

13

???當(dāng)4〃=CN時(shí)，線段GN的長(zhǎng)度為三.

8

,13

故答案為：—.

O

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，一元一次方程的應(yīng)用等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

33

16.(1)見詳解；(2)90°；(3),或5

【分析】(1)可通過勾股定理確定直角邊長(zhǎng)度及利用網(wǎng)格構(gòu)造直角即可求解；

(2)過點(diǎn)。作加1BC,使DE=DE,連接4尸，所構(gòu)造等腰Rt△/兩，再證

RtAACE咨RtZ\FDB,得出N2+/3=45。問題即可求解；

(3)由〃是的三等分點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)/〃=1,/?=2時(shí)，由翻折和全等三角形的判

定和性質(zhì)可證得RMDCM絲RMGCN(HL),MD=MG,在中，由勾股定理可求

解：當(dāng)4/=2,1"=1時(shí)，同理可求解.

【詳解】解：(1)所畫三角形如圖所示：

?1廠11J?

IHL111I

ISIIII

(2)過點(diǎn)。作。尸1BC,使DF=DE,連接/凡尸8,

AC1

???會(huì)=(，D,E是BC邊的三等分點(diǎn)，

nC3

：.AC=CD=DE=EB,

：.AC=DF,CE=DB=2CD,

?/ZC=ZFDB,

答案第17頁(yè)，共24頁(yè)

:."CE知FDB（SAS）,

Z2=/DBF,

設(shè)4C=Q,貝!J4G=D尸=Q,GF=DB=2a,BC=3a

-ZAGF=ZFDB=90°,

AF=J/+（2〃）2_^,BF=J/+（2”/=4a，

AF—BF—y[Sci,

/FAB=/ABF

在中，AB=dAC、CB2=M+（3a）2=麗0,

22

AF+BF=（耳『+（氐J=10Q2=AB2,

/AFB=90°,

?.ZABF=N3+/DBF=/3+N2=45°,

在正方形/CQG中，/I=45。，

Zl+Z2+Z3=45°+45°=90°.

F

（3）,?,正方形ZBC。的邊長(zhǎng)為3,〃是45的三等分點(diǎn)，分兩種情況：

當(dāng)47/=1,7/5=2時(shí)，由翻折得7/G==2,GC=8C=3,Z.HGC-AB-90°,

?/BC=CD,

DC=GC=3

,;CM=CM,ZCGM=/D=90°,

RtADCM^RtAGCM（HL）,

:.MD=MG.

設(shè)MD-x9貝0AA4=3—x,MH=x+2,

在中，根據(jù)勾股定理4片+力”二^^,

答案第18頁(yè)，共24頁(yè)

即『+(3-X)2=(X+2)2,解得X=|.

當(dāng)力〃=2/"=1時(shí)，同理7/G=l,^MD=x,貝lj4A/=3-=x+l,

在中，由勾股定理，得22+(3-X)2=(X+1)2,

3

解得x=］，

綜上所述，地的長(zhǎng)為；3或;3.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，網(wǎng)格中作圖，圖形的翻折，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方

形的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造等腰直角三角形，分類討論是解題的關(guān)鍵.

17.D

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線

平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)5。交/C于證明

△ADBm4DH(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/〃=45=4,BD=DH,根據(jù)三角形

中位線定理計(jì)算即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)3。交4。于H

ZBAD=/HAD

AD=AD

ZADB=ZADH

s.^ADB^ADH(ASA)

??,AH=AB=4,BD=DH,

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