第1頁（共1頁）2025年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（4月份）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．2．（3分）成語“守株待兔”表示（）A．隨機事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．確定事件3．（3分）如圖是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）據(jù)統(tǒng)計，今年“五一”小長假期間，近70000人次游覽了自貢中華彩燈大世界．70000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．0.7×1045．（3分）下列運算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝a5 C．3a?a2＝a3 D．6．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OABO的路徑運動一周．設(shè)OP為s，運動時間為t，則下列圖形能大致地刻畫s與t之間關(guān)系的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E為BA延長線上一點，F(xiàn)為CE的中點，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，連接BG．若∠DCG＝50°，則∠GBF＝（）A．30° B．10° C．20° D．15°8．（3分）數(shù)學(xué)文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數(shù)學(xué)名詞”，字謎C、字謎D是猜“數(shù)學(xué)家人名”．若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片，則小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在⊙O中，點C是的中點，CD垂直平分半徑OA，，則該圓的半徑為（）A．4 B．2 C． D．10．（3分）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)時了解到可以用幾何畫板軟件方便地畫出函數(shù)圖象，進而根據(jù)圖象探索函數(shù)的性質(zhì)．于是他運用幾何畫板畫出了函數(shù)y＝x3﹣3x的圖象如圖所示，觀察發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱．若對于|a|≤2時，方程所有的整數(shù)解的平方和是（）A．8 B．0 C．10 D．14二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作元．12．（3分）在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，2）和點B（﹣1，m），則m的值為．13．（3分）分式方程的解是．14．（3分）如圖是某太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150cm，∠BAC＝30°，另一根輔助支架DE＝76cm，∠CED＝60°．則水箱半徑OD的長度為cm．（結(jié)果保留根號）15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，，AD＝4，CD＝2，則當BD的長最大時，sin∠CAD的值為．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列結(jié)論：①abc＞0：②若點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）勻在二次函數(shù)的圖象上，則y1＝y(tǒng)2；③當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是﹣3＜x＜2．其中正確結(jié)論的序號為．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）求滿足不等式組的整數(shù)解．18．（8分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD，AC相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD，DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，AF，CF，CE．（1）求證：四邊形AFCE為平行四邊形；（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四邊形AFCE的周長．19．（8分）2025年3月23日，武漢馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事旨在增強全市民眾科學(xué)健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和13公里跑三個項目賽后隨機抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：等級ABCD分數(shù)段90～10080～8970～7960～69頻數(shù)440280m40請根據(jù)表中提供的信息．解答下列問題：（1）此次調(diào)查的樣本容量是，m＝，n＝；（2）扇形統(tǒng)計圖中，B等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是度；（3）據(jù)悉，本次武漢馬拉松，半程馬拉松和13公里跑三個項目參賽人數(shù)兼30000，試估計其中評價武漢馬拉松A等級的人數(shù)．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交BD的延長線于點E，且CE＝BC．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為12，，求AB的長．21．（8分）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，A，B，C三點是格點，點P在AB上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（1）在圖1中，將線段AB沿BC方向平移，使點B與點C重合，畫出平移后的線段DC；再在DC上畫點E，使2CE＝AP；（2）在圖2中，在AC上畫點F，使△CBF∽△CAB；（3）在圖3中，在AB的延長線上畫點Q，使AQ＝AC．22．（10分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑（結(jié)果保留根號）；（3）如果將一個底面直徑為2dm，高度為3.6dm的圓柱形器皿豎直放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．23．（10分）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點D在BC邊上，若∠BAD＝∠C，則AB2＝BD?BC，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB＝5，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延長AD，BF相交于點G，若BE＝4，DG＝6，求FG的長．24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．（1）直接寫出該拋物線的解析式；（2）如圖1，在第三象限的拋物線上找點E，使∠OCE＝∠OAD，求點E的坐標；（3）如圖2，過拋物線對稱軸上點P的直線交拋物線于F，G兩點，線段FG的中點是M，過點M作y軸的平行線交拋物線于點N．若是一個定值，求點P的坐標．

2025年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（4月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DABBDCCCAC一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響．下列圖形“楊輝三角”“中國七巧板”“劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．2．（3分）成語“守株待兔”表示（）A．隨機事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．確定事件【解答】解：“守株待兔”可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機事件，故選：A．3．（3分）如圖是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上面可看，可得如圖形，故選：B．4．（3分）據(jù)統(tǒng)計，今年“五一”小長假期間，近70000人次游覽了自貢中華彩燈大世界．70000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.7×105 B．7×104 C．7×105 D．0.7×104【解答】解：70000用科學(xué)記數(shù)法表示為7×104，故選：B．5．（3分）下列運算正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（﹣a3）2＝a5 C．3a?a2＝a3 D．【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，則A不符合題意，（﹣a3）2＝a6，則B不符合題意，3a?a2＝3a3，則C不符合題意，（a）2＝2a2，則D符合題意，故選：D．6．（3分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OABO的路徑運動一周．設(shè)OP為s，運動時間為t，則下列圖形能大致地刻畫s與t之間關(guān)系的是（）A． B． C． D．【解答】解：本題考查函數(shù)圖象變化關(guān)系，可以看出從O到A逐漸變大，而弧AB中的半徑不變，從B到O中OP逐漸減少直至為0．故選：C．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E為BA延長線上一點，F(xiàn)為CE的中點，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，連接BG．若∠DCG＝50°，則∠GBF＝（）A．30° B．10° C．20° D．15°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ACB＝∠BCD＝90°，∵∠DCG＝50°，∴∠BCF＝∠BCD﹣∠DCG＝40°，在Rt△BCE中，點F是斜邊CE的中點，∵BF＝CF＝EFCE，∴∠CBF＝∠BCF＝40°，∵∠BFG是△BCF的外角，∴∠BFG＝∠CBF+∠BCF＝80°，又∵以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，∴BF＝BG，∴∠BGF＝∠BFG＝80°，在△BFG中，∠GBF＝180°﹣（∠BGF+∠BFG）＝20°．故選：C．8．（3分）數(shù)學(xué)文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數(shù)學(xué)名詞”，字謎C、字謎D是猜“數(shù)學(xué)家人名”．若小軍一次從中隨機抽取兩張字謎卡片，則小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結(jié)果，其中小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的結(jié)果有：（C，D），（D，C），共2種，∴小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率為．故選：C．9．（3分）如圖，在⊙O中，點C是的中點，CD垂直平分半徑OA，，則該圓的半徑為（）A．4 B．2 C． D．【解答】解：連接AC，BC，OB，OC，如圖所示：∴OA＝OC＝OB，設(shè)OD＝a，∵CD垂直平分半徑OA，∴AC＝OC，AD＝OA＝a，∴OA＝OC＝AC＝2a，∴△OAC是等邊三角形，∴∠OCA＝60°，∴∠OCD∠OCA＝30°，在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD，∵點C是弧AB的中點，∴AC＝BC，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等邊三角形，∵OB＝OC＝BC＝2a，∠OCB＝60°，∴∠BCD＝∠OCB+∠OCD＝60°+30°＝90°，∴△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，∵BD，∴（，整理得：a2＝4，解得：a＝2，a＝﹣2（不合題意，舍去），∴OA＝2a＝4，即該圓的半徑為4．故選：A．10．（3分）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)時了解到可以用幾何畫板軟件方便地畫出函數(shù)圖象，進而根據(jù)圖象探索函數(shù)的性質(zhì)．于是他運用幾何畫板畫出了函數(shù)y＝x3﹣3x的圖象如圖所示，觀察發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱．若對于|a|≤2時，方程所有的整數(shù)解的平方和是（）A．8 B．0 C．10 D．14【解答】解：由題意，∵，∴x3﹣3x＝a．又∵|a|≤2，∴|x3﹣3x|≤2．∴通過枚舉整數(shù)x，x＝±1，±2．∴其平方和為12+（﹣1）2+22+（﹣2）2＝10．故選：C．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作﹣5元．【解答】解：收入5元記作+5元，那么支出5元記作﹣5元，故答案為：﹣5．12．（3分）在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，2）和點B（﹣1，m），則m的值為﹣2．【解答】解：∵反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，2）和點B（﹣1，m），∴（﹣1）×m＝1×2，∴﹣m＝2，解得m＝﹣2，故答案為：﹣2．13．（3分）分式方程的解是x＝1．【解答】解：去分母得：x+3＝4x，解得：x＝1，經(jīng)檢驗x＝1是分式方程的解．故答案為：x＝1．14．（3分）如圖是某太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平面AE垂直，AB＝150cm，∠BAC＝30°，另一根輔助支架DE＝76cm，∠CED＝60°．則水箱半徑OD的長度為（150﹣76）cm．（結(jié)果保留根號）【解答】解：∵DE＝76厘米，∠CED＝60°，∴sin60°，∴CD＝38cm，設(shè)水箱半徑OD的長度為x厘米，則CO＝（38x）厘米，AO＝（150+x）厘米，∵∠BAC＝30°，∴COAO，即38x（150+x），解得：x＝150﹣76，故答案為（150﹣76）．15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，，AD＝4，CD＝2，則當BD的長最大時，sin∠CAD的值為．【解答】解：過點B作DE⊥AD，且DE在AD的上方，使DEAD，連接AE，BE，以點E為圓心，ED為半徑作圓⊙E，延長DE交⊙E于點F，過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G，如圖所示：∴，∠ADE＝90°，∵AD＝4，∴DEAD，∵∠ACB＝90°，，∴，∴，∠ACB＝∠ADE＝90°，∴△ACB∽△ADE，∴，∴，在Rt△ADE中，tan∠DAE，∴∠DAE＝30°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝120°，在Rt△ABC中，tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，設(shè)BC＝a，則AB＝2a，AC，∵∠CAB＝∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠EAB＝∠CAE+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，∴，∴△ABE∽△ACD，∴，∠AEB＝∠ADC，∴，∴BE，∴BE＝DE，∴點B在⊙E上，∴BD是⊙E弦，根據(jù)“直徑是圓內(nèi)最大的弦”得：當BD為⊙E的直徑時，BD為最大，即當點B于點F重合時，BD為最大，此時∠AEB＝∠AEF＝120°，∴∠AEB＝∠ADC＝120°，∴∠CDG＝180°﹣∠ADC＝60°，在Rt△CDFG中，CD＝2，∠DCG＝90°﹣∠CDG＝30°，∴DGCD＝1，由勾股定理得：CG，在Rt△ACG中，AG＝AD+DG＝5，由勾股定理得：AC，∴sin∠CAD．16．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如表：x﹣4﹣3﹣115y0595﹣27下列結(jié)論：①abc＞0：②若點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）勻在二次函數(shù)的圖象上，則y1＝y(tǒng)2；③當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y＜5；④滿足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范圍是﹣3＜x＜2．其中正確結(jié)論的序號為①②．【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：，∴．∴abc＞0，故①正確；由題意得，拋物線為y＝﹣x2﹣2x+8，∴對稱軸是直線x1．∵1，∴點（m，y1），（﹣m﹣2，y2）關(guān)于對稱軸是直線x＝﹣1對稱，∴y1＝y(tǒng)2，故②正確；由題意，∵y＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9，∴當x＝﹣1時，y取最大值為9．又∵當x＝﹣4時，y＝0；當x＝1時，y＝5，∴當﹣4＜x＜1時，y的取值范圍為0＜y≤9，故③錯誤；由ax2+（b+1）x+c＜2得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，畫函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2圖象如下：，又聯(lián)立方程組得，∴或．∴A（2，0），B（﹣3，5），由圖象可得，當x＜﹣3或x＞2時，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故④錯誤；綜上，正確的結(jié)論為①②．故答案為：①②．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）求滿足不等式組的整數(shù)解．【解答】解：由①得：x＞1，由②得：x≤3，∴不等式組的解集為1＜x≤3，則不等式組的整數(shù)解為2，3．18．（8分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD，AC相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD，DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，AF，CF，CE．（1）求證：四邊形AFCE為平行四邊形；（2）若AC平分∠EAF，∠AEC＝60°，OA＝4，求四邊形AFCE的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OD＝OB，∵DE＝BF，∴OD+DE＝OB+BF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四邊形AFCE為平行四邊形．（2）解：∵AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∵四邊形AFCE為平行四邊形，OA＝4，∴CE∥AF，OC＝OA＝4，∴∠ECA＝∠FAC，AC＝4+4＝8，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，∴四邊形AFCE是菱形，∵∠AEC＝60°，∴△EAC是等邊三角形，∴AE＝AC＝8，∴AF+CF+CE+AE＝4AE＝4×8＝32，∴四邊形AFCE周長是32．19．（8分）2025年3月23日，武漢馬拉松賽鳴槍開跑．本次賽事旨在增強全市民眾科學(xué)健身意識．推動全民健身活動，本屆賽事共設(shè)置馬拉松，半程馬拉松和13公里跑三個項目賽后隨機抽樣了部分參賽選手對本次賽事組織進行滿意度評分調(diào)查，整理后得到下列不完整的圖表：等級ABCD分數(shù)段90～10080～8970～7960～69頻數(shù)440280m40請根據(jù)表中提供的信息．解答下列問題：（1）此次調(diào)查的樣本容量是800，m＝40，n＝5；（2）扇形統(tǒng)計圖中，B等級所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是126度；（3）據(jù)悉，本次武漢馬拉松，半程馬拉松和13公里跑三個項目參賽人數(shù)兼30000，試估計其中評價武漢馬拉松A等級的人數(shù)．【解答】解：（1）此次調(diào)查的樣本容量是440÷55%＝800，m＝800﹣440﹣280﹣40＝40，，即n＝5，故答案為：800；40；5．（2），故答案為：126．（3）30000×55%＝16500（人），答：評價武漢馬拉松A等級的人數(shù)的有16500人．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AC邊上，以AD為直徑作⊙O交BD的延長線于點E，且CE＝BC．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為12，，求AB的長．【解答】（1）證明：連接AE、OE，則OE＝OA，∴∠OEA＝∠DAE，∵CE＝BC，∴∠CEB＝∠DBC，∵AD是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴∠OEA＝∠CEB，∴∠OEC＝∠CEB+∠OED＝∠OEA+∠OED＝∠AED＝90°，∵OE是⊙O的半徑，且CE⊥OE，∴CE是⊙O的切線．（2）解：∵⊙O的直徑AD＝12，∴OE＝ODAD＝6，∵tan∠DBC，∴CE＝BC＝2CD，∵OE2+CE2＝OC2，∴62+（2CD）2＝（6+CD）2，解得CD＝4或CD＝0（不符合題意，舍去），∴BC＝2CD＝8，AC＝AD+CD＝16，∴AB8，∴AB的長是8．21．（8分）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，A，B，C三點是格點，點P在AB上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．（1）在圖1中，將線段AB沿BC方向平移，使點B與點C重合，畫出平移后的線段DC；再在DC上畫點E，使2CE＝AP；（2）在圖2中，在AC上畫點F，使△CBF∽△CAB；（3）在圖3中，在AB的延長線上畫點Q，使AQ＝AC．【解答】解：（1）如圖1，線段DC即為所求．在AC上取點F，使AF＝2CF，連接PF并延長，交CD于點E，∵CD∥AB，∴∠APF＝∠CEF，∠PAF＝∠ECF，∴△APF∽△CEF，∴2，∴2CE＝AP，則點E即為所求．（2）如圖2，取格點D，使CD＝BC，且CD⊥BC，再取格點M，N，使DM：CN＝1：3，且DM∥CN，連接MN交CD于點E，連接BE交AC于點F，此時△DEM∽△CEN，∴，∴，∴tan∠CBE＝tan∠BAC，∴∠CBF＝∠BAC，∵∠BCF＝∠ACB，∴△CBF∽△CAB，則點F即為所求．（3）如圖3，在線段AC上取點D，使AD＝AB＝5，再過點C作BD的平行線，交AB的延長線于點Q，則點Q即為所求．22．（10分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖①所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如果炒菜時鍋的水位高度是1dm，求此時水面的直徑（結(jié)果保留根號）；（3）如果將一個底面直徑為2dm，高度為3.6dm的圓柱形器皿豎直放入炒菜鍋內(nèi)蒸食物，鍋蓋能否正常蓋上？請說明理由．【解答】解：（1）拋物線過點A（﹣3，0）、B（3，0），設(shè)C1、C2的解析式為：y＝a1（x﹣3）（x+3），y＝a2（x﹣3）（x+3）；拋物線C1還經(jīng)過D（0，﹣3），則有：﹣3＝a1（0﹣3）（0+3），∴，∴；拋物線C2還經(jīng)過C（0，1），則有：1＝a2（0﹣3）（0+3），∴，∴；（2）當炒菜鍋里的水位高度為1dm時，y＝﹣2，即，∴，∴此時水面的直徑為；（3）鍋蓋不能正常蓋上，當x＝1時，拋物線，，而，∴鍋蓋不能正常蓋上．23．（10分）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點D在BC邊上，若∠BAD＝∠C，則AB2＝BD?BC，請證明；（2）【靈活運用】如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，且∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB＝5，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延長AD，BF相交于點G，若BE＝4，DG＝6，求FG的長．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴AB2＝BD?BC；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BC，∴AD；（3）解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G，∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴，∵DG＝6，∴EG＝DE+6，∴，解得：DE＝2，負值舍去，∴EG＝2+6＝8，∴AE＝AD﹣DE＝3，∵AE2+