試題PAGE1試題試題PAGE2試題高一年級(jí)第二學(xué)期綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)長：120分鐘;滿分150分一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每題5分，共計(jì)40分每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的模為()A．1 B． C． D．22．已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．在中，，則中最小的邊長為（

）A． B．C． D．4．在中，，且，是的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的值為（

）A．0 B． C． D．5．如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（

）A． B．C． D．6．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．7．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長分別為a、b、c，已知，且，則（）A．4 B．3 C．2 D．18．如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3個(gè)小題，每題6分，共計(jì)18分）9．已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則C．D．若，則點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為10．如圖，在圓柱中，軸截面ABCD為正方形，點(diǎn)F是的上一點(diǎn)，M為BD與軸的交點(diǎn)．E為MB的中點(diǎn)，N為A在DF上的射影，且平面AMN，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．平面AMNB．平面DBFC．平面AMND．F是的中點(diǎn)11．中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即（S為三角形的面積，a，b?c為三角形的三邊）.現(xiàn)有△ABC滿足，且△ABC的面積，則下列結(jié)論正確的是（

）A．△ABC的最短邊長為4 B．△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足C．△ABC的外接圓半徑為 D．△ABC的中線CD的長為三、填空題（每題5分，共計(jì)15分）12．如圖：矩形的長為，寬為，是的中點(diǎn)，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則四邊形的周長為.

13．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則邊上的中線長是．14．如圖所示，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（棱臺(tái)的體積），（幾何體的體積）的兩部分，那么.四、解答題15．設(shè)復(fù)數(shù)，其中.(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi)，求的取值范圍.16．已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.17．如圖，在正方體中，，點(diǎn)E在棱上，且.(1)求三棱錐的體積；(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，求與平面所成角的正弦值.19．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.參考答案1．B【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算得，進(jìn)而可得模長.【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，，所以．故選：B．2．B【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.【詳解】記向量與向量的夾角為，在上的投影為.在上的投影為，，，.故選：B.3．B【分析】易得，再根據(jù)正弦定理計(jì)算最小角的對(duì)邊即可.【詳解】由題意，，故中最小的邊長為.由正弦定理，故.故選：B4．C【分析】建系求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，，，所以，所以.故選：C..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而得解.5．D【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，底層圓臺(tái)的上下底面圓半徑分別為，且,則青銅器的體積為，故選：D6．A【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A.7．A【分析】根據(jù)正弦定理及余弦定理可求解.【詳解】，即為3ccosA＝acosC，即有3ca，即有a2﹣c2b2，又a2﹣c2＝2b，則2bb2，解得b＝4．故選：A．8．A【分析】先計(jì)算水的體積，再計(jì)算放入球后水和球的總體積，可得鐵球的體積，利用體積公式可得答案.【詳解】正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A9．ACD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A；由復(fù)數(shù)的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)B；由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；由復(fù)數(shù)的模的幾何意義判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，,對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，可以比較大小，不能比較大小，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z的集合所構(gòu)成的圖形是以為圓心，半徑為1和的兩圓之間的圓環(huán)，面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD10．BCD【分析】利用線面關(guān)系即可判斷A；利用線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，即可判斷BC；利用圖形，結(jié)合垂直關(guān)系和平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)平面，所以平面，則直線與平面不平行，故A錯(cuò)誤；B.因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，且平面，所以平面，且平面，且平面平面，因?yàn)椋云矫?，故B正確；C.由平面，平面，所以，因?yàn)檩S截面ABCD為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，且平面，所以平面，故C正確；D.平面，平面，所以，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，所以，且是的中點(diǎn)，所以，且,所以，則，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線線，線面，面面的位置關(guān)系，本題的關(guān)鍵是能從幾何體中抽象出線線，線面的位置關(guān)系，以及根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系.11．AB【分析】結(jié)合題意利用正余弦定理處理運(yùn)算，常用向量處理△ABC的中線：．【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，解得，則，，，A正確；因?yàn)?，所以，，故B正確；因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，C錯(cuò)誤；，所以，故，D錯(cuò)誤.故選：AB.12．20【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原出原圖并求出相關(guān)線段的長度，進(jìn)而求周長.【詳解】由斜二測(cè)畫法知：與軸平行或重合的線段其長度不變、與橫軸平行的性質(zhì)不變；與軸平行或重合的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且與軸平行的性質(zhì)不變.還原出原圖形如圖所示的平行四邊形，

其中cm，cm，cm，所以原圖形的周長為cm.故答案為：2013．【分析】利用正弦定理邊化角可求得，根據(jù)向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，，即，，；是邊的中點(diǎn)，，，，即邊上的中線長是.故答案為：.14．【分析】設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則，然后利用棱臺(tái)的體積公式求出，從而可得，進(jìn)而可得答案【詳解】解：設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，所以，.所以.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義可得到解方程即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi)可以得到，解不等式即可.【詳解】（1）是純虛數(shù)，只需，解得.（2）由題意知，解得，故當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限內(nèi).16．(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算出向量，，再根據(jù)向量平行列出方程求解即可.（2）先根據(jù)與的夾角為銳角得出，且夾角不為，再分別求出和夾角不為時(shí)的取值范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)樗裕?又因?yàn)?，所以，解?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且夾角不為.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)與的夾角為時(shí)，，解得，故與的夾角不為時(shí)，；綜上可得：的取值范圍是.17．(1)3(2)存在，【分析】（1）過作，垂足為，可得中為高，求出高和底面，進(jìn)而可得體積；（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，取的三等分點(diǎn)，得到平面平面，取的三等分點(diǎn)（靠近），再通過線面平行的性質(zhì)得到，進(jìn)而可得點(diǎn)的位置.【詳解】（1）過作，垂足為，因?yàn)?，所以平面即平面明顯平面，所以平面，又，，所以.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)F，使得平面，取的三等分點(diǎn)，使，則四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，取的三等分點(diǎn)（靠近），則，所以平面平面，又平面，平面，所以，又為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以存在點(diǎn)滿足題意，且.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，取的中點(diǎn)，證得，結(jié)合，得到，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）不妨設(shè)，由是的中點(diǎn)，證得，再由，證得平面，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，得到為與平面所成的角，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，再由為的中位線，可得，所以，所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，連接，因?yàn)?，則，所以，所以為等腰三角形，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平?（2）解：不妨設(shè)，則，因?yàn)?，可得，所以為等腰直角三角形，?又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)椋?，平面，所以平面，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，連接，所以為與