高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，．若，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，，,∴是方程的解，即,∴,∴，故選C.2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以的虛部是.故選：A.3.如圖，為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（）A. B. C.8 D.12【答案】B【解析】由可得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，如圖：過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，設(shè)，則，解得，將代入可得，所以的面積為.故選：B.4.已知，則下列選項中正確是（）A. B.關(guān)于中心對稱C.關(guān)于直線對稱 D.的值域為【答案】C【解析】對于A，因為，所以，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，可得，，所以，所以可得是函數(shù)的對稱軸，故C正確；對于D，因為,，所以,，故D不正確．故選：C．5.已知事件發(fā)生的概率為0.4，事件發(fā)生的概率為0.5，若在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為0.6，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為（）A.0.85 B.0.8 C.0.75 D.0.7【答案】C【解析】因為,,所以,所以.故選：C.6.已知均為銳角，且.則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】為銳角，，，．，又是銳角，．故選：D．7.在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（）A.48 B.49 C.50 D.51【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，因為，所以，，.因為，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選:B.8.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，即有兩個實根，即，整理為，設(shè)函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，所以只需使有兩個根，設(shè)，，易知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，要想有兩個根，只需，解得，即的取值范圍是．故選：C．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱D.【答案】ABD【解析】對于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故A正確.對于B，令，其中，而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.對于C，，故的圖象過原點，若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，則的圖象也過原點，但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點對稱，故C錯誤.對于D，，故D正確，故選：ABD.10.已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（）A.存在點，使BC.的最小值為D.周長的最大值為8【答案】BCD【解析】對于A,設(shè)橢圓的上頂點為，則直角三角形中，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，，且，即，又,則，又，故，則B正確；對于C，，，，則當(dāng)時，取最小值為，故C正確；對于D，設(shè)橢圓的右焦點為,的周長為：,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，故D正確，故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前n項和為，下列結(jié)論正確的（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.當(dāng)時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列【答案】ABD【解析】對A：，且，故數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；對B：，，，由，得，故B正確；對C：因為，所以，，故C錯誤．對D：當(dāng)時，是單調(diào)遞減數(shù)列，也是單調(diào)遞減數(shù)列，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.佛山被譽為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則__________.【答案】1【解析】由題意得，該正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，故，則，由題意得，故.13.四棱錐各頂點都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，設(shè)分別是的中點，則平面截球所得截面的面積為_________.【答案】【解析】如下圖所示，易知四棱錐外接球與以為棱長的長方體的外接球相同；由題意可知球心為中點，故球O的直徑，解得,由分別是的中點可得，可得平面；所以球心到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，在三棱錐中，易知平面，且，所以，而，由等體積法得，所以，故截面面積為．14.如圖所示，過雙曲線的一個焦點作平行于漸近線的兩直線，兩直線與雙曲線分別交于兩點，若，雙曲線的離心率為表示不超過的最大整數(shù)，則的值為______.【答案】3【解析】設(shè)，則，因此.又，從而，不妨設(shè)，則，令，則.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以，于是.所以的值為3.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1），，.（2），.16.已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是腰長為的等腰三角形，點為的重心.（1）求證：；（2）經(jīng)過點及直線作截四棱錐的截面，設(shè)截面平面，請畫出直線，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；（3）求二面角的余弦值.解：（1）連接，交于點，連接，四邊形為正方形，，且為中點，又，，平面，平面，且，平面，平面，而平面，；（2）在平面內(nèi)，過點作的平行線，即為所求的直線，且平面．證明如下：，，，平面，平面，平面；（3）由（1）知平面，平面，，過點作，為垂足，連接，，，平面,平面，平面，，為二面角的平面角，由題意可知四棱錐為正四棱錐，平面，故平面，平面，故,，，，，，，，二面角的余弦值為．17.現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．（1）當(dāng)時，求2號盒子里有2個紅球的概率；（2）當(dāng)時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)的分布列；（3）記n號盒子中紅球的個數(shù)為，求的期望．解：（1）由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為；（2）由題可知可取，，,.所以3號盒子里的紅球的個數(shù)ξ的分布列為123P（3）記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則，為第號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則，則第號盒子有一個紅球和三個白球的概率為，且，化解得，得，而則數(shù)列為等比數(shù)列,首項為，公比為，所以，又由求得：因此．18.已知橢圓，左?右焦點分別為，短軸的其中一個端點為，長軸端點為，且是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若雙曲線以為焦點，以為頂點，點為橢圓與雙曲線的一個交點，求的面積；（3）如圖，直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點.當(dāng)點運動時，求點Px,y的軌跡方程.解：（1）是面積為的等邊三角形，，橢圓的方程為，離心率.（2）由題意得雙曲線中的，則，所以雙曲線方程為，聯(lián)立橢圓方程解得:，即，.（3）由題易知，則聯(lián)立，得，，即，設(shè)為，則，直線，令，解得，則，令，則，則，.則點Px,y的軌跡方程為.19.已知函數(shù).（1）若（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求函數(shù)的極值；（2）若,函數(shù)有兩個零點,且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），定義域為，，令，則在上單調(diào)遞增，由時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；，無極大值.（2），令，可得，原題意等價于有兩個正根，令，則，等價于有兩個正根，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，對于，由，可得，可得，可得，令，由，可得，由整理可得，，原題意等價于當(dāng)時，恒成立，等價于當(dāng)時，恒成立，令，則，，則，解得，當(dāng)時，令，則當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，.可知符合題意，綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.湖南名校聯(lián)考聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，．若，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，，,∴是方程的解，即,∴,∴，故選C.2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以的虛部是.故選：A.3.如圖，為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（）A. B. C.8 D.12【答案】B【解析】由可得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，如圖：過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義可知，設(shè)，則，解得，將代入可得，所以的面積為.故選：B.4.已知，則下列選項中正確是（）A. B.關(guān)于中心對稱C.關(guān)于直線對稱 D.的值域為【答案】C【解析】對于A，因為，所以，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，可得，，所以，所以可得是函數(shù)的對稱軸，故C正確；對于D，因為,，所以,，故D不正確．故選：C．5.已知事件發(fā)生的概率為0.4，事件發(fā)生的概率為0.5，若在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為0.6，則在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為（）A.0.85 B.0.8 C.0.75 D.0.7【答案】C【解析】因為,,所以,所以.故選：C.6.已知均為銳角，且.則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】為銳角，，，．，又是銳角，．故選：D．7.在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（）A.48 B.49 C.50 D.51【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，因為，所以，，.因為，所以，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.故選:B.8.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，即有兩個實根，即，整理為，設(shè)函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，所以只需使有兩個根，設(shè)，，易知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，要想有兩個根，只需，解得，即的取值范圍是．故選：C．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱D.【答案】ABD【解析】對于A，均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故A正確.對于B，令，其中，而，故為上的奇函數(shù)，故B正確.對于C，，故的圖象過原點，若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，則的圖象也過原點，但，矛盾，故函數(shù)與的圖象不關(guān)于原點對稱，故C錯誤.對于D，，故D正確，故選：ABD.10.已知橢圓的左?右頂點分別為，左焦點為為上異于的一點，過點且垂直于軸的直線與的另一個交點為，交軸于點，則（）A.存在點，使BC.的最小值為D.周長的最大值為8【答案】BCD【解析】對于A,設(shè)橢圓的上頂點為，則直角三角形中，，則，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，，且，即，又,則，又，故，則B正確；對于C，，，，則當(dāng)時，取最小值為，故C正確；對于D，設(shè)橢圓的右焦點為,的周長為：,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，故D正確，故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前n項和為，下列結(jié)論正確的（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.當(dāng)時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列【答案】ABD【解析】對A：，且，故數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；對B：，，，由，得，故B正確；對C：因為，所以，，故C錯誤．對D：當(dāng)時，是單調(diào)遞減數(shù)列，也是單調(diào)遞減數(shù)列，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.佛山被譽為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則__________.【答案】1【解析】由題意得，該正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，故，則，由題意得，故.13.四棱錐各頂點都在球心為的球面上，且平面，底面為矩形，，設(shè)分別是的中點，則平面截球所得截面的面積為_________.【答案】【解析】如下圖所示，易知四棱錐外接球與以為棱長的長方體的外接球相同；由題意可知球心為中點，故球O的直徑，解得,由分別是的中點可得，可得平面；所以球心到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)球心到平面的距離為，截面圓的半徑為，在三棱錐中，易知平面，且，所以，而，由等體積法得，所以，故截面面積為．14.如圖所示，過雙曲線的一個焦點作平行于漸近線的兩直線，兩直線與雙曲線分別交于兩點，若，雙曲線的離心率為表示不超過的最大整數(shù)，則的值為______.【答案】3【解析】設(shè)，則，因此.又，從而，不妨設(shè)，則，令，則.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以，于是.所以的值為3.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式及前項和；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1），，.（2），.16.已知四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是腰長為的等腰三角形，點為的重心.（1）求證：；（2）經(jīng)過點及直線作截四棱錐的截面，設(shè)截面平面，請畫出直線，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明；（3）求二面角的余弦值.解：（1）連接，交于點，連接，四邊形為正方形，，且為中點，又，，平面，平面，且，平面，平面，而平面，；（2）在平面內(nèi)，過點作的平行線，即為所求的直線，且平面．證明如下：，，，平面，平面，平面；（3）由（1）知平面，平面，，過點作，為垂足，連接，，，平面,平面，平面，，為二面角的平面角，由題意可知四棱錐為正四棱錐，平面，故平面，平面，故,，，，，，，，二面角的余弦值為．17.現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．（1）當(dāng)時，求2號盒子里有2個紅球的概率；（2）當(dāng)時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)的分布列；（3）記n號盒子中紅球的個數(shù)為，求的期望．解：（1）由題可知2號盒子里有