專題07數(shù)列求和（錯位相減法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：乘型 1題型二：除型 5三、專題07數(shù)列求和（錯位相減法）專項訓(xùn)練 10一、必備秘籍錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項數(shù)及沒有參與相減的項的保留.二、典型題型題型一：乘型1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，再求得其首項的值，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和．【詳解】（1），．，，，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．，，．（2）由（1）知，，，①，②①②得，．2．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）已等差數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式及；(2)若，令，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件，建立與的方程組，求得，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用錯位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，得到①，由，得到②，由①②得到，所以數(shù)列的通項公式為，.（2）由（1）知，所以，所以③，③得④，由③④得到，整理得到.3．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)通項與前項和之間的關(guān)系，作差可得，即可利用等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)錯位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【詳解】（1）時，，即.又，也符合，所以時，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知為數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義求通項公式.（2）利用錯位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，則，是首項?公比都為的等比數(shù)列，故.（2）由題設(shè)，，，則，所以，所以.5．（23-24高三下·河南漯河·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，設(shè)．(1)求的通項公式，并證明：；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；證明見解析(2)【分析】（1）求等差數(shù)列的基本量可得的通項公式，根據(jù)數(shù)列的迭代可得；（2）構(gòu)造法求出數(shù)列為等比數(shù)列且，用錯位相減法可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，即，解得，又因為，可得，所以，由數(shù)列滿足，可得，，，所以，因為，所以.（2）解：由（1）可知，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得，所以.題型二：除型1．（23-24高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）將遞推關(guān)系式變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷證明；（2）由（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求得答案；（3）結(jié)合（2）利用錯位相減法求和.【詳解】（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，當(dāng)時，，又滿足上式，所以，.（3）由（2），，則，相減，得，所以，.2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知遞推關(guān)系利用累乘法求出即可；（2）利用錯位相減法求出數(shù)列的和即可.【詳解】（1）因為，且，所以，即的通項公式為.（2）記數(shù)列的前項和為.因為，所以，所以，兩式相減得，故.3．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）先用錯位相減法求出，得證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，所以，解得，所以，解得，，.（2）由（1）得，令，，①則，②①②式得，，化簡整理得，，，得證.4．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，．單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列．(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差和的公比分別為d，q，利用已知條件求解，得到和；（2）利用錯位相減求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差和的公比分別為d，q．因為，所以．又，所以．所以．因為，且，，，所以，即，解得或．又數(shù)列單調(diào)遞增，所以，故．（2）因為，所以，所以，上面兩式相減得，即，所以．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)的前項和為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與之間的關(guān)系將消去可得，再構(gòu)造證明即可；（2）由（1）可得，進而可得，再根據(jù)分組與錯位相減求解即可.【詳解】（1）第一步：將已知等式遞推、相減得到之間的關(guān)系式當(dāng)時，由，得，解得，由遞推得，兩式相減得，化簡得．（方法：若給出的數(shù)列關(guān)系式中既含又含，則往往利用與之間的關(guān)系將或消去，再求解）第二步：利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列從而，又，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．（2）第一步：根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求由（1）知，所以，第二步：求所以．（點撥：由兩項組成，第一項是常數(shù)，直接求和即可，第二項是等差等比的形式，故考慮利用錯位相減法求和）第三步：利用分組求和法、錯位相減法求所以．令，所以，兩式相減，得，則，所以．【點睛】根據(jù)與的關(guān)系求的常用思路：一是利用將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求；二是將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求．三、專題07數(shù)列求和（錯位相減法）專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求出通項公式；（2）錯位相減法求和得到答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時，②，兩式①②得：，當(dāng)時，，符合上式，所以；（2）令，所以，故，，兩式相減得，，故2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由退一步相減得出數(shù)列的通項公式；（2）由錯位相減得出的前n項和.【詳解】（1）由題知：①，當(dāng)時，②，得：，即，所以，，，從而數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，，即③，④，得：.所以.3．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，解方程組即可；（2）由（1），得到，再利用錯位相減法即可求出.【詳解】（1）有題知，解得.所以.（2）因為，，所以，.①，②，①②得：，.4．（23-24高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用作差相減法求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減求和法求得.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，兩式相減可得，，解得，易知也符合上式，綜上所述，．（2）依題意：，，，兩式相減可得，，所以，故．5．（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）給出以下三個條件：①；②成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，_______．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，令，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式計算即可；（2）先求，再利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）若選①，，，．若選②成等比數(shù)列，，又，，解得或1，又，．若選③，，又，，解得，．（2），，，，兩式相減得，6．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式推得為常數(shù)列，可得所求通項公式；（2）由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡可得所求和．【詳解】（1），，；（2）由（1）得，①，②，得，．7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）得到為常數(shù)列，結(jié)合得到，求出通項公式；（2），設(shè)的前項和為，錯位相減法求和得到.【詳解】（1），故為常數(shù)列，其中，故，故，即；（2），設(shè)的前項和為，則①，②，兩式①-②得，，故.8．（23-24高二上·安徽·期末）已知數(shù)列的前項和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系易得，需要檢驗首項是否符合；（2）利用錯位相減法求和即得.【詳解】（1）根據(jù)題意：，當(dāng)時，，兩式相減即得：，因時，，滿足上式，故；（2），則，，兩式相減可得：，故．9．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┮阎獢?shù)列滿足：，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合等差數(shù)列定義即可證結(jié)論；（2）由題設(shè)，應(yīng)用裂項相消法求和；（3）由題設(shè)，應(yīng)用錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求和.【詳解】（1）由題設(shè)，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為3的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，故，所以，則.（3）由（2）得，則，所以，兩式作差得，即，所以.10．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)求出；（2）錯位相減法求和得到，結(jié)合，得到.【詳解】（1）由題知，當(dāng)時，，則．又．①當(dāng)時，，②①-②得，所以．當(dāng)時，也適合．綜上，數(shù)列的通項公式為．（2）因為．所以，①，②①-②得，整理得，因為．所以11．（2024·天津河?xùn)|·一模）設(shè)是等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)數(shù)列的前項和分別為；（?。┳C明；（ⅱ）求．【答案】(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等