基于FFT的圖像降噪算法研究行降噪也尤為重要。由于圖像中像素的不連續(xù)性，需要使用離散傅里葉變換(DFT)來代替常規(guī)的傅里葉變換(FT)。為了降低運(yùn)算復(fù)雜度，提高處理效率，便引出了快速傅里葉變換(FFT)。本課題首先闡述了FFT在圖像處理中的意義與作用，然后在MATLAB軟件以及c語言程序中分別實(shí)現(xiàn)1維和2維FFT并將結(jié)果進(jìn)行對比，最后再用stm32微控制器實(shí)現(xiàn)圖像的FFT進(jìn)行顯示。最終結(jié)果表明圖像的FFT在MATLAB、C語言程序仿真以及STM32實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵詞：數(shù)字圖像；像素；快速傅里葉變換(FFT);圖像顯示 1 21.1一維離散傅里葉變換(DFT) 2 2 2 3 3 2研究內(nèi)容 2.1一維和二維FFT 62.3STM32實(shí)現(xiàn)圖像FFT 63核心程序設(shè)計(jì) 6Ⅱ3.1VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT 63.2MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的二維FFT 73.3STM32微控制器實(shí)現(xiàn)圖像FFT 94課題研究結(jié)果 4.1一維FFT的實(shí)現(xiàn) 4.1.1MATLAB實(shí)現(xiàn)一維FFT 4.1.2VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT 4.2二維FFT的實(shí)現(xiàn) 4.2.1MATLAB實(shí)現(xiàn)二維FFT 4.2.2VC++實(shí)現(xiàn)二維FFT 4.3對圖像進(jìn)行二維FFT處理 4.3.1MATLAB對圖像進(jìn)行FFT處理 4.3.2VC++對圖像進(jìn)行FFT處理 5課題總結(jié) 致謝 附錄：源程序 MATLAB實(shí)現(xiàn)一維FFT MATLAB實(shí)現(xiàn)二維FFT MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像二維FFT………………錯(cuò)誤!未定義書簽。VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT…………錯(cuò)誤!未定義書簽。VC++實(shí)現(xiàn)二維FFT…………錯(cuò)誤!未定義書簽。VC++實(shí)現(xiàn)圖像二維FFT……錯(cuò)誤!未定義書簽。LCD實(shí)現(xiàn)FFT………………錯(cuò)誤!未定義書簽。像信息的第二種語言，其在圖片的編碼，壓縮，分割與重建中被廣泛應(yīng)用(駱詩雅，周德清，2023)[2,因此對于廣泛研究FT以及其擴(kuò)展形式的特性是非常有價(jià)值的。在計(jì)算機(jī)中的所有信號都是離散的是度，DFT的快速算法快速傅里葉變換(FFT)在1965年被庫利(Cooley)和圖基(Tukey)發(fā)現(xiàn)(潘志偉，陳曉梅，2021)I3,隨著之后的發(fā)展，目前最常用的FFT算法是基2,基4和分裂基算法。數(shù)字圖像處理最早也出現(xiàn)在1964年美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室使用計(jì)算機(jī)對月球照片進(jìn)行處理使原本模糊的圖片變得清晰(程志強(qiáng)，鄒宇航，2021)[4],從這些例子中可以看出圖1為月球照片(處理前),圖2為月球照片(處理后),通過對比邵曉燕，2023)[5,對于數(shù)字圖像處理最常用的方法便是FFT。由于FFT一般為復(fù)數(shù)其結(jié)果比較復(fù)雜，為了結(jié)果的準(zhǔn)確性，本課題采用了MATLAB和C語言程序兩個(gè)語言對圖像進(jìn)行FFT運(yùn)算并對比結(jié)果(馮志豪，錢思琪，2018)。21.1一維離散傅里葉變換(DFT)傅里葉變換，數(shù)據(jù)是N個(gè)的一維DFT的定義為(熊梓淇，周子昂，2021):X(k)=DFT[x(n)]=∑n=1x(n)式中x(n)和X(k)為一對序列長度有限長的離散傅里葉變換對6,公式(1)是變換(IDFT),若我們已知其中的一個(gè)序列則通過運(yùn)算我們即可得到另一個(gè)序列且值得注意的是在使用DFT時(shí)，所有的有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的，也可以說DFT包含著周期性(徐浩淼，林澤楷，2021)。X(k)的值，就需要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法以及N-1次復(fù)數(shù)加法，而其一共有N個(gè)點(diǎn)，所以完成整個(gè)DFT運(yùn)算共需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法I?1,這樣看來由此可見，1次復(fù)數(shù)乘法需要用4次實(shí)數(shù)乘法和2次實(shí)數(shù)加法，且一次復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算需要兩次實(shí)數(shù)加法運(yùn)算這樣算下來整個(gè)DFT運(yùn)算一共需要4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)加法運(yùn)算[10,在這等情況下所以直接運(yùn)算DFT當(dāng)N值很大的時(shí)候運(yùn)算量是非常大的，因此很有必要尋求一種DFT的快速運(yùn)算方法(余目前FFT算法主要是按時(shí)間抽取的和按頻率抽取的基2FFT算法，它們都要2的整數(shù)次方，那么我們可以通過補(bǔ)0的方式湊成下一個(gè)2的乘方次數(shù)據(jù)，添加直接計(jì)算DFT大大減少了。而這兩種算法的區(qū)別是(葉永新，陶玉芬，4序，而不同的是按頻率抽取的算法是對輸出序列進(jìn)行奇偶分組，它的輸出是所需要的序列的亂序[14]。這種以用戶為中心的設(shè)計(jì)理念使其在市場競爭中更具優(yōu)勢。從上文的分析中可以看出，它支撐了前文的理論分析，尤其對核心概念的理解在理論上進(jìn)行了細(xì)致探討，并通過具體方法進(jìn)一步驗(yàn)證了這些理論觀點(diǎn)的實(shí)踐可行性和適用性。但亂序與自然順序之間有著很簡單的規(guī)律，即亂序序號是自然順序序號的二進(jìn)制碼的碼位倒置，表1為8位數(shù)的碼位倒置表(宮文博，靳曉萱，2023)。表1碼位倒置輸入排列二進(jìn)制表示倒置后的排列0014223641556377這在某種程度上顯現(xiàn)出圖3為頻率抽取的基2FFT算法的示意圖，圖4為時(shí)間抽取FFT蝶形運(yùn)算的示意圖。圖3時(shí)間抽取的基2FFT算法在此類形勢中在N=8時(shí)理論上旋轉(zhuǎn)因子Wnk的最大值為W??而圖3中的最二維FFT的基礎(chǔ)是一維FFT,在圖例如，一個(gè)圖像的像素值為32*32,則提取出來的數(shù)據(jù)就是二維數(shù)組，計(jì)算時(shí)只要橫向進(jìn)行32次數(shù)據(jù)量為32的一維FFT,然后，縱向也進(jìn)行32次一維FFT既能實(shí)現(xiàn)二維FFT15。研究成果為解決實(shí)際問題提供了實(shí)二維FFT也可用浮點(diǎn)數(shù)來計(jì)算，如果想要用FFT來處理復(fù)數(shù)，就得把數(shù)據(jù)存儲區(qū)分成實(shí)部和虛部兩個(gè)區(qū)，在這樣的布局下如果對一定次數(shù)的縱向的一維FFT進(jìn)行轉(zhuǎn)置的操作，這樣就可以把該次數(shù)的縱向的一維FFT變成相應(yīng)次數(shù)的橫向FFT。若這樣做，在程序設(shè)計(jì)時(shí)就可以不用編寫縱向一維FFT的程序了，只要以對角線為中心進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，縱向FFT即可被橫向FFT取代(盛澤楷，胡俊杰，2021)。本研究在方法論上同樣進(jìn)行了革新，作者巧妙地綜合了多種既有2.1一維和二維FFT首先通過VC++和MATLAB軟件編寫程序進(jìn)行一維FFT的仿真，再自定義一個(gè)維數(shù)組也同樣分別用C語言和MATLAB進(jìn)行仿真并對比仿真結(jié)果(許文韜，劉思琪，2023)。本文通過與其他研究途徑及實(shí)證數(shù)據(jù)的比對，來評估模型的精62.2圖像處理通過PS軟件自定義一幅灰度圖用MATLAB程序?qū)С銎湎袼刂岛筮M(jìn)行二維FFT運(yùn)算導(dǎo)出結(jié)果，再編寫C語言程序?qū)⑾袼刂颠M(jìn)行二維FFT,將兩者結(jié)果進(jìn)行對比(崔皓天，周嘉誠，2021)。2.3STM32實(shí)現(xiàn)圖像FFT本課題使用到STM32F103ZET6精英板，使用STLINK與電腦進(jìn)行連接再通過Keil軟件將灰度圖顯示出來再將圖片的像素存入FLASH并編寫程序再STM32中實(shí)現(xiàn)圖像的FFT并顯示出來。圖5為顯示模塊的總體結(jié)構(gòu)(李靖雯，張志宇，2021)。本文還通過與其他研究方法和實(shí)證數(shù)據(jù)的對比，來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和3.1VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT編寫程序時(shí)主要步驟為多級蝶形運(yùn)算和碼位倒置。圖6為VC++軟件界面，圖7為VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT的設(shè)計(jì)流程圖(楊志遠(yuǎn)，張婷婷，2022)。它還強(qiáng)化了系統(tǒng)的兼容性和可擴(kuò)展性，使其能更靈活地適應(yīng)未來的發(fā)展和應(yīng)用需求的演變。本課題在設(shè)計(jì)一維FFT的C程序時(shí)，運(yùn)用的FFT算法時(shí)基2算法，首先需要定義圓周率PI的值，在這般的環(huán)境下由于結(jié)果為復(fù)數(shù)形式，所以需要先定義復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)體，定義實(shí)部為real,虛部為image,這些反映出一些特征再定義所需double型變量并編寫fft函數(shù)實(shí)現(xiàn)碼位倒置和蝶形運(yùn)算，再自己定義一個(gè)8位的葉天佑，2023)。B圖6VC++軟件界面定義復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)體自定義數(shù)組虛部>=0?圖7VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT的設(shè)計(jì)流程8方法，我們得以更深入地理解所研究現(xiàn)象的本質(zhì)及其內(nèi)在機(jī)理。在干擾因素與誤差來源的評估中，本文進(jìn)行了詳盡而系統(tǒng)的探討。肉+CUensdell,Dsktop+MatlabFT酬本課題選擇了128*64的灰度圖，通過imread函數(shù)讀取其灰度值，為了方便導(dǎo)出，使用了im2double函數(shù)將數(shù)據(jù)類型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在這樣的環(huán)境中再調(diào)用fft2函數(shù)進(jìn)行二維FFT運(yùn)算，但此時(shí)圖像顯示出來時(shí)很不明顯的，需要使用fftshift函數(shù)進(jìn)行頻譜增強(qiáng)(甘博遠(yuǎn)，胡睿德，2018)。本課題使用STM32微控制分別實(shí)現(xiàn)了原灰度圖與FFT后的圖像顯示，原灰度圖的顯示需要使用到MATLAB軟件導(dǎo)出的像素值，在這種狀態(tài)下編寫Keil軟在實(shí)現(xiàn)FFT后的圖片顯示時(shí)會發(fā)現(xiàn)圖片經(jīng)過MATLAB軟件FFT后，像素值得到的結(jié)果也全部小于8,如圖10所示。所以在實(shí)現(xiàn)過程中編寫了將數(shù)據(jù)放大為0到255之間的數(shù)據(jù)圖11所示為放大函數(shù)，圖12為處理后的數(shù)據(jù)。這在一定角度上表達(dá)了最后將經(jīng)過處理的數(shù)據(jù)導(dǎo)入LCD顯示工程進(jìn)行顯示。此舉不僅縮減了資源消耗，還加快了處理速度，放大函數(shù)的目的是將0-8之間的數(shù)據(jù)通過等比例放大到0-256之間，這樣就在STM32實(shí)現(xiàn)FFT過程中，需要將圖片存入FLASH由于圖片為128*64的灰度圖，所以大小為24kb左右，故本課題選用32kbFLASH,再將原圖像FFT的VC++程序改寫并通過Keil5軟件寫入STM32中，顯示輸出結(jié)果(駱文博，賀一鳴，2020)。本文這種一致性反映了本文在研究設(shè)計(jì)初期所設(shè)定的目標(biāo)和假設(shè)具有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過對相關(guān)理論文獻(xiàn)的深入探討和對已有研究成果的綜合分stm0354545443454454045455044545545566566505554505546545456546660565650566566255665565067657055666566555666505576606566565555555560666666063665555565545660366664404455665645455670656665655454566565666056566606556566654655066660446676655665565044675055545565556466506656606566676656656650666605636656636666650563670565566646646450665556656665546665656505566667567554464664666605565750546566636656636056667046656656676656056666056646556565655605665705554665566766440665476566565圖10未處理的數(shù)據(jù)圖11放大函數(shù)命令行窗口1至22列85779011380961058395946891921011027774100170857499108999810277104104771025085101988510196999282854.1一維FFT的實(shí)現(xiàn)4.1.1MATLAB實(shí)現(xiàn)一維FFT本課題在MATLAB仿真中通過直接調(diào)用FFT函數(shù)將自定義的8位一維數(shù)組進(jìn)行FFT運(yùn)算。圖13為MATLAB仿真一維FFT結(jié)果圖(孟世豪，梁愛琴，2020)。命令行窗口4.0000+0.000011.0000-2.4142i0.0000+0.4.1.2VC++實(shí)現(xiàn)一維FFT在VC++中設(shè)計(jì)程序用基2算法來實(shí)現(xiàn)8位數(shù)的一維FFT,圖14為VC++實(shí)分輸出的。這一研究成果為相關(guān)領(lǐng)域的實(shí)踐提供了有益的借鑒。VC++中程序設(shè)計(jì)正確(黃欣怡，李俊杰，2022)。請按任意鍵繼續(xù)...圖14VC++一維FFT用了更加靈活的數(shù)據(jù)收集策略，并在數(shù)據(jù)分析中深入探索了變量間的復(fù)雜交互，旨在使研究既具有理論深度，又能指導(dǎo)實(shí)踐應(yīng)用。圖15為MATLAB二維FFT的仿真結(jié)構(gòu)圖(丁睿德，任博遠(yuǎn)，2018):命令行窗口1至6列-0.9140-0.581410.4400-0.52001-0.2400+0.000010.270.1931+0.000010.0566+0.13661-0.0566+0.056610.0966+0.040010.0000+0.0B001-0.0400+0.016610.0566+0.0566i-0.0234+0.056610.0283+0.06831-0.0400+0.0400i-0.0000+0.0000i-0.02-0.0000+0.08001-0.0566+0.02341-0-0.0400+0.09661-0.0800+0.00001-00.0000+0.00001-0.040-0.1366+0.13661-0.1366-0.0566i-0.0000-0.080014.2.2VC++實(shí)現(xiàn)二維FFT設(shè)計(jì)循環(huán)程序?qū)?shù)組存入程序中并進(jìn)行二維FFT運(yùn)算，圖16為二維FFT的運(yùn)算結(jié)果。將圖15和圖16進(jìn)行對比，本于前述之研究其結(jié)果一致。盡管本研究每行傅里葉變換結(jié)果為：耗時(shí)0.000000s,NUM=8x815.00+0.003]8.95+-1.29][2.00+-3.00j][0.95+2.71][-3.00+21.00+0.00][9.66+-3.00j][3.00+-4.00][1.66+27.00+0.0010.36+-4.71j][4.00+-5.00][2.36+3.29][-3.00+0.00j][2.36+-3.29][4.00+33.00+,0.005]11.07+-6.415][5.00+-6.00j][3.07+3.59][-3.00+0.00j][3.07+-3.59j][5.00+6.45.00+0.00j][-12.49+-9.83j][7.00+-8.00j][4.49+4.17j][-3.00+0.00j][288.00+.0.001]-91.40+-58.145][44.00+-52.00][27.40+29.86j][-24.00+0.00j][27.40+-29.86j][44.00+52.0.00j][5.66+13.66j][-5.66+5.66j[0.00+0.00j][-0.00+-24.00+24.00j][9.66+4.00j][-0.00+8.00j][-4.00+1[-24.00+9.94j][5.66+5.66j][-2.34+24.00+0.00j]2.83+6.83][-4.00+4.00j][-2.83+-1.17j][0.00+0.005][-2.83+24.00+-9.945][-0.00+8.00j][-5.66+2.34][-2.34+-2.34j][0.00+0.00j][-3.31+0.0-24.00+-24.00j][-4.00+9.66j][-8.00+0.00j][-1.66+-4.00j][0.00+0.00j][-4.00+圖16VC++仿真二維FFT4.3對圖像進(jìn)行二維FFT處理4.3.1MATLAB對圖像進(jìn)行FFT處理自定義一幅128*64的灰度圖再通過rgb2gray函數(shù)導(dǎo)出圖片的灰度值，通過FFT2函數(shù)對像素值進(jìn)行FFT運(yùn)算，根據(jù)這些數(shù)據(jù)看出最后將圖片顯示出來，但是為了更好的顯示圖片，需要通過對數(shù)變換來增強(qiáng)頻譜，也就是調(diào)用fftshift函數(shù)(彭宇軒，鄧詩琪，2022)。圖17為原灰度圖，圖18為FFT處理后的圖像。本研究在行為策略上有所創(chuàng)新，巧妙地糅合了前人關(guān)于此主題的研究成果，使得研究深度得以有效拓展。圖19為MATLAB進(jìn)行FFT運(yùn)算后存入FFT_GRA的值。圖17灰度圖1.7798e+06,6212.2-31723i-9718.3-70438i,89281+90237,21142-21537,6739.7-19039i-41583-58496i,-44085-22867,-439075.3-8733.6i-2840.3-2497.7i-218.05+2024.5,1342.6+5267,8874.9+2883.7,8538.1+2431.6,6277.2-1375.7,4003.8-3256i,1240+51348472-60460i,17963+1598.1i,11604-34541i,-38419+3513.1i,43757-8440.9i,11569+11716i,35175+39485i,1145.4+838.18i,17797-10587i,2+198.74i,2105.9+3540i,1709+460.28i,1550.1+2220.3i,-74.634+774.06i,-3874.5+2335.7i,-4939.3+543.77i,-1827.9+2077.1i,-3666+140049-43459i-36226+35373i,13528-8399i-2864-21234,15300+57890i,-6630.3-3420.8i-14770-3577.4i,88198-19923i-3439.2-4077.7i,-6789.-2190.9i,3457+1530.4i,811.11-684.1,1562.8-1524.6i,-1899.2-871.3i-252.03-384.26i,-1184.7+1226.21,1623.4+793.14,2243.5+1967,3-28458-31828i,13552+4376i,15733+4968.4i,-5944.7+704.24i,-1846.8+17642i,23038-7893.1i,-11943+115.3i,3022.3+9130.9i,-7298.4-7973.52+2841.5i,-17.102-1771.6i,-1584.4+524.41i,1581.2-1451.7i,370.67-355.26i,-2207.2+1027.5i,-1795.9+1474.1,459.23+224.45i,-19775-7675.6i,13006-17803,4096.9-746.23,13027+14475i-6540.3-9.6834,4.7895+12139i,-5627.4-6891.5i,-2067.6-5688.9i,10255+1-1497.2+0.59072i,1022.3-834.74i,987.11-358.76i-347.1+2039.8,588.27-715.57,-949.31-707.11i,794.05+1095.2i,19.011-1024.2i-2607183-15108i,-10395-299.65i,10090+1989.4i,2224.6+4924.9i,-15616+4168.8i,7722.4+5715.2i,4086.1-2506.9i-4181.8+3234.8i,-4.22152.47i,371.86+606.12i,-561.29-725.6i,610.11-0.83973i,1229.4+617.23i,721.45-728.4i,-2712.3+245.03i,653.09-145.64i,-1803.7-1312.4434.4-18498i,-2927.4+14168i,3499.5-8640.1,-1734.7+2051.1,968.07+12561,78.36+4989.5i,-6052.2-2935.7,1755.3-3996.9i,2983-36215.4+96.0021,435.47-897.77,693.53+304.57,720.37+593.36i,-830.62-6.2136i,132.36-1282.9i-760.27-734.29;-54.882+1813.4.3.2VC++對圖像進(jìn)行FFT處理將MATLAB中導(dǎo)出的圖像像素值存入文件garydata.txt中，再將像素值導(dǎo)入C語言程序中，并編寫程序進(jìn)行二維FFT運(yùn)算，將結(jié)果存入相應(yīng)文件中，為了對比方便，再將VC++運(yùn)算后的結(jié)果導(dǎo)入MATLAB中進(jìn)行圖像顯示，圖20為VC++仿真后的結(jié)果MY_RESULT,從研究設(shè)計(jì)一開始，就充分參考經(jīng)典理論模型的構(gòu)建邏輯，確保研究框架搭建得合理且牢固。圖21為運(yùn)算后的結(jié)果顯示成的圖像。對比FFT_GRA與MY_RESULT中的值，再對比圖19與圖21,可以得出MATLAB和VC++對圖像進(jìn)行二維FFT的結(jié)果一致(李宇軒，趙詩語，2024)my_result.txt-記事本×1779808.00000+0.0000j-6212.219677+-31723.019700j-9718.262839+-70437.715562],89280.991166+90236.696753j-3137.358378+-9899.556846j-2634.315344+-11934.915531j,-4359.104230+279.798265j,1444.56612+1793.306697j,5176.949|69+-3255.961518j,1240.00000+513.624817j,539.650343+5238.880340436703j.-43906.850311+28028.937405j.-44085.254484+22866.854255j-41583.081702+58495.826202,6739.684119+19038.911918j,334.119434j-1489.269909+-782.04453,-503.072518+1650.147633,-1759.653283+2234.590430j-32.647166+3881.399051j-|54+-25355.333655j,17557.570096+-39644.543318j-6006.096241+13966.952528j,14147.244296+11163.325390),-36269.215064.4STM32實(shí)現(xiàn)FFT建立LCD顯示工程，再將garydata.txt中的像素值寫入工程中，圖22為原灰度圖顯示結(jié)果。基于當(dāng)前背景由于圖像進(jìn)行FFT運(yùn)算后的像素值會出現(xiàn)很多位的小數(shù)，所以在MATLAB中通過自定義函數(shù)將小