高級中學名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知扇形弧長為，圓心角為，則該扇形面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設扇形的半徑為，則，解得，所以扇形的面積為．故選：C.2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A項，由可得，，所以，函數(shù)的定義域為關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故A錯誤；對于B項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，不滿足題目要求，故B錯誤；對于C項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故C錯誤；對于D項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】只要把的圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.4.已知，，且，則（）A.－3 B.3 C. D.【答案】B【解析】由已知，可得，即，整理可得.所以.故選：B.5.的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】要使函數(shù)有意義，則應有.由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解可得，，所以，函數(shù)的定義域為.故選：A.6.如圖，在中，，，，則（）A. B. C.5 D.15【答案】C【解析】由得，，所以，即，所以，又，所以，所以.故選：C．7.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，且，則下列說法錯誤的是（）A.是第四象限角 B.C. D.【答案】B【解析】因為，又因為，易得，解得，所以點的坐標為，所以是第四象限角，且，所以.故選：B.8.已知為的外接圓圓心，若，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，故為的中點，而為外心，故為直角三角形，且，取的中點為，連接，則，因為，故，故，而為銳角，故，故，所以，而向量在向量上的投影向量為.故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對任意向量，，，下列關系式中正確的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】對于A，，，所以不一定成立，故A錯誤；對于B，當時，，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，，其中為的夾角，因為，可得，所以恒成立，故C正確；對于D，根據(jù)向量減法可得：，當且僅當同向或中有零向量時等號成立，故D正確.故選：CD．10.對于函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線D.函數(shù)在上有4個零點【答案】BCD【解析】對于A選項，易知函數(shù)定義域為，因為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；對于B選項，當時，，則，此時，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的一條對稱軸為直線，故C正確；對于D選項，由，解得，當時，，可得，解得，所以，函數(shù)在上有4個零點，故D正確.故選：BCD．11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的一個交點，，分別為圖象的最高點與最低點，若，則下列說法中正確的有（）A. B.的面積為C. D.是的圖象的一個對稱中心【答案】AB【解析】對于A項，由圖象可知，函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，故A正確；對于B項，不妨設，，，且，易知.則，，所以，.又，所以有，整理可得.因為，所以，.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，有，，，的面積為，故B正確；對于C項，由B可知，，所以，，故C錯誤；對于D項，由前分析可知，，又函數(shù)圖象過點，所以有，所以有，解得，即.又，所以，.由可得，.令可得，，所以不是的圖象的一個對稱中心，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】【解析】由已知可知.則.代入可得，.13.已知，．若，，則的值是______．【答案】【解析】因為，所以，.又，所以.所以，.因為，，所以，，所以，.因為，，所以.又，，所以.14.已知向量，滿足，，則的最大值為______，最小值為______．【答案】【解析】易知，所以有.所以，，當且僅當同向時，等號成立，此時取最大值3，取最大值為；所以，，當且僅當反向時，等號成立，此時取最小值1，取最小值為.四、解答題.本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.平行四邊形中，，，，求：（1）的值；（2）．解：（1）易知，.（2）由已知可得，所以.在中，有，，，由余弦定理及其推論可得.16.已知，對任意都有．（1）求的值；（2）若當時，方程有唯一實根，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知可得，是函數(shù)的一個對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可知，.又，所以，.（2）當時，，方程有唯一實根，可轉(zhuǎn)化為與的圖象有唯一交點.令，，作出函數(shù)的圖象如下圖：有圖象可知，當或，即或時，函數(shù)與的圖象有唯一交點，即方程有唯一實根.17.已知向量，，且與的夾角為．（1）求；（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）向量，可得，且，因為與的角為，可得，解得，所以，則，所以．（2）由向量，可得，由，解得，當向量與共線時，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．18.某游樂場內(nèi)有一直徑為的摩天輪，已知軸心到地面的高度為．開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置時進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．（1）一游客坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求轉(zhuǎn)動一周過程中，關于的函數(shù)解析式；（2）當時，求此游客距離地面的高度；（3）在摩天輪轉(zhuǎn)動一周過程中，此游客距離地面高度不少于的時間有多長？解：（1）設，由題意知：，，故，，，可取，，故解析式為，．（2），所以當時，求此游客距離地面的高度為．（3）由題得，，即，解得，所以此游客距離地面高度不少于的時間有．19.設平面內(nèi)兩個非零向量，的夾角為，定義一種運算“”：．試求解下列問題：（1）已知向量，滿足，，，求的值；（2）在平面直角坐標系中，已知點，，，求的值；（3）已知向量，，，求的最小值．解：（1）由已知可得，.又，，則.又，所以，所以.（2）由已知可得，，，所以有，，，則.又，所以，所以.（3）由已知可得，所以，，則，.又，所以.因為，所以.令，則，當且僅當，，即時等號成立，所以的最小值為，所以的最小值為.遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期4月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知扇形弧長為，圓心角為，則該扇形面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設扇形的半徑為，則，解得，所以扇形的面積為．故選：C.2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A項，由可得，，所以，函數(shù)的定義域為關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故A錯誤；對于B項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，不滿足題目要求，故B錯誤；對于C項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為偶函數(shù).故C錯誤；對于D項，易知函數(shù)的定義域為R關于原點對稱.又，所以，函數(shù)為奇函數(shù).又，所以.正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】只要把的圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.4.已知，，且，則（）A.－3 B.3 C. D.【答案】B【解析】由已知，可得，即，整理可得.所以.故選：B.5.的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】要使函數(shù)有意義，則應有.由正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解可得，，所以，函數(shù)的定義域為.故選：A.6.如圖，在中，，，，則（）A. B. C.5 D.15【答案】C【解析】由得，，所以，即，所以，又，所以，所以.故選：C．7.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，且，則下列說法錯誤的是（）A.是第四象限角 B.C. D.【答案】B【解析】因為，又因為，易得，解得，所以點的坐標為，所以是第四象限角，且，所以.故選：B.8.已知為的外接圓圓心，若，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，故為的中點，而為外心，故為直角三角形，且，取的中點為，連接，則，因為，故，故，而為銳角，故，故，所以，而向量在向量上的投影向量為.故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對任意向量，，，下列關系式中正確的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】對于A，，，所以不一定成立，故A錯誤；對于B，當時，，但與不一定相等，故B錯誤；對于C，，其中為的夾角，因為，可得，所以恒成立，故C正確；對于D，根據(jù)向量減法可得：，當且僅當同向或中有零向量時等號成立，故D正確.故選：CD．10.對于函數(shù)，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線D.函數(shù)在上有4個零點【答案】BCD【解析】對于A選項，易知函數(shù)定義域為，因為，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；對于B選項，當時，，則，此時，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的一條對稱軸為直線，故C正確；對于D選項，由，解得，當時，，可得，解得，所以，函數(shù)在上有4個零點，故D正確.故選：BCD．11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的一個交點，，分別為圖象的最高點與最低點，若，則下列說法中正確的有（）A. B.的面積為C. D.是的圖象的一個對稱中心【答案】AB【解析】對于A項，由圖象可知，函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，故A正確；對于B項，不妨設，，，且，易知.則，，所以，.又，所以有，整理可得.因為，所以，.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，有，，，的面積為，故B正確；對于C項，由B可知，，所以，，故C錯誤；對于D項，由前分析可知，，又函數(shù)圖象過點，所以有，所以有，解得，即.又，所以，.由可得，.令可得，，所以不是的圖象的一個對稱中心，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】【解析】由已知可知.則.代入可得，.13.已知，．若，，則的值是______．【答案】【解析】因為，所以，.又，所以.所以，.因為，，所以，，所以，.因為，，所以.又，，所以.14.已知向量，滿足，，則的最大值為______，最小值為______．【答案】【解析】易知，所以有.所以，，當且僅當同向時，等號成立，此時取最大值3，取最大值為；所以，，當且僅當反向時，等號成立，此時取最小值1，取最小值為.四、解答題.本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.平行四邊形中，，，，求：（1）的值；（2）．解：（1）易知，.（2）由已知可得，所以.在中，有，，，由余弦定理及其推論可得.16.已知，對任意都有．（1）求的值；（2）若當時，方程有唯一實根，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知可得，是函數(shù)的一個對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可知，.又，所以，.（2）當時，，方程有唯一實根，可轉(zhuǎn)化為與的圖象有唯一交點.令，，作出函數(shù)的圖象如下圖：有圖象可知，當或，即或時，函數(shù)與的圖象有唯一交點，即方程有唯一實根.17.已知向量，，且與的夾角為．（1）求；（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）向量，可得，且，因為與的角為，可得，解得，所以，則，所以．（2）由向量，可得，由，解得，當向量與共線時，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．18.某游樂場內(nèi)有一直徑為的摩天輪，已知軸心到地面的高度為．開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置時進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．（1）一游客坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求轉(zhuǎn)動一周過程中，關于的函數(shù)解析式；（2）當時，求此游客距離地面的高度；（3）在摩天輪轉(zhuǎn)動一周過程中，此游客距離地面高度不少于的時間有多長