專題32正方形與45度角模型一、單選題1．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，6)，點(diǎn)E、F分別在邊BC、BA上，OE=3．若∠EOF=45°，則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是(

)

A．2 B． C． D．－1【答案】A【詳解】如圖，連接EF，延長(zhǎng)BA，使得AM=CE，∵OA=OC，∠OCE=∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．

∴OE=OM，∠COE=∠MOA，∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠AOF=45°，∴∠MOA+∠AOF=45°，∴∠EOF=∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，設(shè)AF=，∵CE=，∴EF=，EB=3，，∴()2=32+()2，∴，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，故選：A2．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長(zhǎng)EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①AG+EC=GE；②；③的周長(zhǎng)是一個(gè)定值；④連結(jié)FC，的面積等于．在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：由正方形與折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，∴，故①正確；由對(duì)折可得：，故②正確；設(shè)則所以：的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，故③正確，如圖，連接由對(duì)折可得：故④正確．綜上：①②③④都正確．故選3．如圖，在正方形中，的頂點(diǎn)，分別在，邊上，高與正方形的邊長(zhǎng)相等，連接分別交，于點(diǎn)，，下列說法：①；②連接，，則為直角三角形；③；④若，，則的長(zhǎng)為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】解：如圖中，四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，同理可證，，，，，故①正確；如圖②，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，連接，，由旋轉(zhuǎn)知：，，四邊形是正方形，，，，，，又，，，四邊形是正方形，．由旋轉(zhuǎn)知：，，，，．又，，，，同理可證：，即為直角三角形，故②正確；，，又，由①可知：，，，又，，故③正確；如圖中，旋轉(zhuǎn)到，，，，同理②中可證：，，設(shè)，，，四邊形是正方形，，，在中，根據(jù)勾股定理得，或舍，，，正方形的邊長(zhǎng)為；由正方形的邊長(zhǎng)為，，由①可知，，，由②得，設(shè)，，，，，解得，，故④正確故選：A．4．如圖，在正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則以下結(jié)論：①，②，③，④，正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，故①正確，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由勾股定理得：解得：（舍去）故②錯(cuò)誤，故③正確，故④正確．綜上：①③④正確，故選C．5．已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC與CD上的點(diǎn)，且，AE與AF分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、N．則下列結(jié)論：①；②；③；④正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】解：①如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠EA=∠BA+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°∠EAF=45°，∴∠EA=∠EAF=45°，在△AEF和△AE中，∴△AEF≌△AE（SAS），∴E=EF，∴∠AEB=∠AEF，∴BE+B=BE+DF=EF，故①正確；②∵，∴△∴又∵∠∴△故②正確③把△AND按順時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，∴，∵∠ABD=45°∴∠∴是直角三角形，同理可證：△，∴∴故③正確；④連接AC，∵∠∴∠∵∠∴△∴∴．故④錯(cuò)誤，所以，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：B．6．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG，CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④【答案】D【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，∵CD=3DE，∴DE=2，∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB，∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴①正確；∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．設(shè)BG=x，則CG=BCBG=6x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6x，CE=4，EG=x+2，∴（6x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．∴BG=GF=CG=3．∴②正確；∵BG=GF=CG=3，CD=3DE，AB=AD=DC=6，DE=EF=2，∴GE=GF+EF=5，AF=AB=6，∴S△AGE=，∴③錯(cuò)誤；∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，∴△DAE≌△FAE．∴∠DAE=∠FAE．∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG=∠FAG．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．∴④正確．故選D．二、填空題7．如圖，在正方形中，、分別是邊、上的點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為6，則正方形的邊長(zhǎng)為.【答案】3.【詳解】解：將△DAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF′位置，由題意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周長(zhǎng)為6，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=6，∴2BC=6，∴BC=3．故答案為：3．8．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠EAF＝45°，下列結(jié)論：①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；③正方形ABCD的周長(zhǎng)＝2△CEF的周長(zhǎng)；④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正確的是．（只填寫序號(hào)）【答案】②③【詳解】解：①當(dāng)E、F不是BC和CD的中點(diǎn)時(shí)，BE≠DF，則△ABE≌△ADF不成立，故①錯(cuò)誤；②延長(zhǎng)CD至G，使得DG＝BE，連接AG，如圖1，∵四邊形ABCD為正方形∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AEF＝∠G，∴∠AEB＝∠AEF，故②正確；③∵△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，∴△CEF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，∵正方形ABCD的周長(zhǎng)＝4BC，∴正方形ABCD的周長(zhǎng)＝2△CEF的周長(zhǎng)，故③正確；④∵△ABE≌△ADG，∴S△ABE＝S△ADG，∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，∴，即S△AGF＞S△CEF，∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③．9．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則的長(zhǎng)為．【答案】2【詳解】解：∵將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，∵，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，∴∠GAE=∠FAE，又AE=AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE=EF，設(shè)BE=x，則CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，∵DF=3，∴CF=3，在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，解得：x=2，即BE=2．故答案為：2．10．正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，則∠EAF的度數(shù)是．【答案】45°【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得BG=DF，連接AG，在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF(SAS)，∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF(SSS)，∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=，∴∠BAG+∠EAF+∠BAE=，∴∠EAG+∠EAF=，∴∠EAF=．故答案為：．11．如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，將正方形邊AB沿AE折疊到AF，延長(zhǎng)EF交DC于G，連接AG，則∠EAG＝度．【答案】45．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°，由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∠BAE＝∠EAF，∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），∠GAF＝∠GAD，∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°．故答案為：45．12．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，、、三點(diǎn)共線，，，，，，在和中，，，，設(shè)，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，．故答案為：．13．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)MN＝MC時(shí)，則；②2；③△MNC的周長(zhǎng)不變；④∠AMN－∠AMB＝60°．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

【答案】①②③【詳解】①∵正方形ABCD中，∠C＝90°∴MN2＝MC2＋NC2當(dāng)MN＝MC時(shí)，MN2＝2MC2∴MC2＝NC2∴MC＝NC∴BM＝DN易證△ABM≌△ADN（SAS）∴∠BAM＝∠DAN∵∠MAN＝45°∴∠BAM＝22.5°，故①正確；②如圖，

將△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE，則∠EAN＝∠EAM?∠MAN＝90°?45°＝45°則在△EAN和△MAN中，AE＝AM，∠EAN＝∠MAN，AN＝AN，∴△EAN≌△MAN（SAS）∴∠AMN＝∠AED∴∠AED＋∠EAM＋∠ENM＋∠AMN＝360°∴2∠AMN＋90°＋（180°?∠MNC）＝360°∴2∠AMN?∠MNC＝90°故②正確；③∵△EAN≌△MAN∴MN＝EN＝DE＋DN＝BM＋DN∴△MNC的周長(zhǎng)為：MC＋NC＋MN＝（MC＋BM）＋（NC＋DN）＝DC＋BC∵DC和BC均為正方形ABCD的邊長(zhǎng)，故△MNC的周長(zhǎng)不變；④將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，則∠FAM＝∠FAN?∠MAN＝90°?45°＝45°則在△FAM和△MAN中，AF＝AN，∠FAM＝∠MAN，AM＝AM，∴△MAF≌△MAN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，故④錯(cuò)誤；

綜上①②③都正確，故答案為：①②③．14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），，點(diǎn)在射線上，且，與相交于點(diǎn)，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是．【答案】①③【詳解】解：如圖1中，在上截取，連接．，，，，，，，，，，∴，，，，，，，故①正確；∵在中，，∴，∴，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴不平分，故②錯(cuò)誤；如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接CH，又∵，，∴，，，，，又，，，，，，故③正確；如圖1，設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，最大值為，故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．三、解答題15．正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，，求的度數(shù)．【答案】45°【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得，連接AG．在正方形ABCD中，，，．在和中，，，，．又，在和中，，，．，，，．16．如圖，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，過點(diǎn)A作∠GAB＝∠FAD，且點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上．（1）△GAB與△FAD全等嗎？為什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）全等，理由詳見解析；（2）5【詳解】解：（1）全等．理由如下∵∠D＝∠ABE＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，在△ABG和△ADF中，，∴△GAB≌△FAD（ASA）；（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∵△GAB≌△FAD，∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∴∠GAB+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS）∴EF＝GE∵△GAB≌△FAD，∴GB＝DF，∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．17．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析【詳解】解：（1）證明：延長(zhǎng)到，使得；連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長(zhǎng)到，使得；連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴18．如圖，正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M、N在AB、AD上．(1)若∠MCN＝45°，則BM＋DN__________MN（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)如圖1，若∠NMC＝∠MCD，求△AMN的周長(zhǎng)；(3)如圖2，若M、N在AB、AD反向延長(zhǎng)線上，在(2)的條件下，直接寫出DN、MN、BM的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）=；（2）8；（3）【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)到，使得，連接．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：；（2）如圖中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)．（3）結(jié)論：．理由：如圖2中，在上取一點(diǎn)使得．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，．19．如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點(diǎn)B，D恰好都和點(diǎn)G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∵∠EAF=45°，∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，又∵∠B=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，由折疊性質(zhì)知：AB=AG，AD=AG，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）∵EC=FC=1，∴BE=DF，EF=，∵EF=EG+GF=BE+DF，∴BE=DF=EF=，∴AB=BC=BE+EC=．20．已知正方形ABCD中，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，則線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是______；當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系；寫出猜想，并加以證明；當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系；請(qǐng)直接寫出你的猜想．【答案】（1）（2），證明見解析；（3）．【詳解】解：（1）如圖1，連接AC，交MN于點(diǎn)G．∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案為BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，證明如下：如圖2，在MB的延長(zhǎng)線上，截取BE=DN，連接AE．在△ABE和△ADN中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．證明如下：如圖3，在DC上截取DF=BM，連接AF．△ABM和△ADF中，∵，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠FAN=45°．在△MAN和△FAN中，∵，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．21．如圖，在正方形中，，交、于、，交于、．（1）求證：；（2）求證：；（3）求證：．【答案】見解析【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，∵∠EAF=45°∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH，∴∠BAG=∠AHD，又∵∠ABD=∠ADB=45°，∴△ABG∽△HDA，∴，∴BG?DH=AB?AD=AD2；（2）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°，∴AC=AD，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠CAD，∴∠EAF∠CAF=∠CAD∠CAF，∴∠EAC=∠GAD，∴△EAC∽△GAD，∴＝，∴CE=DG；（3）由（2）得：△EAC∽△GAD，∴＝，同理得：△AFC∽△AHB，∴＝，∴＝，∴，∵∠GAH=∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴＝，∴EF=GH．22．如圖，正方形中，交于點(diǎn)交于點(diǎn)，分別交于，連接．求證：；求的值；若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析；；【詳解】證明：四邊形為正方形，又，連接，四邊形是正方形．，∵正方形的邊長(zhǎng)為5∴BD=∴由得由，同理得：23．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中△ADF與△ABG可以看作繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“EF＝BE＋DF”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程．（1）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝，連接AG；（2）證明：EF＝BE＋DF【答案】（1）DF；（2）見解析【詳解】解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BG=DF，從而得到輔助線的做法：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG；（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF和△ABG中∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF=45°，在△AGE和△AFE中0∴△ADF≌△ABG（SAS），∴GE=EF，∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF24．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝CF+AE；（2）當(dāng)AE＝2時(shí)，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）5，詳見解析．【詳解】（1）證明：∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三點(diǎn)共線，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：設(shè)EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得，即，解得：x＝5，則EF＝5．25．分層探究（1）問題提出：如圖1，點(diǎn)E、F別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF，解題思路：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至△ADG，可使AB與AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，則知F、D、G三點(diǎn)共線，從而可證△AFG≌（），從而得EF＝BE+DF，閱讀以上內(nèi)容并填空．（2）類比引申：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，當(dāng)∠B、∠D滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE+DF？（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由見解析【詳解】解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，∴點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案為：90，△AFE，SAS；（2）當(dāng)∠B+∠D＝180°時(shí)，EF＝BE+DF，如圖2∵AB＝AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，∴點(diǎn)F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即EF＝BE+DF，故答案為：∠B+∠D＝180°；（3）猜想：EF2＝BE2+FD2，證明：把△AFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，連接EE′，如圖3，∴△AFD≌△ABE′，∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BE2＝E′E2，又∵∠FAE＝45°，∴∠BAE+∠EAD＝45°，∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°，在△AEE′和△AEF中，，∴△AEE′≌△AEF（SAS），∴EE′＝FE，∴EF2＝BE2+DF2．26．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°（1）求證：BE+DF=EF（2）當(dāng)BE=1時(shí)，求EF的長(zhǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，四邊形ABCD是正方形，，點(diǎn)B是點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G是點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，點(diǎn)在同一條直線上，又，，在和中，，，，又，；（2）設(shè)，由（1）已證：，，，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，，在中，，即，解得，故EF的長(zhǎng)為．27．如圖所示，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，D，M關(guān)于直線AF對(duì)稱．連結(jié)DM并延長(zhǎng)交AE的延長(zhǎng)線于N，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：連結(jié)，、關(guān)于對(duì)稱，∴垂直平分，，∴，∴，，在Rt和Rt中，∴，又，∴，∴．28．如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）5【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，∴（SAS），∴．（2）解：由，得∴，在與中，,∴（SAS），∴，在中，，∴．29．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）【答案】（1）AB＝AH；（2）成立，證明見解析；（3）3【詳解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∵BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，設(shè)NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．30．已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點(diǎn)，證明DE＝DF；（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，△BEF的周長(zhǎng)為2．①試證明∠EDF＝45°；②請(qǐng)你進(jìn)一步探究圖形的其它重要性質(zhì)，并將如下A，B，C，D四個(gè)結(jié)論中，正確的代號(hào)直接填寫在橫線上（不必寫出推理過程）：_________．A．△DEF一定是等腰三角形．B．EF＝AE+CF．C．△DEF中，EF邊上的高為定值．D．△DEF的面積存在最小值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②BCD【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AD＝CD＝AB＝BC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的中點(diǎn)，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF；（2）如圖2，①延長(zhǎng)BC至G，使CG＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝BC＝1，∴BE+AE+BF+CF＝BE+CG+BF+CF＝2，即BE+BF+FG＝2，∵△BEF的周長(zhǎng)為2，∴BE+BF+EF＝2，∴EF＝FG，∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠A，在△DCG和△DAE中，，∴△DCG≌△DAE（SAS），∴DG＝DE，∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDG+∠EDC＝90°，∴∠EDG＝90°，在△DEF和△DGF中，，∴△DEF≌△DGF（SSS），∴∠EDF＝∠FDG，∵∠EDF+∠FDG＝90°，∴∠EDF＝∠FDG＝45°；②如圖2，設(shè)AE＝x，則BE＝1﹣x，BF＝1+x﹣FG＝1+x﹣EF，∵BE2+BF2＝EF2，∴（1﹣x）2+（1+x﹣EF）2＝EF2，解得：EF＝，在Rt△ADE中，DE＝，∵CF＝，∴DF＝＝，∴△DEF不一定是等腰三角形，故結(jié)論A不正確；由①知，EF＝FG＝CF+CG＝CF+AE，故結(jié)論B正確；由①知，△DEF≌△DGF，∴EF邊上的高＝GF邊上的高＝1，故結(jié)論C正確；如圖3，連接BD，延長(zhǎng)DA至G，延長(zhǎng)DC至H，使DG＝DH＝DB＝，連接GH，交AB于點(diǎn)，交BC于點(diǎn)，則∠DGH＝∠DHG＝45°，A＝AG＝C＝CH＝﹣1，∴B＝B＝AB﹣AE′＝2﹣，由勾股定理得：＝（2﹣）＝2﹣2，又∵AE'+C＝2﹣2，∴A+C＝，根據(jù)①可知∠＝45°，此時(shí)，最小，即△DEF的面積存在最小值，故結(jié)論D正確；故答案為：BCD．31．已知正方形，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于點(diǎn)M、N，于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，可以通過證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系是___________；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由；（3）如圖③，已知中，，于點(diǎn)H，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．由折疊可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，設(shè)AH＝AB＝BC＝CD＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴，解得或（舍去），∴．32．已知四邊形ABCD是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時(shí)，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線AN與BC交于P