10.3實際問題與二元一次方程組教學設計一、內容和內容解析內容

本節(jié)課是人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第十章“二元一次方程組”的10.3節(jié)“實際問題與二元一次方程組”。主要內容包括：通過實際問題（如資源分配、幾何劃分、運輸成本計算）建立二元一次方程組的數學模型，分析問題中的數量關系，求解方程組并驗證解的合理性，最終解決實際問題。內容解析

本節(jié)內容是在學生已掌握二元一次方程組的解法基礎上，進一步學習如何將實際問題抽象為數學模型，并用方程組解決問題。通過分析問題中的等量關系，培養(yǎng)學生從具體情境中提取數學信息的能力，強化數學建模思想。這為后續(xù)學習分式方程、函數等知識奠定基礎，同時提升學生用數學工具解決現實問題的應用意識。二、目標和目標解析1.目標

(1)能夠從實際問題中抽象出二元一次方程組，分析等量關系并列出方程。

(2)掌握解二元一次方程組的步驟，能根據實際問題檢驗解的合理性。

(3)在解決復雜問題的過程中，發(fā)展邏輯推理能力與數學建模思想。2.目標解析

通過本節(jié)課的學習，學生應能熟練識別實際問題中的關鍵數量關系，并將其轉化為方程組。在合作探究中體會數學建模的完整過程（審題→設元→列方程→解方程→驗證→作答），提升分析問題和解決問題的能力。同時，通過解決與生活緊密相關的實際問題（如物資分配、運輸成本），增強數學應用意識，為后續(xù)學習函數、不等式等知識積累經驗。三、教學問題診斷分析找不準等量關系：部分學生難以從文字描述中提取關鍵數據，無法建立變量之間的數量關系。忽略實際意義檢驗：解出方程組后，可能忽略檢驗解是否符合實際情況（如人數為負數）。復雜問題建模困難：涉及多步驟、多條件的問題（如分段計費）容易導致學生遺漏條件或混淆變量。四、教學過程設計（一）情景引入問題1雞兔同籠問題：籠中有頭35個，腳94只，問雞兔各幾只？

問題2某班級購買圖書，若買3本《西游記》和5本《三國演義》需151元；買5本《西游記》和3本《三國演義》需165元。求每本書的價格。

問題3物流公司用2輛大貨車和3輛小貨車運貨15.5噸，5輛大貨車和6輛小貨車運貨35噸。求每輛大、小貨車的載重量。設計意圖：

從經典問題到生活實例，逐步引導學生體會用方程組解決實際問題的必要性。問題1復習算術方法，過渡到代數方法；問題2強調“兩個未知數需兩個方程”；問題3引出后續(xù)探究內容。通過階梯式提問，激發(fā)興趣，對應目標（1）。（二）合作探究1探究1養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天用飼料675kg；一周后購入12頭大牛和5頭小牛，1天用飼料940kg。飼養(yǎng)員估計大牛每天吃1820kg，小牛78kg。檢驗估計是否準確。步驟：設未知數：設每頭大牛每天吃xkg，小牛吃ykg。列方程組：

30x解方程組：消元法：方程①×4：120x方程②×3：126x相減得：6x代入①：30解的豎式表示：

x驗證：x=20在1820范圍內，y=追問：若飼料總量不變，新增牛的數量如何調整才能使估計準確？設計意圖：

通過完整的問題解決流程（設元→列方程→解方程→檢驗），培養(yǎng)學生規(guī)范解題習慣。追問引導學生反思模型合理性，對應目標（2）（3）。（三）鞏固練習1練習1商店購買3盞甲型燈和5盞乙型燈共50元；購買12盞甲型燈和4盞乙型燈共88元。求每盞燈的單價。

解答：

設甲型燈x元，乙型燈y元，列方程組：

3x

解方程組：方程①×4：12x方程②×1：12x相減得：16y代入①：3x+35=50x練習2學校圖書館兩次購買《西游記》和《水滸傳》，第一次2套西+3套水=151元，第二次4套西+2套水=178元。求每套價格。

解答：

設《西游記》x元，《水滸傳》y元，列方程組：

2x

解方程組：方程①×2：4x方程②×1：4x相減得：4y代入①：2x+93=151x（四）合作探究2探究2甲、乙作物單位產量比為1:2，現需將200m×100m的土地劃分為兩塊，使總產量比為3:4。如何劃分？分析：設未知數：設甲作物種植區(qū)域長為xm，乙作物種植區(qū)域長為ym，則x+總產量比：甲產量乙產量甲產量乙產量=x×列方程組：

x解方程組：由②得x代入①：3代入得x解的豎式表示：

x驗證：劃分后甲產量120×100×1=12000設計意圖：

結合幾何問題，引導學生理解“產量比”轉化為面積與單位產量的乘積比，強化多維度建模能力，對應目標（1）（3）。（五）典例分析例1絲路紡織廠從A地購長絨棉，制成面料運往B地。已知：長絨棉進價3.08萬元/噸，面料出廠價4.25萬元/噸；公路運費0.5元/(噸·千米)，鐵路運費0.2元/(噸·千米)；總公路運費5200元，鐵路運費16640元。

求銷售額比原料費+運費多多少元。解析：補充條件：假設A到工廠公路80km，鐵路200km；工廠到B地公路50km，鐵路150km。設未知數：設購買x噸長絨棉，制成y噸面料。整理運輸費用：長絨棉運輸費：

公路鐵路合計元公路面料運輸費：

公路鐵路合計元公路列方程組：

假設制成率為80x解方程組：代入②到①：80x計算得：80x代入得：y解的豎式表示：

x計算利潤差：銷售額：156.75×4.25原料費+運費：165×3.08差額：666.19?510.384設計意圖：

通過多條件、多步驟問題，訓練學生信息整理與綜合建模能力，強調分步解決復雜問題的策略，對應目標（2）（3）。（六）鞏固練習練習1運輸公司用2輛大貨車和3輛小貨車運貨15.5噸，5輛大貨車和6輛小貨車運貨35噸。求3輛大貨車與5輛小貨車一次運貨量。

解答：

設大貨車載重x噸/輛，小貨車載重y噸/輛，列方程組：

2x

解方程組：方程①×2：4x方程②×1：5x相減得：x代入①：2×4+3yx

運貨量：3×4練習2七年級地質小組購買往返票和單程票共20張，花費1180元。求各買多少張。

解答：

設往返票a張，單程票b張，列方程組：

a

解方程組：方程①×45：45a方程②×1：80a相減得：35a代入①：8+b=20a練習3甲地到乙地上坡30km/h，平路40km/h，下坡50km/h。去程54分鐘，返程42分鐘。求全程。

解答：

設上坡s1km，平路s2s

解方程組：方程①-方程②：s代入①：1530+s2s

全程：15+（七）歸納總結步驟關鍵操作注意事項.審題設元明確未知數，設x、y單位統一，避免混淆2.找等量關系從文字、表格、圖表中提取兩個關系避免遺漏隱含條件3.列方程組書寫規(guī)范，如2x系數與變量對齊4.解方程組代入法或加減法計算準確，避免符號錯誤5.檢驗與作答檢查解是否滿足所有條件及實際意義負數、非整數解需重新審視模型（八）感受中考1.(2023江蘇)某商店銷售A、B商品，A每天售20件，B每天售30件，總利潤為2000元；若A降價5元，銷量增5件，B售價不變，總利潤增加300元。求A、B原價。

解答：

設A原價x元，B原價y元，列方程組：

成本成本成本成本20

解的豎式表示（假設成本為c）：

x2.(2024浙江)甲、乙兩人從A、B兩地相向而行，甲速度5m/s，乙速度3m/s，相遇后甲繼續(xù)到B地耗時120秒。求AB距離。

解答：

設相遇時用時t秒，距離s=5t+3t=8t，甲剩余路程3.(2022廣東)某工廠生產桌椅，每張桌子用木料0.2m3，椅子0.05m3，現有木料12m3。若生產x張桌子，y把椅子，且x+y=60，求x、y。

解答0.2x

解的豎式表示：

x4.(2023山東)學校采購籃球和足球，買2個籃球和3個足球需340元；買4個籃球和1個足球需380元。求籃球單價。

解答：

設籃球x元，足球y元，列方程組：

2x

解的豎式表示：

x設計意圖：

通過中考真題練習，幫助學生熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力。（九）小結梳理知識模塊核心思想典型問題資源分配問題利用總量與部分量關系建立方程養(yǎng)牛場飼料、運輸貨物幾何劃分問題將幾何條件轉化為代數關系土地劃分、路徑規(guī)劃經濟決策問題利潤=售價-成本，注意分段計費商品銷售、運輸成本計算（十）布置作業(yè)必做題習題10.3第1題（解方程組）、第2題（徒步速度問題）。某工廠用2臺A型機器和3臺B型機器生產零件，每天共生產460個；3臺A型和2臺B型每天共生產480個