PAGEPAGE423.2第2課時(shí)仰角、俯角問題知|識|目|標(biāo)通過對實(shí)際問題的分析，了解仰角、俯角的定義，并能利用仰角、俯角的定義計(jì)算物體的高度．目標(biāo)會運(yùn)用解直角三角形解決仰角、俯角問題例1［教材補(bǔ)充例題］［2024·南通改編］熱氣球探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，熱氣球與樓的水平距離為100m．依據(jù)下列步驟，求這棟樓的高度(計(jì)算結(jié)果保留根號)．圖23－3－4(1)由題意可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝________，AD＝________m，則BD＝________m；(2)在Rt△ACD中，∠CAD＝________．依據(jù)正切的定義，tan∠DAC＝eq\f(CD,AD)，則CD＝AD·tan∠DAC＝________m，∴BC＝BD＋CD＝________m.綜上所述，這棟樓的高度為________m.例2［高頻考題］［2024·荊門金橋］學(xué)?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級數(shù)學(xué)活動小組的任務(wù)是測量學(xué)校旗桿AB的高．如圖23－2－5，他們在旗桿正前方臺階上的點(diǎn)C處，測得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺階下的點(diǎn)F處，測得旗桿頂端A的仰角為60°.已知升旗臺的高度BE為1米，點(diǎn)C距地面的高度CD為3米，臺階的坡角為30°，且點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同始終線上．求旗桿AB的高．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖23－2－5【歸納總結(jié)】視線、水平線、物體的高構(gòu)成直角三角形，已知仰角(俯角)和測量點(diǎn)到物體的水平距離，利用解直角三角形的學(xué)問就可以求出物體的高度．學(xué)問點(diǎn)一俯角和仰角的概念在進(jìn)行高度測量過程中，視線與水平線會形成一個(gè)夾角，當(dāng)視線在水平線______時(shí)這個(gè)夾角叫做仰角；當(dāng)視線在水平線______時(shí)這個(gè)夾角叫做俯角.如圖23－2－6所示，∠1是仰角，∠2是俯角．圖23－2－6[點(diǎn)撥](1)仰角和俯角必需是視線與水平線所夾的角，而不是與鉛垂線所夾的角；(2)仰角和俯角都是銳角．學(xué)問點(diǎn)二解直角三角形——俯角、仰角問題利用解直角三角形的學(xué)問解決有關(guān)仰角和俯角的實(shí)際問題，通常借助視線、水平線、鉛垂線構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行解答．如圖23－2－7所示，直升機(jī)在大橋AB上方的點(diǎn)P處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為am，A，B，O三點(diǎn)在一條直線上且PO⊥AB于點(diǎn)O，測得點(diǎn)A的俯角為α，點(diǎn)B的俯角為β，求大橋AB的長度．圖23－2－7解：在Rt△POA中，∵∠APO＝α，tan∠APO＝eq\f(OA,OP)，∴OA＝OP·tanα.在Rt△POB中，∵∠BPO＝β，tan∠BPO＝eq\f(OB,OP)，∴OB＝OP·tanβ，∴AB＝OA－OB＝OP(tanα－tanβ)＝a(tanα－tanβ)m.上面的解答過程正確嗎？若不正確，請說明理由，并寫出正確的解答過程．

老師詳解詳析【目標(biāo)突破】例1(1)45°100100(2)60°100eq\r(3)100(1＋eq\r(3))100(1＋eq\r(3))例2[解析]設(shè)AM＝x.過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則MC＝AM.在Rt△AEF中，用含x的式子表示EF.在Rt△CFD中，求出FD，從而依據(jù)ED＝MC列方程求出x，由此可求出AB的長．解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．設(shè)AM＝x，則ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.在Rt△AEF中，EF＝eq\f(AE,tan∠AFE)＝eq\f(x＋3,\r(3)).在Rt△CFD中，F(xiàn)D＝eq\f(CD,tan∠CFD)＝3eq\r(3).∵ED＝MC，∴eq\f(x＋3,\r(3))＋3eq\r(3)＝x.解得x＝6eq\r(3)＋6，∴AB＝AM＋ME－BE＝6eq\r(3)＋6＋3－1＝6eq\r(3)＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．答：旗桿AB的高約為18.4米．【總結(jié)反思】[小結(jié)]學(xué)問點(diǎn)一上方下方[反思]不正確．本題錯(cuò)在把從點(diǎn)P觀測點(diǎn)A的俯角誤認(rèn)為是∠APO，從點(diǎn)P觀測點(diǎn)B的俯角誤認(rèn)為是∠BPO，只有弄清俯角的定義才能避開這類錯(cuò)誤．正解：依據(jù)題意，得∠CPA＝α，∠BPC＝β，∴∠PAO＝α，∠PBO＝β.在Rt△POA中，∵tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)，∴OA＝eq\f(OP,tan∠PAO)＝eq\f(a,tanα)m.在Rt△POB中，∵tan∠PBO＝eq\f(OP,OB)，∴OB＝eq\f(OP,tan∠PBO)＝eq\f(a,tanβ)m，∴AB＝OA－OB＝(eq\f(a,tanα)－eq\f(a,tanβ))m.課堂反饋(三十三)1．7tanα2．1200eq\r(3)[解析]由題意可知∠BAC＝60°，則BC＝AC·tan∠BAC＝1200×eq\r(3)＝1200eq\r(3)(m)．3．3(eq\r(3)－1)[解析]由題意可知，△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝3m．在Rt△ACD中，AC＝AD·tan∠CDA＝3×tan60°＝3eq\r(3)(m)，∴BC＝AC－AB＝3eq\r(3)－3＝3(eq\r(3)－1)m.4．解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BE＝CD＝5m，∴∠CBE＝60°.依據(jù)