【摘要】開(kāi)展數(shù)學(xué)史視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅能以歷史方式展示或表達(dá)數(shù)學(xué)，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的深入掌握，更好地完成教學(xué)目標(biāo)。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)在知識(shí)概念的教學(xué)上，對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程或者主題起源的探究教學(xué)涉獵不多。文章以蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課為例進(jìn)行數(shù)學(xué)史視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)研究，探討如何將數(shù)學(xué)史融入負(fù)數(shù)教學(xué)中。【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)幾百年前，負(fù)數(shù)不被人們所接受，甚至包括數(shù)學(xué)家。直到19世紀(jì)中葉，人們才接受負(fù)數(shù)概念。美國(guó)教育家波利亞指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，才能最好地理解數(shù)學(xué)。因此，教師需要走進(jìn)數(shù)學(xué)史料的宏大世界，追溯數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展軌跡，帶領(lǐng)學(xué)生一起感受負(fù)數(shù)的悠久歷史和豐富的文化內(nèi)涵。一、數(shù)學(xué)史中負(fù)數(shù)流變過(guò)程簡(jiǎn)述（一）中國(guó)數(shù)學(xué)史中負(fù)數(shù)流變中國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)有學(xué)者認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的存在，只是尚未明確提出負(fù)數(shù)這一概念。李悝在《法經(jīng)》中提到了有關(guān)負(fù)數(shù)的例子：衣五人終歲用千五百，不足四百五十。意思是說(shuō)5個(gè)人一年開(kāi)支1500錢，支出比收入還多，差450錢。這里的“不足”就是負(fù)數(shù)所表達(dá)的意思?！毒耪滤阈g(shù)》中明確給出了正負(fù)數(shù)的概念及加減運(yùn)算法則：“同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。”古代算學(xué)家在解方程式的時(shí)候，出現(xiàn)了以“少”減“多”的情況，他們基于操縱方程系數(shù)的求解方法，將負(fù)數(shù)引入運(yùn)算中，由此應(yīng)運(yùn)而生。（二）外國(guó)數(shù)學(xué)史負(fù)數(shù)流變古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖寫了一整本關(guān)于求解方程式的書《數(shù)論》，他認(rèn)為除了正有理數(shù)之外，不考慮任何東西，但是丟番圖在展開(kāi)（x-2）（x-6）時(shí)，他知道“負(fù)負(fù)得正”。換句話說(shuō)，他懂得如何處理負(fù)系數(shù)。著名的印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多早在7世紀(jì)就認(rèn)識(shí)到并在一定程度上用負(fù)數(shù)來(lái)運(yùn)算。到了16世紀(jì)，甚至像意大利的卡爾達(dá)諾、法國(guó)的韋達(dá)這樣的著名數(shù)學(xué)家都拒絕接受負(fù)數(shù)。他們認(rèn)為負(fù)數(shù)是“假定的”或“荒謬的”。當(dāng)負(fù)數(shù)作為方程的解出現(xiàn)時(shí)，它們被稱為“虛解”或“假根”。到了18世紀(jì)中葉，負(fù)數(shù)已經(jīng)或多或少地被接受為數(shù)字。著名瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在1770年出版的《代數(shù)指南》（ElementsofAlgebra）中這樣理解：“由于負(fù)數(shù)可能被視為債務(wù)，因?yàn)檎龜?shù)代表真實(shí)的財(cái)產(chǎn)，所以我們可以說(shuō)負(fù)數(shù)是虛無(wú)的?！彪S著高斯、伽瓦羅、阿貝爾等人在19世紀(jì)初的不懈努力，代數(shù)方程研究演變成了代數(shù)系統(tǒng)的研究，負(fù)數(shù)——與正數(shù)加法對(duì)立的數(shù)字，成為數(shù)字系統(tǒng)中極為重要的組成部分。二、數(shù)學(xué)史中數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系擴(kuò)展是數(shù)學(xué)內(nèi)部體系運(yùn)算封閉性的必然要求。數(shù)系的擴(kuò)展遵循因襲原理，即在原有數(shù)系基礎(chǔ)上，通過(guò)加入一個(gè)新的符號(hào)，將原有的數(shù)集擴(kuò)充成一個(gè)更龐大的、內(nèi)容更豐富的數(shù)系。與此同時(shí)，“舊”數(shù)系是“新”數(shù)系的真子集，更為關(guān)鍵的是，在“舊”數(shù)系中成立的運(yùn)算規(guī)則，要與“新”數(shù)系中的運(yùn)算規(guī)則保持一致，結(jié)果相同。按照與實(shí)體分離的程度不同，數(shù)系遵循以下歷史途徑逐漸擴(kuò)展：而數(shù)系的邏輯擴(kuò)展過(guò)程是不同的：在中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是從運(yùn)算的封閉性來(lái)看數(shù)系的擴(kuò)充的。在正整數(shù)集中，加法與乘法都是封閉的，但是減法和除法在正整數(shù)集中不封閉：小數(shù)不能減大數(shù)，由此就引入了負(fù)數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集。同樣，除法在整數(shù)集中不能完全施行，便引入分?jǐn)?shù)，數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集，四則運(yùn)算在有理數(shù)集中封閉。但是對(duì)于開(kāi)方運(yùn)算在有理數(shù)集不封閉，為此引入無(wú)理數(shù)，數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。在實(shí)數(shù)集中添加虛數(shù)單位i，就擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集。通過(guò)追溯數(shù)系的邏輯擴(kuò)展過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)，負(fù)數(shù)的到來(lái)溝通了加法和減法之間的聯(lián)系：因?yàn)樵黾右粋€(gè)負(fù)數(shù)等于減去一個(gè)正數(shù)。多虧了負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使得加法和減法成為同一種運(yùn)算的兩個(gè)方面。負(fù)數(shù)的本質(zhì)屬性是表示意義相反的量，一個(gè)負(fù)數(shù)總對(duì)應(yīng)著一個(gè)正數(shù)，而“0”就成了重中之重。“0”作為分界標(biāo)準(zhǔn)，有著三重含義：第一重表示沒(méi)有，第二重表示對(duì)特定客觀存在的人為規(guī)定，第三重表示根據(jù)需要?jiǎng)討B(tài)變化的人為規(guī)定。由此可見(jiàn)，“0”的確定是相對(duì)的，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)將數(shù)與數(shù)之間的絕對(duì)大小變成了相對(duì)大小。三、數(shù)學(xué)史視角下負(fù)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)克萊因說(shuō)，從演繹數(shù)學(xué)誕生開(kāi)始，數(shù)學(xué)家花了1000年才得到負(fù)數(shù)概念，又花了1000年才接受負(fù)數(shù)概念?；赝麛?shù)學(xué)史中負(fù)數(shù)的流變過(guò)程，那些歷史上一些最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家也曾經(jīng)歷過(guò)掙扎和挫折，學(xué)生在最開(kāi)始接觸負(fù)數(shù)時(shí)肯定也會(huì)有所疑惑。與負(fù)數(shù)相關(guān)的史料非常豐富，基于趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性這五項(xiàng)原則，筆者將數(shù)學(xué)史融入負(fù)數(shù)課堂。以下是三個(gè)教學(xué)片段：（一）解決問(wèn)題，初識(shí)數(shù)學(xué)原型教師創(chuàng)設(shè)情境：王剛經(jīng)營(yíng)一家小微企業(yè)，每個(gè)月的固定支出包括員工工資5萬(wàn)元、各種稅費(fèi)2萬(wàn)元、房租1萬(wàn)元、生活（水、電、煤氣等）繳費(fèi)和其他開(kāi)支1萬(wàn)元。如果公司一月份收入10萬(wàn)元，這個(gè)月盈利多少萬(wàn)元？如果二月份收入8萬(wàn)元呢？想一想，盈利是什么意思？怎樣計(jì)算公司的盈利？（學(xué)生獨(dú)立解答）師生交流互動(dòng)：（1）學(xué)生匯報(bào)方法思路與計(jì)算結(jié)果；（2）結(jié)合情境，教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩道算式，引出“盈利”與“虧損”這兩個(gè)概念。師：兩道算式的得數(shù)都是“1”，聯(lián)系減法的意義想一想，這兩個(gè)“1”表示的意義一樣嗎？哪里不一樣？師：第一個(gè)“1”表示盈利1萬(wàn)元，第二個(gè)“1”表示虧損1萬(wàn)元。“盈利”和“虧損”是兩個(gè)表示相反意義的量。【教學(xué)意圖】張奠宙先生認(rèn)為，實(shí)際生活中遇到的意義相反的量一般是以下兩種類型：一是自然意義的相反，如虧損與盈利，支出與收入；另一種是相反意義的量，是人為規(guī)定的，如溫度以結(jié)冰的溫度為0度，比它高的為零上，比它低的為零下，海平面的上下等。回顧中國(guó)數(shù)學(xué)史中負(fù)數(shù)的流變過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，負(fù)數(shù)與“欠債”“不足”“收入”“支出”等實(shí)際問(wèn)題的解決息息相關(guān)。教師可以把這一層史料進(jìn)行再加工，將書本上例1“溫度計(jì)”情境更換為“盈利和虧損”的情境，不僅有利于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中體會(huì)正、負(fù)數(shù)引入的必然性和合理性，還能讓學(xué)生從情境中抽象出的正、負(fù)數(shù)具有“可以進(jìn)行運(yùn)算”的特征，借助事例讓學(xué)生感悟有理數(shù)的加減運(yùn)算。此外，在解決問(wèn)題時(shí)使用的數(shù)量關(guān)系“盈利=收入－支出”可以基于數(shù)學(xué)邏輯，滲透“不夠減”的模型，為學(xué)生感悟減法運(yùn)算以及規(guī)范表述負(fù)數(shù)的生活意義埋下伏筆。（二）理解本質(zhì)，逐步完善概念出示情境圖，學(xué)生練習(xí)鞏固。用合適的數(shù)表示下面的數(shù)量：（1）存款2000元和取款1000元；（2）賣出大米1.5噸和買進(jìn)大米2.5噸；（3）上升米和下降米。教師描述定義。師：為了表示兩種相反意義的量，如盈利與虧損、零上溫度和零下溫度等，需要用到兩種數(shù)。像+1、+20、+8844.4、+1.5、+這樣的數(shù)都是正數(shù)，像-1、-20、-2.5、-這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)。正數(shù)前面的“+”可以省略不寫。師：“0”是相反意義的量的分界線，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。【教學(xué)意圖】知識(shí)學(xué)習(xí)是思維發(fā)展的過(guò)程與載體。準(zhǔn)確把握知識(shí)的內(nèi)涵和外延，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維框架和思維方式。因?yàn)橐胴?fù)數(shù)安排在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)之后，教學(xué)時(shí)，教師可以覆蓋非0整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。這樣做，旨在幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握一些數(shù)的外延，如正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和正小數(shù)這些都屬于正數(shù)，負(fù)數(shù)可以分為負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和負(fù)小數(shù)。如果再換一個(gè)視角，還可以說(shuō)整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，小數(shù)包括正小數(shù)和負(fù)小數(shù)，為后續(xù)科學(xué)建立“有理數(shù)”的概念以及揭示相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)提供“腳手架”。（三）理解負(fù)數(shù)在運(yùn)算中的封閉性出示題目，學(xué)生獨(dú)立思考：你能在方框里填數(shù)，使得□－□=-5這個(gè)算式成立嗎？每人寫出3道算式并和同桌說(shuō)一說(shuō)你的想法。全班交流：（學(xué)生匯報(bào)算式）2-7=-5，44-49=-5……師：仔細(xì)觀察，這些算式有什么共同特點(diǎn)？像這樣的算式寫得完嗎？師：我們發(fā)現(xiàn)被減數(shù)小，減數(shù)大，并且它們相差5。我們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，小數(shù)減大數(shù)這樣的題目也能寫出答案了！這就是負(fù)數(shù)在運(yùn)算中的封閉性。同時(shí)，也為后續(xù)中學(xué)有理數(shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備?！窘虒W(xué)意圖】張奠宙教授指出：“如果只用現(xiàn)實(shí)中存在相反意義的量的例子來(lái)理解正負(fù)數(shù)是片面的，一定要從減法計(jì)算的封閉性著手。”因此，在課堂教學(xué)的最后，教師設(shè)置了編算式環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)后，小