安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽試題理含解析(數(shù)學(xué))一、選擇題要求：在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將其選出。1.設(shè)集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x≥0}，則集合A與集合B的交集為：A.{x|0≤x≤2}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|-1≤x≤2}D.{x|x≥0}2.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點，則下列結(jié)論正確的是：A.a>0,b=0,c>0B.a>0,b=0,c<0C.a<0,b=0,c>0D.a<0,b=0,c<0二、填空題要求：將正確答案填入空格內(nèi)。3.已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為2，5，8，則該數(shù)列的公差為______。4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點一定在______上。三、解答題要求：寫出解答過程，并給出最終答案。5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。6.已知等比數(shù)列{an}的前三項分別為2，4，8，求該數(shù)列的通項公式an。四、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。7.證明：若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則對于任意的正整數(shù)n，有a1+a2+...+an=n(a1+an)/2。8.證明：若等比數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，且q≠1，則對于任意的正整數(shù)n，有b1*b2*...*bn=b1^n*q^(n(n-1)/2)。五、計算題要求：計算下列各題中的數(shù)值。9.計算定積分∫(2x^3-3x^2+4)dx，其中x的取值范圍是從1到3。10.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。六、應(yīng)用題要求：根據(jù)題目要求，列出相應(yīng)的方程或方程組，并求解。11.一輛汽車以60km/h的速度行駛，剎車后每秒減速2km/h，求汽車從開始剎車到停止所需的時間。12.某商店銷售一種商品，成本為每件100元，售價為每件150元。為了促銷，商店決定對每件商品進行折扣銷售，使得銷售利潤至少為原銷售利潤的80%。求折扣率x（x以百分比表示）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.{x|0≤x≤2}解析：集合A的元素范圍是-1到2，集合B的元素范圍是0到正無窮，因此A與B的交集是[0,2]。2.A.a>0,b=0,c>0解析：因為函數(shù)圖象開口向上，所以a>0。因為與x軸有兩個交點，所以判別式b^2-4ac>0，由于b=0，所以c>0。二、填空題3.公差為3解析：等差數(shù)列的公差是相鄰兩項的差，所以5-2=3，8-5=3，公差為3。4.實軸解析：|z-1|=|z+1|表示z到點1和點-1的距離相等，這意味著z的實部為0，即z在虛軸上。三、解答題5.f'(x)=3x^2-3解析：使用冪法則和常數(shù)法則，對函數(shù)f(x)=x^3-3x+1求導(dǎo)得到f'(x)=3x^2-3。6.an=2*2^(n-1)解析：已知前三項為2，4，8，可以看出公比為2，所以通項公式為an=a1*r^(n-1)=2*2^(n-1)。四、證明題7.證明：a1+a2+...+an=n(a1+an)/2解析：使用等差數(shù)列的求和公式，S_n=n(a1+an)/2，這是等差數(shù)列求和的直接公式。8.證明：b1*b2*...*bn=b1^n*q^(n(n-1)/2)解析：使用等比數(shù)列的乘積公式，P_n=b1^n*q^(n(n-1)/2)，這是等比數(shù)列乘積的直接公式。五、計算題9.計算定積分∫(2x^3-3x^2+4)dx，其中x的取值范圍是從1到3。解析：首先對函數(shù)進行積分，得到∫(2x^3-3x^2+4)dx=(1/2)x^4-x^3+4x+C，然后代入上限和下限計算，得到(1/2)(3^4)-(3^3)+4(3)-[(1/2)(1^4)-(1^3)+4(1)]=81/2-27+12-1/2+1-4=39。10.求f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。解析：首先找到函數(shù)的極值點，通過求導(dǎo)得到f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得到x=2。計算f(2)=2^2-4*2+3=-1，這是極小值。計算區(qū)間端點的函數(shù)值，f(1)=1^2-4*1+3=0，f(3)=3^2-4*3+3=0，所以最大值是0。六、應(yīng)用題11.一輛汽車以60km/h的速度行駛，剎車后每秒減速2km/h，求汽車從開始剎車到停止所需的時間。解析：設(shè)汽車剎車所需時間為t秒，那么速度函數(shù)v(t)=60-2t。當汽車停止時，速度v(t)=0，解方程60-2t=0得到t=30秒。12.某商店銷售一種商品，成本為每件100元，售價為每件150元。為了促銷，商店決定對每件商品進行折扣銷售，使得銷售利潤至少為原銷售利潤的80%。求折扣率x（x以百分比表示）。解析：設(shè)折扣率為x，則售價為150x，利潤