專題L5線段的垂直平分線?重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段】

【例1】（2023春?萊陽市期末）如圖，△A8C中，EO垂直平分A8,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)R交BC

的延長線于點(diǎn)E，若8尸=6,CF=2,則AC的長為.

【變式1-1］（2023秋?長寧區(qū)期末）如圖，在AABC中，A8的垂直平分線交AB于點(diǎn)。，交8C于點(diǎn)￡△

4BC的周長為19,△ACE的周長為13,則48的長為（

C.12D.16

【變式1-2］（2023春?高新區(qū)期末）如圖，在aABC中，ZBA0900,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,AC

的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,連接4E、AF,若AAE/的周長為2,則8C的長是（)

【變式1-3］（2023春?乾縣期末）如圖，在△A8C中，48邊的中垂線。E,分別與4B、AC邊交于點(diǎn)D、E

兩點(diǎn)，NC邊的中垂線"G,分別與儀;、AC邊交于點(diǎn)“、G兩點(diǎn)，連接“從H（J.若的周長為16,

GE=\.則AC的長為（）

【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】

【例2】（2023?越秀區(qū)模擬）如圖,在RIA4BC中,ZC=90°,A伊邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D,交

AB于點(diǎn)、E,連接/W,人。將NC48分成兩個角，且NCV）：ZBAD=2t5,則N4O。的度數(shù)是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【變式2-1］（2023春?建平縣期末）如圖，已知△4BC中，NB=50°,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線

WN分別交八8,BC于點(diǎn)、M、N.若M在外的中垂線上，N在尸C的中垂線上，則/AQC1的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

【變式2-2］（2023?市南區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊A8和AC的垂直平分線O。、。上的交點(diǎn),

若NBOC=100°,則這兩條垂直平分線相交所成銳角a的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.50°D.80°

【變式2-3］（2023春?安國市期末）如圖，在△44C中，/是三定形角平分線的交點(diǎn)，。是三邊垂直平分線

的交點(diǎn)，連接A/,13LAO,BO,若N4O4=140。，則NA/B的大小為（）

A.160°B.140°C.130°D.125°

【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】

【例3】（2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路/旁修建一座移動信號發(fā)射塔.按照設(shè)計要求,

發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）

A.4處B.8處C.C處D.。處

【變式3-1］（2023秋?偃師市期末）元旦聯(lián)歡會上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相

等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝.如果將A、B、。三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個頂點(diǎn),

那么凳子應(yīng)該放在△A8C的（）

A.三邊中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三邊上高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

【變式3-2］（2023春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為A地，莫斯科為8地，雅典為。地，若想建立一個

貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）

內(nèi)莫斯科

雅典“一帶一路”示意圖

A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三邊中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

【變式3-3］（2023春?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進(jìn)

一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機(jī)構(gòu)和財政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實(shí)行并村”.《中共中央國

務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實(shí)推進(jìn)社會主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境,

搞好村莊治理規(guī)劃和試點(diǎn)，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”.以上兩個政策出臺后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并

某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、&C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，

想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）

A

;

A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處

B.三個角的平分線的交點(diǎn)處

C.三角形三條高線的交點(diǎn)處

D.三角形三條中線的交點(diǎn)處

【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)綜合】

【例4】（2023春?平頂山期中）如圖，在△A5C中，于點(diǎn)E,NB=22.5°,A/3的垂直平分線ON

交BC于點(diǎn)、D,交AB于點(diǎn)M。尸_LAC于點(diǎn)R交于點(diǎn)M.求證：

(1)AE=DE；

(2)EM=EC.

N

BD\^Ec

【變式4-1](2023春?高州市期末)如圖，在四邊形A8C。中，8。所在的直線垂直平分線段AC,過點(diǎn)A

作的平行線交C。于F,延長/W、DC交于點(diǎn)E.

求證：(l)4C平分NE4F；

(2)ZMD=ZE.

【變式4-2](2023春?蓮湖區(qū)期末)如圖，在△48C中，點(diǎn)E是8c邊上的一點(diǎn)，連接AE,8。垂直平分

AE,垂足為F,交AC于點(diǎn)Q,連接OE.

(1)若△48C的周長為18,△OEC的周長為6,求AB的長.

(2)若N/1BC=3O°,ZC=45°,求NCQE的度數(shù).

【變式4-3](2023秋?濯池縣期末)在△A8C中，AB的垂直平分線1\交BC于點(diǎn)D,AC的垂直平分線/2

交BC于點(diǎn)、E,/I與/2相交于點(diǎn)O,△AQE的周長為6.

(I)AD與V。的數(shù)量關(guān)系為.

(2)求8c的長.

(3)分別連接OA,()B,OC,若△08C的周長為16,求。A的長.

/1A

BD

【知識點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】

到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個）

【題型5線段垂直平分線的判定】

【例5】（2023秋?儀征市月考）如圖.AB=AC,MB=MC.求證：直線AM是線段8c的垂直平分線.

【變式5-1］（2023?沐陽縣校級開學(xué)）如圖.△A8C中，NB=/C,點(diǎn)、P、Q、R分別在A3、BC、AC±,

且PB=QC,QB=RC.

求證：點(diǎn)Q在尸扭的垂直平分線上.

【變式5-2］（2023秋?博白縣期末）如圖，△48。中，ZACB=90°,AO平分N84C,于E.

（1）若N/MC=50°,求NEDA的度數(shù)；

（2）求證：直線AO是線段CE的垂直平分線.

【變式5-3］（2023秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,BE平分/ABC,AM_LBC于

點(diǎn)、M交BE于點(diǎn)、G,A。平分NAMC,交8C于點(diǎn)。，交BE于點(diǎn)F.求證：線段〃尸垂直平分線段AD

A

【例6】（2023秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△A8C中，分別以點(diǎn)八和點(diǎn)B為圓心，以相同的長（大于，8）

為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線MN交44于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)、E,連接CO.已知△COE

的面積比的面積小5,則△4OE的面枳為（）

A.5B.4D.2

【變式6-1］（2023春?碑林區(qū)校級期中）在△4NC中，NONA、請用尺規(guī)作圖法，在4"上找一點(diǎn)P,使

ZPCB=ZB.（保留作圖痕跡，不寫作法.）

【變式6-2］（2023?碑林區(qū)校級模擬）尺規(guī)作圖：如圖，己知請在AC?邊上找一點(diǎn)。，使△A8O的

周長等于A5+AC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

B

【變式6-3］（2023春?長安區(qū)期末）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

如圖，直線機(jī)表示一條公路，A、8表示兩所大學(xué)，要在公路旁修建一個車站尸，使車站到兩所大學(xué)的距

離相等.

（1）請用尺規(guī)在圖上找出點(diǎn)尸;

（2）請說明你作圖的依據(jù).

?4B

??

專題L5線段的垂直平分線?重難點(diǎn)題型

【北師大版】

加洋一共三

一【知畝一線段垂直手W線的屜扇】

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距禹相等,反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距禺

相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上.

【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段】

【例1】（2023春?萊陽市期末）如圖，△ABC中，EO垂直平分A8,交A8于點(diǎn)。，交AC

于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)E,若BF=6,CF=2,則AC的長為.

分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到A尸=8/=6,結(jié)合圖形計算即可.

【解答】解：：后。垂直平分A/3,/亦=6,

；.AF=BF=6,

VCF=2,

：,AC=AF+CF=6+2=S,

故答案為：8.

【變式1-1］（2023秋?長寧區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交4B于點(diǎn)。，交

BC于點(diǎn)、E.△ABC的周長為19,△ACE的周長為13,則A3的長為（）

A.3R.6C.12D.16

分析：根據(jù)線段垂直.平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???A6的垂直平分線交A8于點(diǎn)Q,

；?AE=BE,

△ACE的周長=AC+AE+CE=AC+8C=13,/\ABC的周長=AC+8C+A8=19,

???AB=Z\A8C的周長-△ACE的周長=19?13=6,

故選:B.

【變式1-2］（2023春?高新區(qū)期末）如圖，在△A8C中，ZBA0900,48的垂直平分線

交BC于點(diǎn)E,4C的垂直平分線交8c于點(diǎn)E連接AE、AF,若△4EF'的周長為2,則

8C的長是（）

C.4D.無法確定

分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EB,FA=FC,根據(jù)三角形的周長公式即

可求出BC.

【解答】解：:A8的垂直平分線交8C于點(diǎn)￡,

:.EA=EB,

VAC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F.

：.FA=FC,

；?BC=BE+EF+FC=AE+EF+FC=的周長=2.

故選:A.

【變式1-3］（2023春?乾縣期末）如圖，在△48C中，邊的中垂線Z）E,分別與AB、AC

邊交于點(diǎn)。、E兩點(diǎn),8c邊的中垂線尸G,分別與8C、AC邊交于點(diǎn)尸、G兩點(diǎn)，連接

BE、BG.若△8EG的周長為16,GE=\.則4c的長為（)

C.15D.16

分析?：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：???。七是線段人8的中垂線，Gr是線段8c的中垂線,

???EB=EA,GB=GC,

?.?△3￡G周長為16,

：.EB+GB+EG=\(),

：.EA+GC+EG=\6,

JGA+EG+EG+EG+EC=16,

：.AC+2EG=\6,

VEG=1,

AAC=14,

故選：B.

【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】

【例2】（2023?越秀區(qū)模擬）如圖，在RlZSABC中，ZC=90°,AB邊的垂直平分線。E交

BC于點(diǎn)、D,交AB于點(diǎn)、E,連接AD,AO將NCA8分成兩個角，且NC4。：ZBAD=2：

5,則NAOC的度數(shù)是（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

分析：設(shè)NC4O=2i°,ZBAD=5x°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出3O=AQ,求出

ZBAD=ZB=5x°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出NC48+N8=90°,求出x,再求出N

8和NR4O,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可.

【解答】解：設(shè)NC4Z）=2x°,ZBAD=5x°,

TAB的垂直平分線是D￡,

:?BD=AD,

:?NBAD=NB,

即NB=5x°,

VZC=90°,

???/C48+/B=90°,

:.2A+5A+5A=90,

解得：X=竽,

75

即NB=NB4Q=(―)

2

7575

AZADC=ZB+ZBAD=(—)°+(——)°=75°,

22

【變式2-1]（2023春?建平縣期末）如圖，已知△A4C中，N4=5（）°,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),

過點(diǎn)P的直線MN分別交/W,BC于點(diǎn)M、N.若M在粗的中垂線上，N在PC的中垂

線上，則NAPC的度數(shù)為（）

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到NB4C+N4cB=130°,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)

得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形的性質(zhì)得到ZCPN=ZPCN,

進(jìn)而得出NM4P+N尸QV=NB4C+NACP二;X13O°=65°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計

算即可.

【解答】解：???/4BC=50°,

???NZMC+NAC8=130",

???加在雨的中垂線上，N在PC的中垂線上，

：.AM=PM,PN=CN,

JZMAP=ZAPM,ZCPN=ZPCN,

VZAPC=1800-ZAPM-ZCP/V=1800-APAC-ZACP,

：.ZMAP+ZPCN=ZPAC+ZACP=1x130°=65°,

/.ZAPC=115°,

故選：C.

【變式2-2]（2023?市南區(qū)一模）如圖，在△/WC中，點(diǎn)。是邊人8和人。的垂直平分線OD、

OE的交點(diǎn)、,若N80C=100°,則這兩條垂直平分線相交所成銳角a的度數(shù)為（）

B

A.40°B.45°C.50°D.80°

分析：連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出0A=08=。。，根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)得出N/MO=N46O,ZOBC=ZOCB,ZCAO=ZACO,求出N/MC,再根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可.

【解答】解：連接04

???點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線。。、OE的交點(diǎn)，

：.OA=OB,OB=OC,

：?OA=OB=OC,

???NB4O=NABO,NOBC=NOCB,NCAO=NACO,

VZBOC=100°,

???NO3C+NOC8=18()°-100°=80°,

AZABO+ZBAO+ZOCA+ZOAC=l80°-(NO8C+NOCB)=100°,

???2CZBAO+ZCAO)=100°,

即N84C=50°,

???點(diǎn)0是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，

，NOD4=NOE4=90°,

AZDOE=360C-90"-90°-50°=130°,

AZa=180°-130°=50°,

故選：C.

【變式2-3](2023春?安國市期末)如圖，在△ABC中，/是三角形角平分線的交點(diǎn)，。是

三邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接A/,BLAO,BO,若NAO8=140°,則NA/8的大小為

()

c

A.160°B.1400C.130sD.125°

分析：連接CO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出?陽A,根據(jù)線段垂直平分線的性

質(zhì)得到Q4=OC,OB=OC,進(jìn)而得到NOCA=NQ4C,NOCB=NOBC,求出NC4B+

NC8A,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解:連接CO.

???/AOB=140°,

???NOA8+N。8A=180°-140°=40°,

AZOCA+ZOAC+ZOCB+ZOBC=\^<>-40°=140°,

???o是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

：.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,ZOCB=ZOBC,

：?NOCA+NOCB=70°,

，NG4B+NC84=180°-70°=110°,

???A/平分NB4C,8/平分NA8C,

11

乙/1

AZIAB+ZIBA=1(/CAB+NCB4)=55°，

???NA/B=180°-55°=125°，

故選：O.

【題型3線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】

【例31（2023秋?甘井子區(qū)期末）如圖，電信部門要在公路/旁修建一座移動信號發(fā)射塔.按

照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建在（）

A.A處B.8處C.C處D.。處

分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：尸'

根據(jù)作圖可知：E尸是線段MN的垂直平分線,

所以E/上的點(diǎn)到M、N的距離相等，

即發(fā)射塔應(yīng)該建在。處，

故選：C.

【變式3-1]（2023秋?偃師市期末）元旦聯(lián)歡會上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C

三名同學(xué)距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝.如果將A、8、C三名同學(xué)

所在位置看作△ABC的三個頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）

A.三邊中線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三邊上高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

分析?：為使游戲公平，要使凳子到二個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)

到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上.

【解答】解：???三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，

???凳子應(yīng)放在AABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最合適.

故選：

【變式3-2]（2023春?寧陽縣期末）如圖，若記北京為人地，莫斯科為B地，雅典為C地,

若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉,使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）

三邊中線的交點(diǎn)

C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

分析：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：:中轉(zhuǎn)倉到4、8兩地的距離相等，

???中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AB的垂直平分線上，

同理，中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AC、AC的垂直平分線上，

;中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，

，中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上，

故選：4.

【變式3-3］（2023春?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若十政策的意

見》中提出“進(jìn)一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機(jī)構(gòu)和財政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件

的可實(shí)行并村”.《中共中央國務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實(shí)推進(jìn)社會主義新農(nóng)村建

設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點(diǎn)，節(jié)約農(nóng)村

建設(shè)用地”.以上兩個政策出臺后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)

的三個出口A、3、。的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在

小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁

應(yīng)該在（）

A.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處

B.三個角的平分線的交點(diǎn)處

C.三角形三條高線的交點(diǎn)處

D.三角形三條中線的交點(diǎn)處

分析：根據(jù)性的垂直平分線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???電動車充電樁到三個出口的距離都相等,

???充電樁應(yīng)該在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，

故選：A.

【題型4線段垂直平分線的性質(zhì)綜合】

【例4】（2023春?平頂山期中）如圖，在△A3C中，3c于點(diǎn)E,NB=225°,A3的

垂直平分線。N交于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)N,OF上AC于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M.求證：

（1）AE=DE；

（2）EM=EC.

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=O8,得到ND48=NB=22.5°,根據(jù)

三角形的外角性質(zhì)得到/4?！?/。48+/8=45°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；

（2）證明△MQEg△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】證明：（1）;ON是AB的垂直平分線，

:?DA=DB,

AZDAB=ZB=22.5°,

AZADE=ZDAB+ZB=45°,

'/AEIBC,

AZAED=90°,

ZDAE=ZADE=45<>,

：.AE=DE；

（2）,JDFLAC.AE_BC,

:?/MDE=/CAE,

在△MOE和△%￡：?+>,

NMDE=Z.CAE

DE=AE,

/OEM=Z.AEC

AAMDE^ACAE（ASA）,

：.EM=EC.

【變式4-1］（2023春?高州市期末）如圖，在四邊形ABC。中，8。所在的直線垂直平分線

段AC,過點(diǎn)A作8c的平行線A尸交CQ于F,延長AB、DC交于點(diǎn)E.

求證：（1）AC平分NE4P；

（2）NFAD=NE.

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N'BAC

=4BCA,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC4/=NBCA,等量代換證明結(jié)論；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ND4C=N

DCA,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：（1）???B。所在的直線垂直平分線段AC,

：?BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA,

,CBC//AF,

：,ZCAF=ZBCA,

：.ZCAF=/BAC,即AC平分NEAR

（2）???8。所在的直線垂直平分線段AC,

:?DA=DC,

：,ZDAC=ZDCA,

VZDCA是△ACE的一個外角，

???NOCA=NE+NEAC,

???ZE+ZEAC=ZFAD+ZCAF,

?：4CAF=4EAC,

：.ZFAD=ZE.

【變式4-2］（2023春?蓮湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是8C邊上的一點(diǎn)，連接AE,

8。垂直平分AE,垂足為尸，交AC于點(diǎn)。，連接。E.

（1）若△A4C的周長為18,△QEC的周長為6,求A/3的長.

（2）若N4BC=30°,ZC=45°,求NCDE的度數(shù).

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BE,AD=DE,根據(jù)三角形的周長公

式計算:，得到答案；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBAC,證明△84。絲△3EO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到N3￡O=N3AC=105°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可.

【解答】解：（1）???B。是線段4E的垂直平分線，

:.AB=BE,AD=DE,

???△A3c的周長為18,△OEC的周長為6,

:.AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE=CD+CE+AD=6,

：.AB+BE=\S-6=12,

???AB=6；

（2）VZ/\Z?C=30°,ZC=45°,

???NBAC=180°-30°-45°=105°,

在△BAD和△8EO中，

BA=BE

BD=BD，

DA=DE

:.△BAD94RED（SSS）,

：.ZBED=ZBAC=\05°,

：.ZCDE=ZBED-ZC=105°-45°=60°.

【變式4-3］（2023秋?淹池縣期末）在△/WC中，A8的垂直平分線A交4C于點(diǎn)。，AC的

垂直平分線/2交8C于點(diǎn)E,/1與/2相交于點(diǎn)O,△AOE的周長為6.

（1）AQ與的數(shù)量關(guān)系為.

（2）求BC的長.

（3）分別連接。4,OB,OC,若△OBC的周長為16,求。4的長.

分析：（I）根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等解答；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC,根據(jù)三角形的周長公式計算即可；

（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到O8=OC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：（1）??1是線段人8的垂直平分線，

：?AD=BD,

故答案為：AD=BD；

（2）???/2是線段AC的垂直平分線,

：.EA=EC,

△月?！甑闹荛L為6,

???AO+QE+AE=6,

：.BD+DE+EC=6,即8c=6；

（3）???/i是線段A/3的垂直平分線,

：.OA=OB,

???/2是線段AC的垂直平分線，

OA=OC,

：.OB=OC,

???△03C的周長為16,BC=6,

：.OB+OC=\Q,

：.0A=0B=0C=5.

【知識點(diǎn)2線段垂直平分線的判定】

到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點(diǎn)需要找兩個）

【題型5線段垂直平分線的判定】

【例5】（2023秋?儀征市月考）如圖.AB=AC,MB=MC.求證：直線4M是線段8C的垂

直平分線.

分析：由M8=MC,根據(jù)線段垂直平分線的判定定理，可得點(diǎn)4在8C的垂直

平分線上，點(diǎn)M在8c的垂直平分線上，又由兩點(diǎn)確定一條直線，可得直線AM是線段

8C的垂直平分線.

【解答】證明：???/W=AC,

點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，

???點(diǎn)M在3c的垂直平分線上，

???直線AM是BC的垂直平分線.

【變式5-1］（2023?沐陽縣校級開學(xué)）如圖./XABC中，NB=NC,點(diǎn)尸、Q、R分別在A8、

BC、AC上，且P8=0C,QB=RC.

求證：點(diǎn)。在PR的垂直平分線上.

分析：根據(jù)全等三角形的判定定理證明aBQ尸g/\CRQ,得到QP=QR,根據(jù)線段的垂

直平分線的判定證明結(jié)論.

【解答】證明：連接PQ,

在△8QP和△CRQ中，

PB=QC

Z.B=Z.C,

QB=RC

:.ABQP父ACRQ,

???QP=QR,

???點(diǎn)。在PR的垂直平分線上.

【變式5-2］（2023秋?博白縣期末）如圖，△A8C中，ZACB=90°,AD平分N8ACDE

LAI3于E.

（1）若NB4C=50°,求NED4的度數(shù)；

（2）求證：直線月。是線段CE的垂直平分線.

分析：（1）在求出/￡4。即可解決問題；

（2）只要證明4E=AC,利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明;

【解答】（1）解：???/BAC=50°,A。平分N8AC,

.\Z￡AD=iz/MC=25o,

乙

*：DELAB,

/.^AED=9Q°,

???NEQA=90°-25°=65°.

(2)證明???Q￡_L46,

.?./A￡/)=9(r=/AC力,

又?.?4。平分N84C,

：,ZDAE=ZDACf

,：AD=AD.

：./\AED^/\ACD,

：.A