江蘇省南通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或2．設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A． B． C． D．4．對于實(shí)數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”?！疤旄伞币浴凹住弊珠_始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得?0個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡。2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年6．下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是A． B． C． D．7．已知變量x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．29．已知在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，表示的曲線過原點(diǎn)，且在處的切線斜率均為，有以下命題：①的解析式為；②的極值點(diǎn)有且僅有一個；③的最大值與最小值之和等于零.其中正確的命題個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個11．設(shè)且，則“”是“”的()A．必要不充分條件B．充要條件C．既不充分也不必要條件D．充分不必要條件12．設(shè)集合,,,則集合中元素的個數(shù)為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知線段AB長為3，A、B兩點(diǎn)到平面的距離分別為1與2，則AB所在直線與平面所成角的大小為________.14．二項(xiàng)式的展開式中，含的系數(shù)為_______．15．隨機(jī)變量的分布列如下：若，則__________.16．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)在橢圓C:上，A，B是長軸的兩個端點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線CD的斜率為2，以E(1，0)為圓心的圓與直線CD相切，且切點(diǎn)為線段CD的中點(diǎn)，求該圓的方程.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：（）．19．（12分）已知圓D:(x-2)2+(y-1)2=1，點(diǎn)A在拋物線C:y（1）求點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）如圖，當(dāng)直線OA過圓心D時，過點(diǎn)A作拋物線的切線交y軸于點(diǎn)B，過點(diǎn)B引直線l交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與直線OA,OQ交于M,N，求證：M為PN中點(diǎn).20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），直線：（為參數(shù)）.（1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（2）點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，求到直線的距離的最大值.21．（12分）某市房地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所的數(shù)據(jù)顯示，2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示，3月至7月房價上漲過快，政府從8月采取宏觀調(diào)控措施，10月份開始房價得到很好的抑制.（1）地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究所發(fā)現(xiàn)，3月至7月的各月均價（萬元/平方米）與月份之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，試求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若政府不調(diào)控，按照3月份至7月份房價的變化趨勢預(yù)測12月份該市新建住宅的銷售均價.參考數(shù)據(jù)：參考公式：.22．（10分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)是棱上的一點(diǎn)，當(dāng)平面時，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】或．故選C．點(diǎn)睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點(diǎn)集還是其它集合．2、求集合的交、交、補(bǔ)時，一般先化簡，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．3、在進(jìn)行集合的運(yùn)算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點(diǎn)值的取舍．2、D【解析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)需滿足，即．應(yīng)選答案D。點(diǎn)睛：解答本題時充分運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)等價于，即．使得問題獲解。3、A【解析】分析：根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，可求得函數(shù)的解析式；根據(jù)解析式確定’的值。詳解：令，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)所以（1），因?yàn)闉槠婧瘮?shù)所以（2）（1）-（2）得（3），令代入得（4）由（3）、（4）聯(lián)立得代入得所以所以所以選A點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)解析式的求解，主要是利用方程組思想確定解析式。方法相對比較固定，需要掌握特定的技巧，屬于中檔題。4、A【解析】

先判斷和成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數(shù)的真數(shù)大于零這個知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】

按照題中規(guī)則依次從2019年列舉到2026年，可得出答案?！驹斀狻扛鶕?jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：C。本題考查合情推理的應(yīng)用，理解題中“干支紀(jì)年法”的定義，并找出相應(yīng)的規(guī)律，是解本題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于中等題。6、B【解析】分析：確定函數(shù)過定點(diǎn)（1，0）關(guān)于x=1對稱點(diǎn)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可．詳解：函數(shù)過定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過此點(diǎn)．故選項(xiàng)B正確點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題．7、B【解析】畫出二元一次不等式所示的可行域，目標(biāo)函數(shù)為截距型，，可知截距越大值越大，根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為，則的最大值為2，選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍．8、C【解析】

直接由復(fù)數(shù)商的模等于模的商求解．【詳解】，

．

故選：C．本題考查復(fù)數(shù)模的求法，復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題．9、A【解析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用已知不等式確定的單調(diào)性，詳解：設(shè)，則，由已知得，∴是減函數(shù)．∵是偶函數(shù)，∴的圖象關(guān)于直線對稱，∴，，的解集為，即的解集為．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是是構(gòu)造新函數(shù)，對于含有的已知不等式，一般要構(gòu)造新函數(shù)如，，，等等，從而能利用已知條件確定的單調(diào)性，再解出題中不等式的解集．10、C【解析】

首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)過原點(diǎn)，列方程組求出的解析式，則命題①得到判斷；然后令，求出的極值點(diǎn)，進(jìn)而求得的最值，則命題②③得出判斷．【詳解】∵函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，∴．又，且在處的切線斜率均為，∴，解得，∴．所以①正確．又由得，所以②不正確．可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極大值為，極小值為，又，∴，∴的最大值與最小值之和等于零．所以③正確．綜上可得①③正確．故選C．本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及函數(shù)的極值、最值的求法，考查運(yùn)算能力和應(yīng)用能力，屬于綜合問題，解答時需注意各類問題的解法，根據(jù)相應(yīng)問題的解法求解即可．11、C【解析】或;而時,有可能為.所以兩者沒有包含關(guān)系,故選.12、A【解析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結(jié)合題中條件,確定對應(yīng)的選法，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．本題主要考查列舉法求集合中元素個數(shù)，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

根據(jù)A、B兩點(diǎn)與平面的位置分類討論，再解三角形求線面角.【詳解】A,B兩點(diǎn)在平面同側(cè)時，如圖：為AB所在直線與平面所成角,因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在平面異側(cè)時，，所以AB所在直線與平面所成角為故答案為：或本題考查線面角以及直線與平面位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、1【解析】

根據(jù)題意，由展開式的通項(xiàng)，令，可得，將代入通項(xiàng)計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，

令，可得，

此時，

即含的系數(shù)為1，

故答案為：1．本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．15、【解析】

利用概率之和為以及數(shù)學(xué)期望列方程組解出和的值，最后利用方差的計算公式可求出的值?！驹斀狻坑深}意可得，解得，因此，，故答案為：。本題考查隨機(jī)分布列的性質(zhì)以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的計算，解題時要注意概率之和為這個隱含條件，其次就是熟悉隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差的公式，考查計算能力，屬于中等題。16、【解析】

由韋達(dá)定理求出與，帶入計算即可?！驹斀狻坑梢辉尾坏仁脚c一元二次等式的關(guān)系，知道的解為，由韋達(dá)定理知，，所以當(dāng)且僅當(dāng)取等號。本題考查韋達(dá)定理與基本不等式，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）聯(lián)立方程解出ab（2）根據(jù)題意設(shè)出直線CD,聯(lián)立方程得到兩根之和與兩根之積，再利用中點(diǎn)加垂直，解出參數(shù)．【詳解】（1）依題意有：∴，∴（2）設(shè)CD：由得設(shè)，，CD中點(diǎn)則，∴，∴Q（，）又EQ⊥CD∴∴∴∴∴該圓的方程為.本題綜合考查橢圓、圓、直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．18、(1)(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入()，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，以上兩式相減，得，∴，∴，∴（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，∴（）．點(diǎn)睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R點(diǎn)，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.19、（1）xA【解析】

（1）設(shè)lOA:y=kx，聯(lián)立拋物線，再利用圓D與直線相交建立不等式，從而確定點(diǎn)（2）可先找到函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)確定切線的斜率，設(shè)l:y=mx+4,Py124,【詳解】解：（1）由題意直線OA斜率存在且不為零，設(shè)lOAy=kxD2,1到lOA:kx-y=0所以xA（2）當(dāng)直線OA過圓心D2,1時，k=y2=4xy>0lAB：y-8=所以B0，4由lOA:y=1y=mx+4y2=4xyP即M為PN中點(diǎn)．本題主要考查了直線與圓，拋物線的位置關(guān)系，切線問題等，綜合性強(qiáng)，直線與圓的相關(guān)計算?？键c(diǎn)到直線的距離公式，必須熟記.20、（1）直線與曲線相離（2）【解析】

（1）先分別求出曲線C和直線l的普通方程，再聯(lián)立求，判斷位置關(guān)系；（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線l的距離最大值。【詳解】解：（1）曲線的普通方程為，直線的普通方程為.由，得，因?yàn)椋灾本€與曲線相離.（2）設(shè)點(diǎn)，則到直線：的距離（其中），所以到直線的距離的最大值為.本題考查參數(shù)化為普通方程，以及用點(diǎn)到直線的距離公式求曲線上動點(diǎn)到直線的最大值。21、(1)(2)銷售均價約為1.52萬元/平方米【解析】分析：（1）由題意，計算，，求出，，即可寫出回歸方程；（2）利用（1）中回歸方程，計算時的值即可.詳解：（1）月份34567均價0.950.981.111.121.20計算可得，，，所以，，所以關(guān)于的回歸直線方程為.（2）將代入回歸直線方程得，所以預(yù)測12月份該市新建住宅的銷售均價約為1.52萬元/平方米.點(diǎn)睛：本題考查了回歸直線方程的求法與