江蘇省連云港市贛榆區(qū)海頭高中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下圖是某公司10個(gè)銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺(tái))的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30)內(nèi)的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.62．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．33．對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?，F(xiàn)有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨(dú)立，且命中概率都是。則打光子彈的概率是（）A． B． C． D．5．下列命題①多面體的面數(shù)最少為4；②正多面體只有5種；③凸多面體是簡(jiǎn)單多面體；④一個(gè)幾何體的表面，經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡(jiǎn)單多面體．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．8．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（）A．1 B． C． D．9．給出四個(gè)函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個(gè)函數(shù)圖象正確的匹配方案是（）A.①—?、凇尧邸堋譈.①—乙②—丙③—甲④—丁C.①—丙②—甲③—乙④—丁D.①—?、凇注邸尧堋?0．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)，則三種粽子各取到1個(gè)的概率是（）A． B． C． D．11．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．東漢·王充《論衡·宜漢篇》：“且孔子所謂一世，三十年也.”，清代·段玉裁《說文解字注》：“三十年為一世.按父子相繼曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，為了避李世民的諱，“一世”方改為“一代”，當(dāng)代中國學(xué)者測(cè)算“一代”平均為25年.另據(jù)美國麥肯錫公司的研究報(bào)告顯示，全球家庭企業(yè)的平均壽命其實(shí)只有24年，其中只有約的家族企業(yè)可以傳到第二代，能夠傳到第三代的家族企業(yè)數(shù)量為總量的，只有的家族企業(yè)在第三代后還能夠繼續(xù)為股東創(chuàng)造價(jià)值.根據(jù)上述材料，可以推斷美國學(xué)者認(rèn)為“一代”應(yīng)為__________年．14．在三棱錐中，，，，記三棱錐的體積為，其外接球的體積為，則__15．已知命題任意，恒成立，命題方程表示雙曲線，若“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______.16．已知，，若向量與共線，則在方向上的投影為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為4的正方形,，.(l)求證:；(2)求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數(shù)(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最大值與最小值。19．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對(duì)任意的均成立，求實(shí)數(shù)的最小值.22．（10分）設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】區(qū)間[22,31)內(nèi)的數(shù)據(jù)共有4個(gè)，總的數(shù)據(jù)共有11個(gè)，所以頻率為1．4,故選B．2、C【解析】

求導(dǎo)后代入即可.【詳解】易得,故函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點(diǎn)：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點(diǎn)4、B【解析】

打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次?！驹斀狻?次中0次：5次中一次：5次中兩次：前4次中一次，最后一次必中則打光子彈的概率是++=,選B本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。5、D【解析】

根據(jù)多面體的定義判斷．【詳解】正多面體只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正確．表面經(jīng)過連續(xù)變形為球面的多面體就叫簡(jiǎn)單多面體．棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體．所以③④正確．故：①②③④都正確根據(jù)多面體的定義判斷．6、A【解析】試題分析：函數(shù)定義域是，，，設(shè)，則，設(shè)，則，，易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的知識(shí)，考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，題意只要函數(shù)的最小值不大于0，因此要確定的正負(fù)與零點(diǎn)，又要對(duì)求導(dǎo)，得，此時(shí)再研究其分子，于是又一次求導(dǎo)，最終確定出函數(shù)的最小值，本題解題時(shí)多次求導(dǎo)，考查了學(xué)生的分析問題與解決問題的能力，難度較大．7、A【解析】

設(shè)，，，，代入橢圓方程得，利用“點(diǎn)差法”可得．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，利用斜率計(jì)算公式可得．于是得到，化為，再利用，即可解得，．進(jìn)而得到橢圓的方程．【詳解】解：設(shè)，，，，代入橢圓方程得，相減得，．，，．，化為，又，解得，．橢圓的方程為．故選：．熟練掌握“點(diǎn)差法”和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．8、D【解析】分析：先求公比，再得m,n關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最值.詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因此?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)選點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.9、D【解析】四個(gè)函數(shù)圖象，分別對(duì)應(yīng)甲指數(shù)函數(shù)，乙對(duì)數(shù)函數(shù)，丙冪函數(shù)，丁正比例函數(shù)；而滿足①是正比例函數(shù)；②是指數(shù)函數(shù)；③是對(duì)數(shù)函數(shù)；④是冪函數(shù)，所以匹配方案是①—?、凇注邸尧堋?，選D。10、C【解析】試題分析：由題可先算出10個(gè)元素中取出3個(gè)的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個(gè)有種情況，則可由古典概率得；考點(diǎn)：古典概率的算法．11、B【解析】當(dāng)α⊥β時(shí)，平面α內(nèi)的直線m不一定和平面β垂直，但當(dāng)直線m垂直于平面β時(shí)，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個(gè)平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．12、C【解析】分析：根據(jù)命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結(jié)論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關(guān)系的應(yīng)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

設(shè)美國學(xué)者認(rèn)為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，然后利用平均數(shù)公式列方程解出的值，即可得出所求結(jié)果．【詳解】設(shè)美國學(xué)者認(rèn)為的一代為年，然后可得出壽命在、、、的家族企業(yè)的頻率分別為、、、，則家族企業(yè)的平均壽命為，解得，因此，美國學(xué)者認(rèn)為“一代”應(yīng)為年，故答案為.本題考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵要審清題意，將題中一些關(guān)鍵信息和數(shù)據(jù)收集起來，結(jié)合相應(yīng)的條件或公式列等式或代數(shù)式進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．14、【解析】

由題意畫出圖形，取中點(diǎn)，連接，，可得平面，求其面積，得到三棱錐的體積為，取中點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，求出三棱錐的外接球的體積為，作比得答案．【詳解】如圖，，，，，，取中點(diǎn)，連接，，則，，且，．在中，由，，，得，．則．，即；取中點(diǎn)，連接，則為三棱錐的外接球的半徑，．三棱錐的外接球的體積為．．本題主要考查多面體及其外接球的體積的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。15、【解析】

根據(jù)題意求出命題P，Q的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式即為，滿足條件，若，不等式恒成立，則滿足，解得，綜上，即；若方程表示雙曲線，則，得，即；若“”為真命題，則兩個(gè)命題都為真，則，解得；故答案是：.該題考查的是有關(guān)邏輯的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)合命題的真值，根據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，注意對(duì)各個(gè)命題為真時(shí)對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍的正確求解是關(guān)鍵.16、【解析】

,由向量與共線，得，解得，則在方向上的投影為，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的正方形，所以，又，，由線面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分別以AC，AB，為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，同理得平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.本題考查了直線與平面垂直判定與證明，以及空間角的求解問題，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的值，作為切線的斜率，并計(jì)算出，再利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出極值，再與端點(diǎn)值比較大小，即可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。【詳解】（1），，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，，因?yàn)?，，所以，，則，所以，函數(shù)在上的最大值為。本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)，在處理函數(shù)的最值時(shí)，要充分利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并將極值與端點(diǎn)函數(shù)值作大小比較得出結(jié)論，考查計(jì)算能力與分析問題的能力，屬于中等題。19、（1）；（2）.【解析】

（1）由等差中項(xiàng)解得，依題意解得，根據(jù)即可求得通項(xiàng)公式（2）根據(jù)找到正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，分類討論求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)椋?，?設(shè)的公差為，因?yàn)?，即，所以?（2）由（1）可知，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，本題考察等差數(shù)列通項(xiàng)公式與絕對(duì)值求和20、(I)(II)【解析】

(I)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出的值，而后求出橢圓的方程；(II)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個(gè)方程，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，利用S＝|OP||y1－y2|進(jìn)行求解．【詳解】解：(1)由題意得:,解得:即軌跡E的方程為＋y2＝1.(2)記A(x1，y1)，B(x2，y2)，故可設(shè)AB的方程為x＝y(tǒng)＋1.由消去x得5y2＋2y－3＝0，所以設(shè)直線與軸交于點(diǎn)S＝|OP||y1－y2|S＝.本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系．21、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負(fù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞