第=page1111頁，共=sectionpages1717頁2025年湖南省長沙市中考數(shù)學信息試卷（一）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學經(jīng)典著作，其中“方程術(shù)”最早引入“負數(shù)”，用正、負數(shù)表示相反意義的量.若跳遠測試以2米為基準，跳2.1米記作+0.1米，那么跳1.7米應記作(

)A.+0.3米 B.-1.7米 C.+1.7米 D.-0.3米2.科學研究估算，長沙洋湖濕地公園生態(tài)系統(tǒng)中約有28，000，000，000，000個微生物.若用科學記數(shù)法表示該數(shù)量，正確選項是(

)A.28×1012 B.2.8×1012 C.3.未來乃可預見之時代，寰宇知名人工智能企業(yè)徽標林立，請問下列圖示中，屬中心對稱而非軸對稱者為幾何(

)A. B.

C. D.4.在湖南師大附中梅溪湖中學第四屆校園歌手大賽中，某組參賽選手得分如下(單位：分)：6，7，7，7，8，9，9，則該組參賽選手得分的中位數(shù)是多少分(

)A.6分 B.8分 C.7分 D.9分5.在下列調(diào)查中，適宜采用普查的是(

)A.調(diào)查某神舟號火箭的零件安全情況 B.調(diào)查長沙縣中小學生心理健康情況

C.調(diào)查橘子洲頭游園日均客流量 D.調(diào)查《新聞聯(lián)播》欄目的收視率6.已知點A(-6,m+2)，B(-3,m)，C(3,m)在同一個函數(shù)圖象上，則這個函數(shù)圖象可能是(

)A. B. C. D.7.如圖，直線m/?/n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接AB過點A作AC⊥AB，交直線m于點C.若∠1=60°，則∠2的度數(shù)為(

)

A.30° B.20° C.40° D.50°8.如圖是某景點示意圖，建立直角坐標系(以南北方向為縱軸，東西方向為橫軸)，濕地和古村落的坐標分別為(-2,2)，(-4,1)，流動服務(wù)站在原點.若要使服務(wù)站到古村落和沙灘的距離相等，則該服務(wù)站需(

)A.向左平移1個單位

B.向右平移1個單位

C.向上平移2個單位

D.向下平移2個單位9.阿基米德曾說過“給我一個支點，我能撬動整個地球.”這句話生動體現(xiàn)了杠桿原理一通過調(diào)整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物.這一原理在生活中隨處可見，比如用撬棍搬石頭、用剪刀剪紙，甚至開瓶器開啤酒，都是杠桿的巧妙運用.如圖①，這是杠桿撬動石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端會翹起，石頭就撬動了.如圖②所示，BD的距離為5cm，動力臂OA=18cm，阻力臂OB=6cm，則AC的長度為(????)cm．A.15 B.12 C.9 D.1110.2024年11月2日，以“走起來就青春”為主題的第一屆全國全民健身大賽“2024湖南(秋季)百公里”從洋湖濕地公園開啟，數(shù)千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越長株潭三城，活動全程近100km.第一天上午，學生小毅跟隨大部隊從白鷺廣場出發(fā)，勻速徒步至巴溪洲廣場，休整后再從巴溪洲廣場勻速徒步至湘江保利時代.他徒步的路程y?km與其所用時間x?h之間的圖象如圖所示，則當他徒步4小時后(含中途休整時間)，他離終點目標的路程為(

)A.83km B.82km C.81km D.80km二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.若要使分式22x+5有意義，則X的取值范圍是______．12.若2x-1=1，則x=______．13.已知一個山坡的坡度為1：1，則山坡的坡角為______．14.一個不透明的布袋里裝有3個紅球，4個黃球，2個白球，2個黑球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出1個球，是黃球的概率為______．15.如圖，點P在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，PA⊥x軸于點A，△PAO的面積為2，則k的值為______．

16.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC到點E，連接AE，使AE=AB.若∠ADC=40°，則∠E的度數(shù)為______．

三、計算題：本大題共1小題，共6分。17.先化簡，再求值：(1-3x+1)÷x2四、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題6分)

計算：8-(π-9)19.(本小題6分)

我國生產(chǎn)的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度MN，工作人員使用無人飛機通過設(shè)備在P處測得M，N兩處的俯角分別為α=60°和β=37°，測得無人機離水平地面的高度PQ為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度MN為多少米？(參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，3=1.73，結(jié)果保留整數(shù)20.(本小題8分)

如圖，△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，H為EC中點，BE=AC．

(1)求證：AH⊥BC；

(2)若∠B=36°，求∠BAC的度數(shù)．21.(本小題8分)

在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，利用尺規(guī)作圖在AC邊上求作一點D，使得△ABC∽△BDC.(不寫作法，保留作圖痕跡)

22.(本小題9分)

為落實“雙減”政策，增強學生體質(zhì)，陽光中學積極開展體育健身活動.了解初三學生的投籃命中率，組織了初三學生定點投籃，規(guī)定每人投籃3次.現(xiàn)對初三(1)班每名學生投中的次數(shù)進行統(tǒng)計，繪制成如下的兩幅統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題．

(1)初三(1)班的學生投中2次的人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中n=______%；

(2)扇形統(tǒng)計圖中“3次”對應的圓心角的度數(shù)為______；

(3)在投中3次的學生中，有2名男生2名女生，現(xiàn)要抽調(diào)兩名學生參加學校投籃比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．23.(本小題9分)

某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費2800元；第二次購進A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費1200元．

(1)求購進A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；

(2)若該禮品店準備再次購進兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進A種禮品盒多少盒？

(3)在(2)的條件下，若每個A禮品盒的利潤為20元，每個B禮品盒的利潤為36元，如何進貨才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少元？24.(本小題10分)

在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點的切線．

(1)如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點M，連結(jié)CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大??；

(2)如圖②，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，求證：AE=EC；

(3)如圖③，在(1)(2)的條件下，若tanA=34，求S△ADE：S25.(本小題10分)

定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？

(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點B到直線AD的距離為BE．

①求BE的長；

②若M、N分別是AB、AD邊上的動點，求△MNC周長的最小值．

答案和解析1.【答案】D

【解析】若跳遠測試以2米為基準，跳2.1米記作+0.1米，那么跳1.7米應記作1.7-2=-0.3(米)，

故選：D．

2.【答案】C

【解析】28000000000000=2.8×1013．

故選：C．

3.【答案】【解析】A.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：B．

4.【答案】C

【解析】一共有7個數(shù)據(jù)，從小到大排序為：6，7，7，7，8，9，9，

∴中位數(shù)為第4個數(shù)，即為7，

故選：C．

5.【答案】A

【解析】A.調(diào)查某神舟號火箭的零件安全情況，適宜采用普查，故A符合題意；

B.調(diào)查長沙縣中小學生心理健康情況，適宜采用抽樣調(diào)查，故B不符合題意；

C.調(diào)查橘子洲頭游園日均客流量，適宜采用抽樣調(diào)查，故C不符合題意；

D.調(diào)查《新聞聯(lián)播》欄目的收視率，適宜采用抽樣調(diào)查，故D不符合題意；

故選：A．

6.【答案】B

【解析】∵點B(-3,m)，C(3,m)，

∴B與C關(guān)于y軸對稱，

即這個函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故選項A，C不符合題意；

∵A(-6,m+2)，B(-3,m)，

∴當x<0時，y隨x的增大而減小，故選項B符合題意，選項D不符合題意．

故選：B．

7.【答案】A

【解析】如圖，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

∵m/?/n，∠1=60°，

∴∠CAD=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠BAC-∠CAD=30°，

故選：A．8.【答案】A

【解析】∵濕地和古村落的坐標分別為(-2,2)，(-4,1)，

∴坐標原點在沙灘北3個單位處，

∴若要使服務(wù)站到古村落和沙灘的距離相等，服務(wù)站需向左平移1個單位即可．

故選：A．

9.【答案】A

【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴AC/?/BD，

∴△AOC∽△BOD，

∴ACBD=AOOB，

∵BD的距離為5cm，動力臂OA=18cm，阻力臂OB=6cm，

∴AC5=186，

∴AC=15，

∴AC的長為15cm【解析】由題意得：從白鷺廣場出發(fā)，勻速徒步至巴溪洲廣場的速度為10÷2=5(千米/小時)，

休整后再從巴溪洲廣場勻速徒步至湘江保利時代的速度為(25-10)÷(5-2.5)=6(千米/小時)，

∴當他徒步4小時后(含中途休整時間)徒步的路程為10+(4-2.5)×6=19(千米)，

∴他離終點目標的路程為100-19=81(千米)．

故選：C．11.【答案】x>-5【解析】∵分式22x+5有意義，

∴2x+5>0，

解得，x>-52，

故答案為：x>-52【解析】兩邊都乘以(x-1)，得

2=x-1，

解得x=3，

經(jīng)檢驗x=3是原方程的解，

所以原方程的解為x=3．

故答案為：3．

13.【答案】45°

【解析】設(shè)坡角為α，已知一個山坡的坡度為1：1，

由題意得，tanα=11=1，

∴α=45°．

故答案為：45°．

14.【解析】∵一個不透明的布袋里裝有3個紅球，4個黃球，2個白球，2個黑球，

∴袋中球的總數(shù)為3+4+2+2=11，

∴從袋中任意摸出1個球，是黃球的概率為43+4+2+2=411．

故答案為：411．【解析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知，S△PAO=12|k|，

即12|k|=2，

解得：k=±4；

∵函數(shù)圖象位于第一、三象限，

∴k>0，

故k=4，

故答案為：【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=40°，

∴∠B=∠ADC=40°，

∵AE=AB(已知)，

∴∠E=∠B=40°(等邊對等角)，

即∠E的度數(shù)為40°．

故答案為：40°．

17.【答案】原式=(x+1x+1-3x+1)÷(x-2)2x+1

=x-2x+1?18.【答案】22【解析】8-(π-9)0-2219.【答案】∵PA//QN，

∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，

∴tan∠PMQ=PQQM，

∴QM=PQtan∠PMQ=PQtan60°=2403=803≈138.4(米)，

在Rt△PQN中，20.【答案】(1)證明：如圖，連接AE，

∵AB的垂直平分線EF交BC于點E，

∴AE=BE，

∵BE=AC，

∴AE=AC，

∵H為EC中點，

∴AH⊥BC；

(2)∵AE=BE，∠B=36°，

∴∠EAB=∠B=36°，

∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°，

∵AE=AC，

∴∠C=∠AEC=72°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠B=72°．

21.【答案】∵∠ABC=80°，∠ACB=60°，

∴∠A=40°，

∵∠C是公共角，

∴只要作∠DBC=∠A即可，

恰好∠ABC=2∠DBC，

∴作∠ABC的角平分線即可．

如圖所示：△ABC∽△BDC．

22.【解析】(1)九年級(1)班的學生人數(shù)12÷30%=40(人)，

投中2次的人數(shù)為：40-2-12-4=22(人)，

扇形統(tǒng)計圖中n=2240×100%=55%，

故答案為：55；

(2)440×360°=36°，

故答案為：36°；

(3)如下：

由圖可知，共有12種等可能的情況，其中恰好抽到2名男生的情況有2種，

223.【解析】(1)設(shè)購進A種禮品盒的單價是x元，B種禮品盒的單價是y元，

由題意得：10x+15y=28006x+5y=1200，

解得：x=100y=120，

答：購進A種禮品盒的單價是100元，B種禮品盒的單價是120元；

(2)設(shè)購進A種禮品盒m盒，則購進B種禮品盒(40-m)盒，

由題意得：100m+120(40-m)≤4500，

解得：m≥15，

答：至少購進A種禮品盒15盒；

(3)設(shè)銷售利潤為w元，

由題意得：w=20m+36(40-m)=-16m+1440，

∵-16<0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當m=15時，w有最大值，最大值=-16×15+1440=1200，

此時，40-m=25，

答：購進A種禮品盒15盒，B種禮品盒25盒才能使銷售利潤最大，最大利潤是120024.【解析】(1)由題意知，BC=BM，

∵∠ABC=66°，

∴∠BMC=∠BCM=57°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACM=∠ACB-∠BCM=90°-57°=33°；

(2)證明：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵AC為過C點的切線，

過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，

∴DE=CE，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE，

∴AE=CE；

(3)連接CD，

由(1)(2)可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°-∠B，

∴tan∠DCB=tan∠A=34=BDCD，

∴設(shè)BD=3x，CD-4x，則BC=BM=5x，

∵tan∠A=34=CDAD=4xAD=BCAC=5xAC，25.【答案】(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=∠C=∠D=90°，

∵將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使B