PAGEPAGE9坐標(biāo)系與參數(shù)方程【2024年高考考綱解讀】高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與一般方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡潔應(yīng)用．以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與一般方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線的位置關(guān)系等解析幾何學(xué)問．【重點、難點剖析】1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．設(shè)M是平面內(nèi)的隨意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))2．直線的極坐標(biāo)方程若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．幾個特別位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過極點：θ＝α；(2)直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸：ρcosθ＝a；(3)直線過Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b，\f(π,2)))且平行于極軸：ρsinθ＝b.3．圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρeq\o\al(2,)0－r2＝0.幾個特別位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r；(2)當(dāng)圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ；(3)當(dāng)圓心位于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r：ρ＝2rsinθ.(4)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．圓心在點A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρeq\o\al(2,)0－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．設(shè)P是直線上的任一點，則t表示有向線段eq\o(P0P,\s\up6(→))的數(shù)量．5．圓的參數(shù)方程圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．6．圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))．(2)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecθ，,y＝btanθ))(θ為參數(shù))．(3)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù)).【題型示例】題型一極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程【例1】(2024·全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．【解析】(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線．記y軸右側(cè)的射線為l1，y軸左側(cè)的射線為l2.由于點B在圓C2的外部，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝－eq\f(4,3)時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點，滿意題意．當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝eq\f(4,3)時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.【變式探究】．(2024·全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿意|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．【解析】(1)設(shè)點P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)，由題設(shè)知，|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．【變式探究】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\r(3)cost，,y＝\r(3)sint))(t為參數(shù)，a>0)．以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1上一點A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝cosθ.(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點M，N在C1上，點P在C2上(異于極點)，若O，M，P，N四點依次在同一條直線l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比數(shù)列，求l的極坐標(biāo)方程．解(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x－a)2＋y2＝3，化簡得x2＋y2－2ax＋a2－3＝0.又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以ρ2－2aρcosθ＋a2－3＝0.代入點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去)．所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ＋1＝0.(2)由題意知，設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)，設(shè)點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1，α))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，α))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ3，α))，則ρ1<ρ3<ρ2.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2－4ρcosθ＋1＝0，,θ＝α，))得ρ2－4ρcosα＋1＝0，所以ρ1＋ρ2＝4cosα，ρ1ρ2＝1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝cosθ，,θ＝α，))得ρ3＝cosα.因為|MP|，|OP|，|PN|成等比數(shù)列，所以ρeq\o\al(2,3)＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρeq\o\al(2,3)＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2.所以2cos2α＝4cos2α－1，解得cosα＝eq\f(\r(2),2)(舍負(fù))．經(jīng)檢驗，滿意O，M，P，N四點依次在同一條直線上，所以l的極坐標(biāo)方程為θ＝±eq\f(π,4)(ρ∈R)．【變式探究】將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．【命題意圖】本題主要考查參數(shù)方程與一般方程、極坐標(biāo)方程與一般方程間的轉(zhuǎn)化．結(jié)合方程的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用考查考生的應(yīng)用意識和轉(zhuǎn)化思想．【思路方法】(1)先列方程，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程．(2)解出交點，再求得直線方程，最終轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所求直線斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，化為極坐標(biāo)方程并整理，得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝eq\f(3,4sinθ－2cosθ).【感悟提升】若極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸正半軸重合，兩坐標(biāo)系的長度單位相同，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化．求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時，可以轉(zhuǎn)化為熟識的直角坐標(biāo)方程求解．若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示，則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)．題型二參數(shù)方程與一般方程的互化【例2】(2024·全國Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．【解析】(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，l與⊙O交于兩點．當(dāng)α≠eq\f(π,2)時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(|\r(2)|,\r(1＋k2))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿意t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點P的坐標(biāo)(x，y)滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以點P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).【感悟提升】(1)將參數(shù)方程化為一般方程，須要依據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等．(2)將參數(shù)方程化為一般方程時，要留意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標(biāo)出x，y的取值范圍．【變式探究】【2024·江蘇】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在平面坐標(biāo)系中中,已知直線的參考方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).設(shè)為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值.【答案】【解析】直線的一般方程為.因為點在曲線上，設(shè)，從而點到直線的的距離，當(dāng)時，.因此當(dāng)點的坐標(biāo)為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.【考點】參數(shù)方程化一般方程【變式探究】在直角坐標(biāo)系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為QUOTE（t為參數(shù),a＞0）．在以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2：ρ=.（I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（II）直線C3的極坐標(biāo)方程為,其中滿意tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a．【答案】（I）圓,（II）1【解析】解：（Ⅰ）消去參數(shù)得到的一般方程.是以為圓心，為半徑的圓.將代入的一般方程中，得到的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）曲線的公共點的極坐標(biāo)滿意方程組若，由方程組得，由已知，可得，從而，解得（舍去），.時，極點也為的公共點，在上.所以.【變式探究】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；解析直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2，0)，其極坐標(biāo)為(2，π)．答案(2，π)【變式探究】(2014·福建)已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))．(1)求直線l和圓C的一般方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．【命題意圖】本小題主要考查直線與圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)學(xué)問，意在考查考生的運算求解實力及化歸與轉(zhuǎn)化思想．【解題思路】(1)消去參數(shù)，即可求出直線l與圓C的一般方程．(2)求出圓心的坐標(biāo)，利用圓心到直線l的距離不大于半徑，得到關(guān)于參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)直線l的一般方程為2x－y－2a圓C的一般方程為x2＋y2＝16.(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq