概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題一經(jīng)找到,則該鑰匙落在教室里的概率.3分別記鑰匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B記找到鑰匙.則i=12、已知隨機(jī)變量X的概率密度為EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up1(+),0)0且Y=X2+2X，求(1)E(X);(2)E(Y);(3)D(X).（3）D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-1=12的矩估計(jì).-Λ- 設(shè)某次考試的考生的成績(jī)X服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取36位考生的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分,問(wèn)在顯著性水平0.05下,是否設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：(4)E(X),E(Y),E(XY)；當(dāng)x為其它情況時(shí)，f(x)=0X2、設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有3只白球、2只紅球，乙袋中裝有2只白球、3只紅球.今從甲袋中任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳汕?，?wèn)兩球都為白球的概率是多少？全概率公式3、已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為.4、若X，Y為相互獨(dú)立的分別服從[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變量，試求Z=X+Y的分布密度函數(shù).布函數(shù)F(z)=P(X+Y≤z)=∫∫f(x,y)dxdy。x+y≤zx+y≤zx+y≤z所以，Z的分布密度函數(shù)每天醫(yī)療費(fèi)均值μ的雙側(cè)0.95置信區(qū)間.解：由于σ2未知，故μ的0.95雙側(cè)置信區(qū)間為7、設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中θ是未知參數(shù)，且θ>0。求θ的矩估計(jì)與極大的似然估計(jì)量。解：設(shè)X1,X2,,Xn是取自總體的樣本。因?yàn)榱頔X=X解得θ的矩估計(jì)為由某校數(shù)學(xué)教學(xué)從初一開(kāi)始實(shí)行了某項(xiàng)改革。三年后在初中畢業(yè)數(shù)學(xué)考試中，全市平均成績(jī)?yōu)?0分，從該校抽取的49名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為85分。已知該校這次考試分?jǐn)?shù)服從N(μ,142)分布。問(wèn)該校這次考試的平均成績(jī)與全市平均成績(jī)差異如何？(α=0.05）由表查得z0.025=1.96。由于Z>z0.02設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有下列概率密度？（（2）X的概率密度否則fXY的邊緣概率密度由于f(x,y)≠f(x)f(y)，所以X與Y不獨(dú)立。=0；,否則fY(y)=0。設(shè)隨機(jī)變數(shù)ξ具有對(duì)稱的分布密度函數(shù)p(x)，3、設(shè)隨機(jī)變數(shù)X的分布函數(shù)為解1）因?yàn)镕(1-0)=F(1)，所以A=15、設(shè)總體X的密度函數(shù)為.其中θ是未知參數(shù)，且θ>0。求θ的矩估計(jì)與極大的似然估解：令故的矩估計(jì)量為。另，似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為6、某銀行要測(cè)定在業(yè)務(wù)柜臺(tái)上處理每筆業(yè)務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間，假設(shè)處理每筆業(yè)務(wù)所需時(shí)間服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)地抽取16筆業(yè)務(wù)，測(cè)得所需時(shí)間為解：由于σ2未知，故μ的0.95雙側(cè)置信區(qū)間為解：顯然(X,Y)的聯(lián)合概率密度為先求Z的分布函數(shù)=∫∫f(x,y)dxdy。x+y≤zzx+y≤zzx+y≤z所以，Z的分布密度函數(shù)某校數(shù)學(xué)教學(xué)從初一開(kāi)始實(shí)行了某項(xiàng)改革。三年后在初中畢業(yè)數(shù)學(xué)考試中，全市平均成績(jī)?yōu)?0分，從該校抽取的49名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為85分。已知該校這次考試分?jǐn)?shù)服從N(μ,142)分布。問(wèn)該校這次考試的平均成績(jī)與全市平均成績(jī)差異如何？(α=0.05）差異顯著設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)具有下列概率密度？（EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up10(<),他)dx=1-y=1-yy當(dāng)-1<y<0時(shí)fY(y)=∫1-y故Y的概率密度由于f(x,y)≠fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立。P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)。2、（9分）某地有甲乙兩種彩票，它們所占份額比3：2。甲的中獎(jiǎng)率為210.？（y由于f(x,y)≠f(x)f(y)，所以X與Y不獨(dú)立。對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得。的最大似然估計(jì)量為1,X2顯然(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)dxdy。-z0.8，假定在這一段時(shí)間內(nèi)各人購(gòu)買(mǎi)與否彼此無(wú)關(guān)，問(wèn)商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以97.5%的概率保證不會(huì)脫銷(xiāo)？（假定該商品在某一段時(shí)間內(nèi)每人最多可以買(mǎi)一件）。2、（8分）若某班某次考試的平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，試用切比雪夫不等式估計(jì)及格率至少為計(jì)算0查表得xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)025(4)=11.1,xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),0)975(4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)2．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求E與Dα>-1為未知參數(shù)，(X1Xn)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，求α的矩估計(jì)量．將X替換成E(X)，得α的矩估計(jì)量為．）．2∶1，現(xiàn)從這批學(xué)生中隨機(jī)地選出一人，發(fā)現(xiàn)此人是色盲患者，試問(wèn)此人是男生的概率為多少？解：x→+∞x→-∞x→+∞x→+∞20=limF(x)=lim(A-Barctanx)=A-πB⑶.X的密度函數(shù)為上的均勻分布．⑴.試求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)；⑵.求隨機(jī)變量X及Y各自的邊緣密度函數(shù)；⑷判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：⑴.平面區(qū)域D的面積為π,所以，二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為⑵.當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，所以，隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為同理，隨機(jī)變量Y的邊緣密度函數(shù)為∞∞∞所以，隨機(jī)變量X與Y不相互獨(dú)立．解：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為F(y)，則有YY即即獨(dú)立的，試用中心極限定理估計(jì)該單位至少要裝多少條外線，才能以99%以上的概率保證分機(jī)使用外線時(shí)不等待．解：設(shè)需要給單位安裝n條外線，則要使分機(jī)使用外線時(shí)不等待，必須X≤n，所以，P{使用外線時(shí)不等待}=P{X≤n}EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(-10),95)因此，至少要裝18條外線，才能滿足要求其中θ>0是未知參數(shù)，(X1Xn)是從該總體中抽取的一個(gè)樣本．⑴.⑵.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(求未),求D)解：-∞0所以，θ=2E(X)，將E(X)用樣本均值來(lái)替換，得未知參數(shù)θ的矩估計(jì)為所以，⑴試求隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)fZ(z)．⑵試求E(Z)．解：⑴由題意，得作極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ,則有0∞000解：)．))．)=0，由此得似然函數(shù)L(θ)在區(qū)間(0,1)上的駐點(diǎn)為并且θ0是似)上的唯一駐點(diǎn)．因此此時(shí)似然函數(shù)L(θ)的最大值點(diǎn)為即當(dāng)樣本觀測(cè)值）．A事件含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故．⑵由于所以隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立．-∞-∞-∞034所以，得．即隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為3．設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別是-2和2，方差分別是1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5．⑵根據(jù)切比雪夫不等式，有2)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36n)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，求μ與σ2的矩估計(jì)量．ki=1來(lái)替換，得到μ與σ2的矩估計(jì)量為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up0(^),μ)6．甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一份密碼．已知甲、乙、丙三人能譯出的概⑴求密碼能被破譯的概率．⑵已知密碼已經(jīng)被破譯，求破譯密碼的人恰是甲、乙、丙三人中的一個(gè)人的概率．D={密碼被破譯}．則D=ABC，因此，=ABCABCABC，所以57．某學(xué)生參加一項(xiàng)考試，他可以決定聘請(qǐng)5名或者7名考官．各位考官獨(dú)立地對(duì)他的成績(jī)做出判斷，并且每位考官判斷他通過(guò)考試的概率均為0.3，如果至少有3位考官判斷他通過(guò)，他便通過(guò)該考試．試問(wèn)該考生聘請(qǐng)5名還是7名考官，能使得他通過(guò)考試的概率較大？由于各位考官獨(dú)立地對(duì)他的成績(jī)做出判斷，因此考生聘請(qǐng)n位考官，相當(dāng)于做一個(gè)n重Bernoulli試驗(yàn)．令X表示判斷他通過(guò)考試的考試人數(shù)，則X~B(n,0.3)，因此nk=0所以聘請(qǐng)7位考官，可以使該考生通過(guò)考試的概率較大．⑴.求E(X)，E(Y)及E(XY)；⑵.分別求出求X與Y的邊緣密度函數(shù)；-∞x2所以，隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為所以，隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)為f(x,y)≠fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立．9．設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，令Z=X+Y．⑴用求獨(dú)立隨機(jī)變量和的密度函數(shù)的計(jì)算公式（卷積公式），求出隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)．⑵判斷隨機(jī)變量Z是否服從正態(tài)分布，并指出E(Z)與D(Z)．解：隨機(jī)變量X與Y的密度函數(shù)分別為設(shè)隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)為則有-∞-∞-∞-∞所以Z=X+Y服從正態(tài)分布，且E(X)=0，D(X)=2．（附，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的分布函數(shù)Φ(x)的部分值：解：⑴設(shè)X表示售出一份套餐的收入，則X的分布律為2222)的分布都與X的分布相同．則i11．設(shè)隨機(jī)變量ξ與η相互獨(dú)立，且服從同一分布．ξ的分布律為(ξ,η)．⑴求出二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及隨機(jī)變量X及Y各自的邊緣分布律；⑵求E(X)、E(Y)及E(XY)．(ξ,η)的取值也是}}{}}{}}}}}}{}{}}{}聯(lián)合分布律表格略因此二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及X的邊緣分布律為YX123p.j119292959201929393001919p193959解：⑴.總體X的密度函數(shù)為所以似然函數(shù)為所以，取對(duì)數(shù)，得解方程得2的極大似然估計(jì)量為i=1又函數(shù)σ=σ2具有單值反函數(shù)，因此σ的極大似然估計(jì)量為又函數(shù)具有單值反函數(shù)，因此λ的極大似然估計(jì)量為}的極大似然估計(jì)量．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)一、填空題2、某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊四次，至少命中一次的概率為81，則此射手的命中率3。4、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松（Poisson）分布，且已知E[(X-1)(X-2)]＝1，則λ=___1____。5、一次試驗(yàn)的成功1EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up1(2),1)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up1(2),2)σEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(2),1))。其他其他EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up5(^),θ)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up5(^),θ)6、利用正態(tài)分布的結(jié)論，有2、四個(gè)人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，則密碼能被譯出的概率是11/24。5、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且3P{X=2}=P{X=4}，則EQ\*jc3\*hps28\o\al(\s\up5(2),其){-5{其它。9、三個(gè)人獨(dú)立地向某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，已知各人能擊中的概率分別為，則目標(biāo)能被擊中的概率是3/5。4、設(shè)隨機(jī)變量X服從λ=2泊松分布，則P{X≥1}=1-e-2。5、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)，令Y=-2X，則Y的概率密度f(wàn)Y(y)為EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)fX(-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(y),2))。6、設(shè)X是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)，若每次試驗(yàn)成功的概率為0.4，則D(X)=2.4。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(^),θ)10、概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，這個(gè)原理稱為小概率事件原理。2、設(shè)X是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)，若每次試驗(yàn)成功的概率為0.4，則E(X2)=18.4。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(^),θ)9、已知總體X~N(μ,σ2),X1,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0) 10、設(shè)隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，若P{T>λ}=α,則3、在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率為1/4。5、將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則-21ab8、三個(gè)人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為5,4,3，則密碼能被譯出的概率是3/5。EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(^),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(^),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(^),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(^),θ)n是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X,S2分別為樣本均值與樣本方差，則9、袋中有大小相同的紅球4只，黑球3只，從中隨機(jī)一次抽取2只，則此兩球顏色不同的概率為4/7。2、設(shè)X是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)，若每次試驗(yàn)成功的概率為0.4，則D(X)=2.4。6、某人投籃，每次命中率為0.7，現(xiàn)獨(dú)立投籃5次，恰好命中4次的概率是＝－10、概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，這個(gè)原理稱為小概率事件原理。27、一袋中有2個(gè)黑球和若干個(gè)白球，現(xiàn)有放回地摸球4次，若至少摸到一個(gè)白球的概率是81，則袋中白球的個(gè)數(shù)是4。＝－二、選擇題2、將兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒中，則未向前面兩個(gè)郵筒投信的概率為（A）。EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up2(23、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)，令Y=-2X，則Y的概率密度f(wàn)Y(y)為（D）。A.2f(-2y)B.f(-y)4、設(shè)隨機(jī)變量X~f(x)，滿足f(x)=f(-x)，F(xiàn)(x)是x的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a有（B）。5、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(事),否)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(件),則)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(A),；)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up13(0),1)Xi，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。A.P(AB)=P(A)B.A>BC.P(A)=P(B)D.P2、某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為34，他連續(xù)射擊直到命中為止，則射擊次數(shù)為3的概率是（C）。23、設(shè)X1,X2是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則最有效的無(wú)偏估計(jì)是(A)。4、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，i=1理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。2、下列各函數(shù)中是隨機(jī)變量分布函數(shù)的為（B）。A.E(XY)=E(X)E(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.D(X-Y)=D(X)+D(Y)D.X和Y相互獨(dú)立4、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，發(fā)生i=1限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。5、設(shè)總體X~N(μ,22)，其中μEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(2),2)1、若隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，則P(A+A.P(A)+P(B)B.P(A)+P(B)-P(A)P(B)C.P(A)P(B)D.P(A)+P(B)6A.XB.366A.XB.362132X555444445XD.555444445XD.4X-2213X-3X3、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，事件A發(fā)生X，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。ii=14、設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則EA.H1真時(shí)拒絕H1稱為犯第二類錯(cuò)誤。B.H1不真時(shí)接受H1稱為犯第一類錯(cuò)誤。C.設(shè)P{拒絕H0|H0真}=α,P{接受H0|H0不真}=β,則α變大時(shí)β變小。D.α、β的意義同（C當(dāng)樣本容量一定時(shí)，α變大時(shí)則β變小。A.P(AB)=P(A)P(B3、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，事件A發(fā)生i=1極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。4、若E(XY)=E(X)E(Y)，則（D）。A.X和Y相互獨(dú)立B.X與Y不相關(guān)C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)5、若隨機(jī)向量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，則①X,Y一定相互獨(dú)立；②若PXY=0，則X,Y一定相互獨(dú)立；③X和Y都服從一維正態(tài)分布；④若X,Y相互獨(dú)立，則A.P(AB)=P(A)P(B)，其中A，B相互獨(dú)立B.P(AB)=P(B)P(AB)，其中P(B)≠0C.P(AB)=P(A)P(B)，其中A，B互不相容D.P(AB)=P(A)P(BA)，其中P(A)≠03、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，發(fā)生ΣΣi=1i定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。C．Φ(y-50)B.D.EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(事),否)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up8(件),則)獨(dú)立。令Y=Σ100X，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。ii=1P{X≤μ-9},p2={Y≥μ+4}，則（B）。1＝A.P(A|B)=P(A|B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AB)≠P(A)3、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，X2100相互獨(dú)立。令則由中心i=1極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。1＝2、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)，令Y=-2X+3，則Y的概率密度f(wàn)Y(y)為（A）。X，則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。ii=1C．Φ(y-90)C.X+X-C.X+X-XD.X+X+XA.0≤f(x)≤1B.在定義域內(nèi)單調(diào)不減C.∫+∞f(x)dx=1D.limf(x)=1∞x→+∞3、設(shè)X1,X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為f1(x)和f2(x)，分布函數(shù)分別為F1(x)和A.f1(x)+f2(x)必為密度函數(shù)B.F1(x).F2(x)必為分布函數(shù)+F2(x)必為分布函數(shù)D.f1(x).f2(x)必為密度函數(shù)5、設(shè)Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(事),否)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(件),則)三（5）、市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的兩倍，第二、第三廠家相等，且第一、第二、第三廠家的次品率依次為224％。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的i則所求事件的概率為答：該件商品是第一產(chǎn)家生產(chǎn)的概率為0.4。的產(chǎn)品中抽取一個(gè)產(chǎn)品，試求（1）該產(chǎn)品是次品的概率2）若檢查結(jié)果顯示該產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車(chē)間生產(chǎn)的答：這件產(chǎn)品是次品的概率為0.0185，若此件產(chǎn)品是次品，則該產(chǎn)品是乙車(chē)間生產(chǎn)的概率為0.38。率是0.4。求（1）該機(jī)床停機(jī)的概率2）若該機(jī)床已停機(jī)，求它是在加工零件A時(shí)發(fā)生停機(jī)的概率。次為949095％。現(xiàn)從加工好的整批零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由甲機(jī)床加工的概率。則所求事件的概率為i=1答：此廢品是甲機(jī)床加工概率為3/7。％，通工具能如期到達(dá)的概率依次為100％、70％、60％、90％。已知該人誤期到達(dá)，求他是乘坐火車(chē)的概率。i=1％，iii=1EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(≤x≤),其它)F(x)=∫xf(t)dt=0k=-1/2f(t)dt=0-∞-∞EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up30(x),0)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up30(0),x)xf(t)dt=0xf(t)dt=1xfdt=0xf(t)dt=1-∞xfdt=0xf(t)dt=1解：B=-1-1/2-e-2F(x)=A+Barctanx解：解：解：-∞Y(y)＝P(Y≤y)＝P(|X|≤y)＝P(-y≤X≤y)（3）求P{0≤X≤2，0≤Y≤1}。f(x,yXX和Y（3）求P{0≤X≤1，0≤Y≤1}。XX和Y4ydy2,當(dāng)0≤y≤1時(shí)-x,x-y,y-1=F(F-1(y))=y其它.當(dāng)0≤y≤1時(shí)n是一組樣本值，求參數(shù)α的最大似然估計(jì)。i=1i=1i=1n是一組樣本值，求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)。i=1i=1i=1EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up7(x),其)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up7(>0),它)n是一組樣本值，求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)。i=1i=1i=1一組樣本值，求參數(shù)λ的最大似然估計(jì)。i=1i=1解：i=1解：解：似然函數(shù)e-λxi=λne-λi1xii=1lnL=nlnλ-λixi-∞<x<+∞n是一組樣本值，求參數(shù)μ的最大似然估計(jì)？解：似然函數(shù)解：似然函數(shù)經(jīng)計(jì)算所以μ的置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(1),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(1),3)i=1若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑μ的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布,所以所以μ的置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算八（3）、工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑X(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(μ,σ2),現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽出9個(gè),分徑如下:經(jīng)計(jì)算所以μ的置信區(qū)間為經(jīng)計(jì)算EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(1),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(1),3)因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以解：因?yàn)閷W(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以22)即解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L(zhǎng)度服從正態(tài)分布，所以分布，所以EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),0)解：由于抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布所以，以九（1）、某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定,現(xiàn)從i=1假定銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)在顯著水平α=0.1下，是否可以相信該廠生產(chǎn)的銅絲折斷力的方差為16？解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是H0:σ選擇統(tǒng)計(jì)量在H0成立時(shí)接受H0，即可相信這批銅絲折斷力的方差為16。得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375。試問(wèn)在顯著水平α=0.05下，這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無(wú)顯著差異?在H0成立時(shí)W~x2(9)接受H0，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無(wú)顯著差異。九（3）、某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布N(μ,0.9解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是H0:σ=0.9選擇統(tǒng)計(jì)量在H0成立時(shí)拒絕H0，即認(rèn)為這批產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著差異。在H0成立時(shí)U~N(0,1)0，即認(rèn)為總體均值有顯著差樣品，測(cè)定重量為（單位：克）在H0成立時(shí)U~N(0,1)經(jīng)計(jì)算接受H0，即可以認(rèn)為袋裝的平均重量仍為15克。問(wèn)在α=0.05顯著性水平下，這天生產(chǎn)的表殼的均值是否正常?選擇統(tǒng)計(jì)量當(dāng)00接受H0，即認(rèn)為表殼的均值正常。產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16段進(jìn)行測(cè)量，計(jì)算平均長(zhǎng)度為x=10.48cm。假設(shè)方差不變，問(wèn)在α=工作是否正常?n九（8）、某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的條件下，這種零件的周長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為0.13厘米。如果從某日生產(chǎn)的這解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為H:0n拒絕H0，即認(rèn)為該生產(chǎn)的零件的平均軸長(zhǎng)與往日有顯著差異。九、某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡平均壽命是1120小時(shí)，現(xiàn)從一批新生產(chǎn)的燈泡中抽取9個(gè)樣本，測(cè)得其平均壽命為1070小時(shí)，樣n接受H0，即認(rèn)為檢測(cè)燈泡的平均壽命無(wú)顯著變化。九、正常人的脈搏平均為72次/分，今對(duì)某種疾病患者9人，測(cè)得其脈搏為（次/分設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算得其標(biāo)準(zhǔn)差為4.583。試在顯著水平α=0.05下，檢測(cè)患者的脈搏與正常人的脈搏n接受H0，檢測(cè)者的脈搏與正常的脈搏無(wú)顯著差異。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題例：某廠由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1，各車(chē)間產(chǎn)品的不合格率依2練習(xí)：市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的2倍，第二、三兩廠家相等，而且第一、二、三廠家的次品率依次為224％。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率是多少？（同步49頁(yè)三、1）【0.4】練習(xí)：設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件一等品，兩箱中任挑一箱，再?gòu)拇讼渲星昂蟛环呕氐厝稳?個(gè)零件，求同步29頁(yè)三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。ii二、連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為-∞練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為三、離散型隨機(jī)變量和分布函數(shù)分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量例：設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X服從λ=3的指數(shù)分布，Y服從λ=4的指數(shù)分布，試求：所以(X,Y)聯(lián)合概率密度為所以(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)五、二維離散型隨機(jī)向量中的部分?jǐn)?shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。Yy2y181Xyy2y181X1pp.j6YXx2p.jy111816y2183812y311413pi.14341]六、協(xié)差矩陣122-σ22然后寫(xiě)出它們的矩陣形式（略）七、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)1八、中心極限定理例：設(shè)對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地發(fā)射400發(fā)炮彈，已知每一發(fā)炮彈地命中率等于0.2。請(qǐng)用中心極限定理計(jì)算命中60練習(xí)：袋裝食鹽，每袋凈重為隨機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為5九、最大似然估計(jì)例：設(shè)總體X的概率密度為其中未知參數(shù)θ>-1，X1,X2,…Xn是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求θ的估計(jì)量。i=1對(duì)此式取對(duì)數(shù)，即：例：設(shè)總體X的概率密度為據(jù)來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(X1,X2,…,Xn)，求未知參數(shù)λ的最i=1i=1i=1再取對(duì)數(shù)得：再求lnL對(duì)λ的導(dǎo)數(shù)i=1i=1所以未知參數(shù)λ的最大似然估計(jì)量為i=1練習(xí)：設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1,X2,…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)α的最大似然估計(jì)（同步52頁(yè)三、5）十、區(qū)間估計(jì)ααnααn例：設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：例：從總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)中抽取容量為10的一個(gè)樣本，樣本方差S2＝0.07,試求總體方差σ2的置例：已知某種材料的抗壓強(qiáng)度X~N(μ,σ2),現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下:482,493,EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(^),u)EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up2147483638(α),2)2十一、假設(shè)檢驗(yàn)例：已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112),現(xiàn)在測(cè)定了故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ有顯著變化練習(xí)：某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布，均值為0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測(cè)量后得x=0.146厘米，S=0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？(α=0.05）例：設(shè)某廠生產(chǎn)的一種鋼索,其斷裂強(qiáng)度Xkg/cm2服從正態(tài)分布XuσnEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up6(α),2)練習(xí)：某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽出10段檢查其折斷力，測(cè)后經(jīng)計(jì)算：假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折i=1斷力方差為16？(α=0.1）十二、證明題：EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up2(^),θ)證明：因?yàn)镋Q\*jc3\*hps29\o\al(\s\up2(^),θ)是參數(shù)θ的無(wú)偏估計(jì)量，所以E(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up6(^),θ))=θ,D(θ^)=E(EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up1(θ),^)2)-(EEQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up1(θ),^))2=E(EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up1(θ),^)2)-θ2>0,即EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up2147483647(θ),^)故EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up4(^),θ)2不是θ2的無(wú)偏估計(jì)量.（同步39頁(yè)四、3）其它證明題見(jiàn)同步練習(xí)46頁(yè)五、50頁(yè)五、十三、其它題目例：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[2，5]上服從均勻分布，求對(duì)X進(jìn)行的三次獨(dú)立觀測(cè)中，至少有兩次的觀測(cè)值大解：則所求概率即為例：對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（按百分制計(jì)）近似服從正態(tài)分布，平均72分,且96,則E(2X-5Y+3)=-14，D(2X-3Y+4)=147。,則E(X)=21,最小值為0.4。D(X)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(2),1)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(2),2),σEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(2),1))。EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(3),2)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up3(θ),^)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up3(θ),^)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up4(θ),^)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up4(θ),^)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(3),8){-5{其它1111Xp1040434。4。5、已知隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)，令Y=-2X，則Y的概率密度為(Xf(x,y)={-3yf(x,y)={EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(2),0)2EQ\*jc3\*hps19\o\al(\s\up8(2),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up22(a),2)YX-21-10a4bEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(θ),^)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(θ),^)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(θ),^)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up4(θ),^)}EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(4),5)＝－X10、概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能＝－rnn!n）－EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(1),2)2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(2),4)fX(x)，令Y=2X，則Y的概率密度Xf(X4、設(shè)隨機(jī)變量X~f(x)，滿足f(x)=f(—x)，F(xiàn)(x)是x的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a有i=1i，則由中心極限2、某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為34，他連續(xù)射擊直到命中為止，則射擊2,X2是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則最有效的無(wú)偏估計(jì)是(A)。i=1i，則由中心極限A.E(XY)=E(X)E(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.D(X-Y)=D(X)+D(Y)D.X發(fā)生,則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。A.P(A)+P(B)B.P(A)+P(B)-P(A)P(B)C.P(A)P(B)D.P(A)+P(B)A.X+X+X+XBA.X+X+X+XB.X+X+XC.X+X-X-XD.X+X+X+XC.X+X-X-XD.X+X+X+XXC.設(shè)P{拒絕H0|H0真}=α,P{接受H0|H0不真}=β,則α變大時(shí)β變小。P(AB)=0,則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。4、若E(XY)=E(X)E(Y)，則（D）。D(X+Y)=D(X)+D(Y)一定相互獨(dú)立；③X和Y都服從一維正態(tài)分布；④若X,Y相互獨(dú)立，則A.P(AB)=P(A)P(B)，其中A，B相互獨(dú)立B.P發(fā)生且相互獨(dú)立。令XXii=1,則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。B.D.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up7(x),1)i=1i=12、若隨機(jī)事件A,B的概率分別為P(A)=0.6X,則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。XA.X+X+XBX+X+X+XX+X+XX+X+XA.0≤f(x)≤1B.在定義域內(nèi)單調(diào)不減+∞f(x)dx=1D.limf(x)=1∞x→+∞f1(x)和f2(x)，A.f1(x)+f2(x)必為密度函數(shù)B.F1(x).F2(x)必為分布函數(shù)F2(x)必為分布函數(shù)D.f1(x).f2(x)必為密度函數(shù),則由中心極限定理知Y的分布函數(shù)F(y)近似于（B）。6則所求的概率為P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)AAAAAA==AAAAAA％，EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(≤x≤),其它)xf(t)dt=0-∞0解：k=-1/2f(t)dt=0-∞-∞EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up30(x),0)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up30(0),x)xf(t)dt=0xf(t)dt=1-∞