PAGEPAGE113．1.1函數(shù)的平均變更率學(xué)習(xí)目標1.理解平均變更率的意義.2.會求函數(shù)在某一點旁邊的平均變更率．學(xué)問點函數(shù)的平均變更率1．函數(shù)的平均變更率的定義已知函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0及其旁邊有定義，令Δx＝x－x0；Δy＝y(tǒng)－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．則當(dāng)Δx≠0，比值eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(Δy,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變更率．2．平均變更率的實質(zhì)：函數(shù)值的變更量與自變量的變更量之比．3．作用：刻畫函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變更的快慢．4．幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．1．在平均變更率的定義中，自變量x的增量Δx＞0.(×)2．對于函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]內(nèi)的平均變更率也可以表示為eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(√)3.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)是f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](Δx＞0)上的平均變更率，也可以說是f(x)在x＝x0處的變更率．(×)題型一函數(shù)的平均變更率命題角度1求函數(shù)的平均變更率例1求函數(shù)f(x)＝x2在x＝1,2,3旁邊的平均變更率，取Δx的值為eq\f(1,3)，哪一點旁邊的平均變更率最大？考點題點解在x＝1旁邊的平均變更率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2旁邊的平均變更率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3旁邊的平均變更率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，則k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3)，由于k1<k2<k3，故在x＝3旁邊的平均變更率最大．反思感悟求平均變更率的主要步驟(1)先計算函數(shù)值的變更量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再計算自變量的變更量Δx＝x2－x1.(3)得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－5的圖象上的一點A(－1，－6)及鄰近一點B(－1＋Δx，－6＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝________.考點平均變更率的概念題點求平均變更率答案Δx解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6,Δx)＝Δx.命題角度2平均變更率的幾何意義例2過曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求Δx的值．考點平均變更率的概念題點平均變更率的應(yīng)用解割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋Δx的平均變更率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.反思感悟函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變更率的實質(zhì)是函數(shù)y＝f(x)圖象上兩點P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))連線P1P2的斜率，即kP1P2＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關(guān)系如圖所示，則在[0，t0]這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人的平均速度v甲，v乙的關(guān)系是()A．v甲>v乙B．v甲<v乙C．v甲＝v乙D．大小關(guān)系不確定(2)過曲線y＝f(x)＝eq\f(x,1－x)圖象上一點(2，－2)及鄰近一點(2＋Δx，－2＋Δy)作割線，則當(dāng)Δx＝0.5時割線的斜率為________．考點平均變更率的概念題點平均變更率的應(yīng)用答案(1)B(2)eq\f(2,3)解析(1)設(shè)直線AC，BC的斜率分別為kAC，kBC，由平均變更率的幾何意義知，s1(t)在[0，t0]上的平均變更率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均變更率v乙＝kBC.因為kAC<kBC，所以v甲<v乙．(2)當(dāng)Δx＝0.5時，2＋Δx＝2.5，故－2＋Δy＝eq\f(2.5,1－2.5)＝－eq\f(5,3)，故k＝eq\f(－\f(5,3)＋2,2.5－2)＝eq\f(2,3).題型二求物體的平均速度例3一質(zhì)點做直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，求該質(zhì)點在t＝1,2,3旁邊，Δt＝eq\f(1,3)時，平均速度的值，并比較在哪一時刻旁邊的平均速度最大．解s(t)在t0到t0＋Δt之間的位移增量為s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(teq\o\al(2,0)＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2t0Δt＋Δt2,Δt)＝2t0＋Δt，將t0＝1,2,3，Δt＝eq\f(1,3)分別代入上式得，當(dāng)t0＝1時，平均速度eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7,3)；當(dāng)t0＝2時，平均速度eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(13,3)；當(dāng)t0＝3時，平均速度eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(19,3).由上面的計算知，t＝3旁邊的平均速度最大．引申探究若該質(zhì)點在2到2＋Δt之間的平均速度不大于5，則Δt(Δt＞0)的取值范圍是什么？解s(t)在t0到t0＋Δt之間的位移增量為s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(teq\o\al(2,0)＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2t0Δt＋Δt2,Δt)＝2t0＋Δt.當(dāng)t0＝2時，由題意，得4＋Δt≤5，得Δt≤1.又因為Δt＞0，故Δt的取值范圍是(0,1]．反思感悟已知物體的運動方程，即知道物體運動過程中位移與時間的函數(shù)關(guān)系，求其在[t0，率．跟蹤訓(xùn)練3動點P沿x軸運動，運動方程為x＝10t＋5t2，式中t表示時間(單位：s)，x表示距離(單位：m)，求在20≤t≤20＋Δt時間段內(nèi)動點的平均速度，其中(1)Δt＝1；(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.解動點在20≤t≤20＋Δt時間段內(nèi)的平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(1020＋Δt＋520＋Δt2－10×20－5×202,Δt)＝eq\f(210Δt＋5Δt2,Δt)＝5Δt＋210，(1)當(dāng)Δt＝1時，eq\x\to(v)＝5×1＋210＝215(m/s)．(2)當(dāng)Δt＝0.1時，eq\x\to(v)＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．(3)當(dāng)Δt＝0.01時，eq\x\to(v)＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．1．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度是()A．0.4B．2C．0.3D．0.2答案B解析eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f(3＋2×2.1－3＋2×2,0.1)＝2.2．如圖，函數(shù)y＝f(x)在1到3之間的平均變更率為()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.3．在曲線y＝f(x)＝x2＋2的圖象上取一點(2,6)及鄰近一點(2＋Δx,6＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)為()A．Δx＋eq\f(1,Δx)＋4 B．Δx－eq\f(1,Δx)－4C．Δx＋4 D．4＋Δx－eq\f(1,Δx)答案C解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－4,Δx)＝Δx＋4.4．將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m時球的體積膨脹率為eq\f(28π,3)，則m的值為________．答案2解析ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，∴eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)m3－1,m－1)＝eq\f(28π,3).∴m2＋m＋1＝7，∴m＝2或m＝－3(舍)．理解平均變更率要留意以下幾點：(1)平均變更率eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示點(x1，f(x1))與點(x2，f(x2))連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”．(2)為求點x0旁邊的平均變更率，上述表達式常寫為eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．(3)函數(shù)的平均變更率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變更趨勢．自變量的變更量Δx取值越小，越能精確體現(xiàn)函數(shù)的變更狀況．一、選擇題1．假如質(zhì)點M按規(guī)律s＝3＋t2運動，則在時間[2，2.1]內(nèi)的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．3答案B解析eq\x\to(v)＝eq\f(3＋2.12－3＋22,0.1)＝4.1.2.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是()A．甲 B．乙C．相同 D．不確定答案B解析在t0處，雖然W1(t0)＝W2(t0)，但是在t0－Δt處，W1(t0－Δt)<W2(t0－Δt)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)))，所以在相同時間Δt內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率?。砸覐S的治污效果較好．3．已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上一點(1,1)及旁邊一點(1＋Δx，f(1＋Δx))，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x答案B解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝4Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.4．函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變更率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)中，Δx不行能()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案C5．函數(shù)y＝f(x)＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之間的平均變更率為()A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2答案C解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋1＋Δx－12＋1,Δx)＝Δx＋3.6．函數(shù)f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變更率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()A．k1＜k2 B．k1＞k2C．k1＝k2 D．無法確定答案D解析k1＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝2x0－Δx.又因為Δx可正可負且不為0，所以k1，k2的大小關(guān)系不確定．二、填空題7.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，則三者的大小關(guān)系為________________．(用“＜”連接)答案eq\x\to(v)1<eq\x\to(v)2<eq\x\to(v)3解析eq\x\to(v)1＝kOA，eq\x\to(v)2＝kAB，eq\x\to(v)3＝kBC，由圖象知，kOA<kAB<kBC.8．函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率為2，則t＝________.答案5解析即t2－t－6＝2t＋4，所以t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．所以當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率是2時，t的值是5.9．在曲線y＝2x2＋1的圖象上取一點(1,3)及鄰近一點(1＋Δx,3＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)＝________.答案2Δx＋4解析eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2＋1－3,Δx)＝2Δx＋4.10．已知圓的面積S與其半徑r之間的函數(shù)關(guān)系為S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，則當(dāng)半徑r∈[1,1＋Δr]時，圓的面積S的平均變更率為________．答案2π＋πΔr解析當(dāng)r∈[1,1＋Δr]時，圓的面積S的平均變更率為eq\f(ΔS,Δr)＝eq\f(π1＋Δr2－π,Δr)＝eq\f(π＋2π·Δr＋Δr2π－π,Δr)＝2π＋πΔr.三、解答題11．過曲線y＝f(x)＝x3＋2x上兩點P(1,3)和Q(1＋Δx，3＋Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx＝0.2時割線的斜率．解由條件可知，當(dāng)Δx＝0.2時，kPQ＝eq\f(3＋Δy－3,1＋Δx－1)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1＋Δx3＋21＋Δx－13＋2×1,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.故當(dāng)Δx＝0.2時，割線的斜率為5.64.12．若函數(shù)f(x)＝－2x2＋x在[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均變更率不大于－1，求Δx的取值范圍．考點平均變更率的概念題點平均變更率的應(yīng)用解∵函數(shù)f(x)在[1,1＋Δx]上的平均變更率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(－21＋Δx2＋1＋Δx－－2＋1,Δx)＝－3－2Δx∴由－3－2Δx≤－1，得Δx≥－1.又∵Δx>0，∴Δx的取值范圍是(0，＋∞)．13．以初速度v0豎直向上拋一物體的位移s與時間t的關(guān)系為s(t)＝v0t－eq\f(1,2)gt2(g為物體的重力加速度)．(1)求物體從時刻t0到