PAGEPAGE13第6講幾何概型[考綱解讀]1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．2.了解幾何概型的意義，并能求與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的概率．(重點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講是高考的熱點(diǎn)之一.預(yù)料2024年將會(huì)考查：①與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合；②與面積有關(guān)的幾何概型，常涉及線性規(guī)劃、定積分等內(nèi)容.題型為客觀題，試題難度不大，屬中、低檔試題.1．幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的eq\o(□,\s\up4(01))長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．2．幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up4(01))eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).1．概念辨析(1)隨機(jī)模擬方法是以事務(wù)發(fā)生的頻率估計(jì)概率．()(2)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)．()(3)幾何概型中，每一個(gè)基本領(lǐng)件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)有四個(gè)嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一個(gè)玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()答案A解析如題干選項(xiàng)中圖，各種狀況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故選A.(2)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案B解析解法一：7：30的班車小明明顯是坐不到的．當(dāng)小明在7：50之后8：00之前到達(dá)，或者8：20之后8：30之前到達(dá)時(shí)，他等車的時(shí)間將不超過(guò)10分鐘，故所求概率為eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2).故選B.解法二：當(dāng)小明到達(dá)車站的時(shí)刻超過(guò)8：00，但又不到8：20時(shí)，等車時(shí)間將超過(guò)10分鐘，7：50～8：30的其他時(shí)刻到達(dá)車站時(shí)，等車時(shí)間將不超過(guò)10分鐘，故等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率為1－eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B.(3)如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,6)解析依據(jù)題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).(4)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(1,6)解析設(shè)事務(wù)M為“動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)”，則P(M)＝eq\f(V三棱錐A－A1BD,V長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·S△ABD,V長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)AA1·\f(1,2)S矩形ABCD,AA1·S矩形ABCD)＝eq\f(1,6).題型eq\a\vs4\al(一)與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型1．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案A解析不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交AB于點(diǎn)M，則使得AM小于AC的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(3,4)解析當(dāng)AM＝AC時(shí)，△ACM為以A為頂點(diǎn)的等腰三角形，∠ACM＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.當(dāng)∠ACM＜67.5°時(shí)，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f(∠ACM的度數(shù),∠ACB的度數(shù))＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).條件探究1把舉例說(shuō)明1的條件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“使函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\do8(\f(1,2))4x－3)有意義”，試求其概率．解由logeq\s\do8(\f(1,2))(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(1－\f(3,4),2－0)＝eq\f(1,8).條件探究2把舉例說(shuō)明1的條件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“2≤2eq\s\up15(x＋eq\f(1,2))≤4”，試求其概率．解由2≤2eq\s\up15(x＋eq\f(1,2))≤4得1≤x＋eq\f(1,2)≤2，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(\f(3,2)－\f(1,2),2－0)＝eq\f(1,2).1．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型(1)假如試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度).(2)與時(shí)間、不等式及其解有關(guān)的概率問(wèn)題與時(shí)間、不等式及其解有關(guān)的概率問(wèn)題可依據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，利用幾何概型求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率，且不行用線段的長(zhǎng)度代替，這是兩種不同的度量手段．1．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2，在區(qū)間(－2,5)上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x0，則f′(x0)≥0的概率為_(kāi)_______．答案eq\f(2,7)解析因?yàn)閒′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，所以由f′(x0)≥0，解得0≤x0≤2.由幾何概型的概率計(jì)算公式得f′(x0)≥0的概率P＝eq\f(2－0,5－－2)＝eq\f(2,7).2．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧eq\o\ac(DE,\s\up17(︵))，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為.答案eq\f(1,3)解析因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本領(lǐng)件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域?yàn)椤螩AB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).題型eq\a\vs4\al(二)與面積有關(guān)的幾何概型角度1與隨機(jī)模擬相關(guān)的幾何概型1．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)答案C解析如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得eq\f(m,n)＝eq\f(\f(1,4)π,12)?π＝eq\f(4m,n).故選C.角度2與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題2．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)右圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3答案A解析不妨取AB＝AC＝2，則BC＝2eq\r(2)，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S△ABC＝2；區(qū)域Ⅲ的面積為π－2；區(qū)域Ⅱ的面積為π－(π－2)＝2，所以依據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1＝p2，故選A.角度3與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型3．在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是()A.eq\f(12,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(17,25) D.eq\f(18,25)答案C解析設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x，y，則總的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))確定的平面區(qū)域，所求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,x＋y＜\f(6,5)))確定的平面區(qū)域，如圖所示(陰影部分)，陰影部分的面積是1－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(17,25)，所以這兩個(gè)數(shù)之和小于eq\f(6,5)的概率是eq\f(17,25).角度4與定積分有關(guān)的幾何概型4．(2015·福建高考)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________．答案eq\f(5,12)解析由題圖可知S陰影＝S矩形ABCD－eq\i\in(1,2,)x2dx＝1×4－eq\f(x3,3)eq\o\al(2,1)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(1,3)))＝eq\f(5,3)，則所求事務(wù)的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(5,3),4)＝eq\f(5,12).1．與平面幾何、解析幾何等學(xué)問(wèn)交匯問(wèn)題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)學(xué)問(wèn)，先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑?jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率．見(jiàn)舉例說(shuō)明1、2.2．與線性規(guī)劃交匯問(wèn)題的解題思路先依據(jù)約束條件作出可行域，再確定形態(tài)，求面積大小，進(jìn)而代入公式求概率．見(jiàn)舉例說(shuō)明3.3．與定積分交匯問(wèn)題的解題思路先確定基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形態(tài)構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計(jì)算，并求其大小，進(jìn)而代入公式求概率．見(jiàn)舉例說(shuō)明4.1．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)答案B解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),\a\vs4\al(4))＝eq\f(π,8).故選B.2．(2024·棗莊二模)七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)建，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形(兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析把圖中陰影正方形分割后，移成如圖所示，視察圖形可知此點(diǎn)取自陰影部分的概率是eq\f(1,4).3．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲線f(x)＝sinx和余弦曲線g(x)＝cosx在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是()A.eq\f(1＋\r(2),π) B.eq\f(1＋\r(2),2π)C.eq\f(1,π) D.eq\f(1,2π)答案B解析由題圖可知矩形ABCD的面積為2π，由sinx＝cosx得xF＝eq\f(π,4)，故陰影部分的面積為所以點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P＝eq\f(1＋\r(2),2π).4．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夾角是鈍角的概率．解設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事務(wù)B，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.基本領(lǐng)件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1))))))所表示的區(qū)域，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2，,－1≤y≤1，,2x＋y＜0，x≠2y))))))，如圖，區(qū)域B為圖中陰影部分去掉直線x－2y＝0上的點(diǎn)，所以，P(B)＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×2,3×2)＝eq\f(1,3)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是eq\f(1,3).題型eq\a\vs4\al(三)與體積有關(guān)的幾何概型某個(gè)四面體的三視圖如圖所示，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在四面體內(nèi)的概率為()A.eq\f(9,13π)