PAGEPAGE1引領(lǐng)三解題有法——領(lǐng)悟四種數(shù)學(xué)思想巧突破高考數(shù)學(xué)以實(shí)力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度。數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來(lái)相識(shí)、處理和解決問(wèn)題，是數(shù)學(xué)意識(shí)，數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想eq\o(。,\s\do4())一、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所探討對(duì)象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和改變的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問(wèn)題得到解決方程思想的實(shí)質(zhì)就是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，依據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)，通過(guò)解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行探討，以求得問(wèn)題的解決函數(shù)與方程思想在肯定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的。函數(shù)思想重在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的探討，方程思想則是在動(dòng)中求靜，探討運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系【例1】(1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的隨意實(shí)數(shù)m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增。若實(shí)數(shù)a滿意f(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，則a的取值范圍是________?！窘馕觥?1)因?yàn)閤∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]。不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即為m(x－2)＋(x－2)2>0對(duì)m∈[1,4]恒成立。設(shè)g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＋x－22>0，,4x－2＋x－22>0，))解得x<－2或x>2。(2)由f(x)是偶函數(shù)且f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增可知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減。又因?yàn)閒(2|a－1|)>f(－eq\r(2))，而f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，所以2|a－1|<eq\r(2)，即|a－1|<eq\f(1,2)，解得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)?！敬鸢浮?1)D(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))函數(shù)與方程思想在不等式問(wèn)題中的應(yīng)用要點(diǎn)(1)在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的值域解決問(wèn)題。(2)要留意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，須要進(jìn)行常變量分別，確定主要變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化。一般地，已知范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)。【變式訓(xùn)練1】定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿意f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，則不等式eq\f(fx,ex)<1的解集為()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)解析構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,ex)，則g′(x)＝eq\f(ex·f′x－ex·fx,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)。由題意得g′(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,ex)在R上單調(diào)遞減。又因?yàn)間(0)＝eq\f(f0,e0)＝1，所以eq\f(fx,ex)<1，即g(x)<g(0)，所以x>0，所以不等式的解集為(0，＋∞)。故選B。答案B二、數(shù)形結(jié)合思想以形助數(shù)(數(shù)題形解)以數(shù)輔形(形題數(shù)解)借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡述數(shù)之間的關(guān)系，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即以形作為手段，以數(shù)作為目的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性及嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，以形作為目的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使困難問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，抽象問(wèn)題詳細(xì)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與敏捷性的有機(jī)結(jié)合【例2】已知直線(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0所過(guò)定點(diǎn)恰好落在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，0<x≤3，,|x－4|，x>3))的圖象上，若函數(shù)h(x)＝f(x)－mx＋2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(1，＋∞)【解析】由(1－m)x＋(3m＋1)y－4＝0，得(x＋y－4)－m(x－3y)＝0，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＝0，))可得直線過(guò)定點(diǎn)(3,1)，所以loga3＝1，所以a＝3。令f(x)－mx＋2＝0，得f(x)＝mx－2，在同一坐標(biāo)系中作出y1＝f(x)與y2＝mx－2的圖象(如圖所示)，易得eq\f(1,2)<m<1?！敬鸢浮緽(1)本題利用了數(shù)形結(jié)合思想，把函數(shù)h(x)＝f(x)－mx＋2有三個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1＝f(x)與y2＝mx－2的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)。(2)利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問(wèn)題應(yīng)留意兩點(diǎn)①探討方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))一般可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為探討兩圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法探討方程的解肯定要留意圖象的精確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解。②正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合?！咀兪接?xùn)練2】已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)滿意f(x＋2)＝2f(x)，且x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝－|x|＋1，則當(dāng)x∈[－10,10]時(shí)，y＝f(x)與g(x)＝log4|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．13B．12C．11D．10解析先作出函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]內(nèi)的圖象，由f(x＋2)＝2f(x)可知函數(shù)圖象向右平移兩個(gè)單位后，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，即函數(shù)圖象縱向拉伸為原來(lái)的2倍，則向左平移兩個(gè)單位后圖象縱向縮為原來(lái)的eq\f(1,2)。如圖，作出函數(shù)y＝f(x)在[－10,10]上的圖象，然后作出函數(shù)g(x)＝log4|x|的圖象。由圖可知，兩函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，共有2個(gè)交點(diǎn)，在y軸右側(cè)共有9個(gè)交點(diǎn)。綜上，知f(x)與g(x)的圖象共有11個(gè)交點(diǎn)。故選C。答案C【例3】已知函數(shù)f(x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm滿意0≤x1<x2<…<xm≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，則m的最小值為________。【解析】對(duì)隨意的xi，xj，|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max－f(x)min＝2，欲使m取得最小值，則盡可能使xi(i＝1,2，…，m)取最值點(diǎn)，考慮到0≤x1<x2<…<xm≤6π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝12(m≥2，m∈N*)，則依據(jù)如圖所示取值可以滿意條件，所以m的最小值為8?！敬鸢浮?涉及三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，同時(shí)還涉及肯定值及其應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行直觀分析與處理，省去不必要的推理與分析以及繁雜的運(yùn)算，有效地解決有關(guān)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題?！咀兪接?xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝sinx，若存在x1，x2，…，xm滿意0≤x1<x2<…<xm≤1008π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝2016(m≥2，m∈N*)，則m的最小值為________。解析對(duì)隨意的xi，xj，|f(xi)－f(xj)|≤f(x)max－f(x)min＝2，欲使m取得最小值，盡可能讓xi(i＝1,2，…，m)取最值點(diǎn)，由以上分析知f(x1)＝f(xm)＝0，中間的f(x2)，f(x3)，…，f(xm－1)有規(guī)律地取1與－1，且逐一間隔開，即若f(x2)＝1，則f(x3)＝－1，f(x4)＝1，f(x5)＝－1，…，此時(shí)m才取得最小值，又0≤x1<x2<…<xm≤1008π，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xm－1)－f(xm)|＝2016(m≥2，m∈N*)，那么2016－2＝2014，2014÷2＝1007，即中間有1007組|f(xi)－f(xj)|＝2的關(guān)系式，此時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量有1007＋1＝1008(個(gè))，故此時(shí)m的值是1008＋2＝1010，即m的最小值為1010。答案1010三、分類整合思想分類整合思想是將一個(gè)較困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略。對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度；分類探討后還要對(duì)探討結(jié)果進(jìn)行整合?！纠?】(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<1，,2x，x≥1，))則滿意f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)(2)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)。已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，則eq\f(|PF1|,|PF2|)的值為________?！窘馕觥?1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1。當(dāng)a<1時(shí)，有3a－1≥1，解得a≥eq\f(2,3)，所以eq\f(2,3)≤a<1。當(dāng)a≥1時(shí)，有2a≥2>1，解得a≥1。綜上，a≥eq\f(2,3)，故選C。(2)若∠PF2F1＝90°，則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)。若∠F2PF1＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2。綜上所述，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2或eq\f(7,2)?！敬鸢浮?1)C(2)2或eq\f(7,2)分類整合思想在解題中的應(yīng)用(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類。有的概念本身是分類的，如肯定值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類探討。有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一樣，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等。(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)改變引起的分類。如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等。(4)由圖形的不確定性引起的分類探討。有的圖形類型、位置須要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等?！咀兪接?xùn)練4】(1)若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋eq\f(y2,m)＝1的離心率是()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(3),2)或eq\r(5)(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________。解析(1)因?yàn)閙是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4。當(dāng)m＝4時(shí)，圓錐曲線eq\f(y2,4)＋x2＝1是橢圓，其離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)；當(dāng)m＝－4時(shí)，圓錐曲線x2－eq\f(y2,4)＝1是雙曲線，其離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5)。綜上可知，選項(xiàng)D正確。(2)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0。當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1>0；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)>0，即eq\f(1－qn,1－q)>0(n＝1,2,3，…)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q>0，,1－qn>0，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－q<0，,1－qn<0。))②由①得－1<q<1，由②得q>1。故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)。答案(1)D(2)(－1,0)∪(0，＋∞)四、轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法就是在探討和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采納某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種思想。其應(yīng)用包括以下三個(gè)方面：(1)將困難的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的問(wèn)題。(2)將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔求解的問(wèn)題。(3)將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題?！纠?】(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝______。(2)已知f(x)＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))，則f(－2017)＋f(－2016)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2018)＝________?！窘馕觥?1)明顯△ABC為等邊三角形時(shí)符合題設(shè)條件，所以eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(cos60°＋cos60°,1＋cos60°cos60°)＝eq\f(1,1＋\f(1,4))＝eq\f(4,5)。(2)f(x)＋f(1－x)＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＋eq\f(\r(3),31－x＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3x＋\r(3))＋eq\f(3x,\r(3)＋3x)＝eq\f(3x＋\r(3),3x＋\r(3))＝1，所以f(0)＋f(1)＝1，f(－2017)＋f(2018)＝1，所以f(－2017)＋f(－2016)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2018)＝2018?！敬鸢浮?1)eq\f(4,5)(2)2018轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則(1)熟識(shí)化原則：將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的問(wèn)題。(2)簡(jiǎn)潔化原則：將困難的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的問(wèn)題。(3)直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題(如數(shù)形結(jié)合思想，立體幾何問(wèn)題向平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化)。(4)正難則反原則：若問(wèn)題干脆求解困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法、補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問(wèn)題?！咀兪接?xùn)練5】(1)已知函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使f