許昌市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某中學(xué)在高二下學(xué)期開設(shè)四門數(shù)學(xué)選修課，分別為《數(shù)學(xué)史選講》.《球面上的幾何》.《對(duì)稱與群》.《矩陣與變換》．現(xiàn)有甲.乙.丙.丁四位同學(xué)從這四門選修課程中選修一門，且這四位同學(xué)選修的課程互不相同，下面關(guān)于他們選課的一些信息：①甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選《球面上的幾何》，也不選《對(duì)稱與群》：②乙同學(xué)不選《對(duì)稱與群》，也不選《數(shù)學(xué)史選講》：③如果甲同學(xué)不選《數(shù)學(xué)史選講》，那么丁同學(xué)就不選《對(duì)稱與群》．若這些信息都是正確的，則丙同學(xué)選修的課程是（）A．《數(shù)學(xué)史選講》 B．《球面上的幾何》 C．《對(duì)稱與群》 D．《矩陣與變換》2．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）①，是無(wú)理數(shù)；②命題“?∈R，”的否定是“?x∈R，＋1≤3x”；③命題“若,則”的逆否命題為真命題；④。A．1 B．2 C．3 D．43．某中學(xué)高二年級(jí)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從本年級(jí)12名體育特長(zhǎng)生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況；則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣4．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點(diǎn)P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1255．設(shè)，是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，設(shè)，則數(shù)列的前2018項(xiàng)和為（）A． B． C． D．7．已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝sin(x＋φ)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．68．已知點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的中點(diǎn)在軸上，則等于（）A． B． C． D．9．如圖，在ΔABC中，AN=12AC，P是A．14 B．1 C．1210．集合，，則=()A． B．C． D．11．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．12．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．144二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)是__________．14．一個(gè)口袋里裝有5個(gè)不同的紅球，7個(gè)不同的黑球，若取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)黑球記1分，現(xiàn)從口袋中取出6個(gè)球，使總分低于8分的取法種數(shù)為__________種．15．從雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為16．為強(qiáng)化安全意識(shí)，某校擬在周一至周五的五天中隨機(jī)選擇天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，直線與平面所成的角為，.（1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像,求在上的值域.19．（12分）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)：(1)求點(diǎn)D到平面A1BE的距離；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)F，使得B1F∥平面A1BE，若存在，指明點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個(gè)菱形，三角形PAD是一個(gè)等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點(diǎn)E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．21．（12分）對(duì)于給定的常數(shù),設(shè)隨機(jī)變量.（1）求概率.①說(shuō)明它是二項(xiàng)式展開式中的第幾項(xiàng)；②若,化簡(jiǎn)：；（2）設(shè)，求，其中為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)n∈N*時(shí)，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

列舉出所有選擇可能，然后根據(jù)三個(gè)信息，確定正確的選項(xiàng).【詳解】個(gè)同學(xué)，選門課，各選一門且不重復(fù)的方法共種，如下：種類甲乙丙丁1《數(shù)學(xué)史選講》《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》《矩陣與變換》2《數(shù)學(xué)史選講》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》3《數(shù)學(xué)史選講》《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》4《數(shù)學(xué)史選講》《對(duì)稱與群》《矩陣與變換》《球面上的幾何》5《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》6《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》7《球面上的幾何》《數(shù)學(xué)史選講》《對(duì)稱與群》《矩陣與變換》8《球面上的幾何》《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》9《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》10《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》11《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》《數(shù)學(xué)史選講》12《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》《對(duì)稱與群》13《對(duì)稱與群》《數(shù)學(xué)史選講》《球面上的幾何》《矩陣與變換》14《對(duì)稱與群》《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》《球面上的幾何》15《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》16《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》17《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《數(shù)學(xué)史選講》《矩陣與變換》18《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》19《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》20《矩陣與變換》《數(shù)學(xué)史選講》《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》21《矩陣與變換》《球面上的幾何》《對(duì)稱與群》《矩陣與變換》22《矩陣與變換》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》23《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》《數(shù)學(xué)史選講》《球面上的幾何》24《矩陣與變換》《對(duì)稱與群》《球面上的幾何》《數(shù)學(xué)史選講》滿足三個(gè)信息都正確的，是第種.故本小題選D.本小題主要考查分析與推理，考查列舉法，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立；②中，根據(jù)存在性命題與全稱命題的關(guān)系，即可判定；③中，根據(jù)四種命題的關(guān)系，即可判定；④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，即可判定，得到答案.【詳解】對(duì)于①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立，所以不正確；對(duì)于②中，命題“”的否定是“”，所以正確；③中，命題“若，則”為真命題，其逆否命題為真命題，所以正確；對(duì)于④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得，所以錯(cuò)誤；故選B.本題主要考查了命題真假的判定，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題的關(guān)系，以及四種命題的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

①總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，應(yīng)選用分層抽樣；②總體個(gè)體數(shù)有限、逐個(gè)抽取、不放回、每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等，應(yīng)選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；∴選D4、C【解析】

問題轉(zhuǎn)化為C到直線l的距離d?4.【詳解】如圖所示：過(guò)P作圓C的切線PR，切點(diǎn)為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．5、D【解析】

取的中點(diǎn)，利用，可得，從而可得，利用雙曲線的定義及勾股定理，可得結(jié)論．【詳解】取的中點(diǎn)，則，，.，是的中點(diǎn)，，，，，，，.故選：D．本題考查了雙曲線的離心率，確定是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。6、D【解析】

利用，求出數(shù)列，的公差，可得數(shù)列，的通項(xiàng)公式，從而可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列，的公差分別為，，則由已知得，，所以，，所以，，所以，所以數(shù)列的前2018項(xiàng)和為,故選D.本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，考查了數(shù)列的求和，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

利用定義域的的要求可以求出A集合，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出B集合，再計(jì)算A與B的交集的元素個(gè)數(shù)即可.【詳解】集合A滿足－＋x＋6≥0，(x－3)(x＋2)≤0，－2≤x≤3，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3}，B＝[－，]，所以A∩B＝{－2，－1，0，1，2}，可知A∩B中元素個(gè)數(shù)為5.本題考查集合間的交集關(guān)系的求解，本題難點(diǎn)在于無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的比大小，屬于簡(jiǎn)單題.8、A【解析】由題意可得，設(shè)P，且，所以=，選A.若，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．9、C【解析】

以AB,AC作為基底表示出【詳解】∵P，N分別是∴AP=又AP=mAB+本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．10、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B，難度較小．11、D【解析】

化簡(jiǎn)拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解準(zhǔn)線方程．【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，準(zhǔn)線方程．故選：D．本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．12、D【解析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對(duì)女生插空即可.【詳解】由插空法得．選D.本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、243【解析】分析：先得到二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù)．詳解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，∴展開式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：對(duì)于非二項(xiàng)式的問題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問題處理，對(duì)于無(wú)法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù)，此時(shí)要注意考慮問題的全面性，防止漏掉部分情況．14、【解析】根據(jù)題意,設(shè)取出個(gè)紅球,則取出個(gè)黑球,此時(shí)總得分為，若總分低于8分,則有，即，即可取的情況有2種，即或，即總分低于8分的情況有2種：①、取出6個(gè)黑球,有種取法，②、取出1個(gè)紅球,5個(gè)黑球,有種取法，故使總分低于8分的取法有7+105=112種；故答案為：112.15、b-a【解析】試題分析：如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，OM，OT，則PF-PF1=2a，在RtΔFTO中，OF=c，OT=a，所以FT=OF2所以，所以MO=12PF1=考點(diǎn)：1.雙曲線的定義；2.直線與圓相切；3.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.16、【解析】試題分析：考查古典概型的計(jì)算公式及分析問題解決問題的能力.從個(gè)元素中選個(gè)的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計(jì)算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點(diǎn)：古典概型的計(jì)算公式及運(yùn)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面得到平面，從而，根據(jù)，得到平面，得到，結(jié)合，得到平面；（2）為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到法向量之間的夾角余弦，從而得到二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，則為直線與平面所成的角，為，∴，而平面，∴又，為的中點(diǎn)，∴，平面，則平面，而平面∴，又，分別為，的中點(diǎn)，則，正方形中，，∴，又平面，，∴直線平面；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，過(guò)作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得；設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值為.本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和判定，利用空間向量求二面角的正弦值，屬于中檔題.18、（1）減區(qū)間；（2）【解析】

（1）由二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為的形式，令處于的遞減區(qū)間內(nèi)，求出x的范圍即可；（2）由三角函數(shù)圖像平移變換法則，求出新函數(shù)的解析式，結(jié)合的圖像求出值域.【詳解】（1）∵,由,解出,所以的減區(qū)間為

（2）因?yàn)閷⒆笠频玫剑瑱M坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,得到∵,所以所求值域?yàn)楸绢}考查三角函數(shù)圖像的平移及伸縮變換以及單調(diào)區(qū)間和給定區(qū)間上的值域，平移時(shí)注意將系數(shù)提公因式后對(duì)x進(jìn)行加減，求值域時(shí)注意結(jié)合函數(shù)圖像會(huì)使得解題更加簡(jiǎn)便.19、(1)；(2)存在點(diǎn)，為中點(diǎn)【解析】

（1）根據(jù)體積橋，首先求解出，進(jìn)而根據(jù)解三角形的知識(shí)可求得，從而可構(gòu)造關(guān)于所求距離的方程，解方程求得結(jié)果；（2）將平面延展，與底面交于且為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可作出的平行線，交于，為中點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)；證明時(shí)，取中點(diǎn)，利用中位線可證得，從而可知平面，再利用平行四邊形證得，利用線面平行判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）連接，，則又，，設(shè)點(diǎn)D到平面A1BE的距離為則，解得：即點(diǎn)D到平面A1BE的距離為：（2）存在點(diǎn)，為中點(diǎn)證明如下：取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)又，則四點(diǎn)共面平面又四邊形為平行四邊形，又平面平面本題考查點(diǎn)到平面距離的求解、補(bǔ)全線面平行條件的問題.求解點(diǎn)到平面距離通常采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為棱錐的高的求解問題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn),連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標(biāo)系，