課時規(guī)范練25簡單的三角恒等變換基礎鞏固練1.(2025·安徽模擬)sin2π12-sin27π12=A.32 B.C.-12 D.-2.(2024·江蘇蘇州期中)已知α,β都是銳角,cosα=35,sin(α-β)=513,則cosβ=(A.1665 B.33C.5665 D.3.(2024·湖北荊州模擬)化簡:cos40°cos25°1A.2 B.22C.3 D.3-14.(2024·浙江期末)已知α,β為鈍角,且cosα=-255,sinβ=1010,則α+β=A.π4 B.5π4 C.35.(2024·山西呂梁模擬)已知sin37°≈35,則2sin8°A.34 B.43 C.326.(多選題)當tanα2有意義時,下列等式恒成立的是(A.tanαB.tanαC.sinα=2tanD.cosα=17.(2024·廣東揭陽模擬)已知sinα-3cosα=1,則sin(7π6-2α)的值為8.(13分)已知函數f(x)=sin(1)求f(π12)(2)已知f(α)=23,求sin2α的值綜合提升練9.(2025·山東煙臺開學考試)若sin(α-20°)=sin20°tan20°-3,則cos(2α+140°)A.18 B.-1C.-78 D.10.(2024·江蘇無錫模擬)已知tanβ=cosα1-sinα,tan(α+β)=1+sinαcosα,若β∈(0,A.π12 B.πC.π4 D.11.(多選題)設θ的終邊在第二象限,則1-sinθA.1 B.-1 C.-2 D.212.(2024·安徽銅陵模擬)已知非零實數m,n滿足msinα+ncosα=tan3π8(mcosα-nsinα),當α=π8時,n13.(13分)(2024·北京東城模擬)已知α∈(π2,π),且sinα2+cos(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cosβ14.(15分)(2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)已知a=(2cosx,23sin(x+π6)),b=(cosx,-cos(x+π6)),記f(x)=a·b,x∈(1)求函數f(x)的最小正周期;(2)若f(x02)=13,x0∈(π3,創(chuàng)新應用練15.(2025·安徽靈璧模擬)已知4tanπ121+tan2π12cosα·sin(β+π3)=1,則tan(A.3 B.3C.1 D.2答案：1.D解析由題意可得,sin2π12-sin27π12=sin2π12-sin2(π2+π12)=sin2π12-cos22.C解析因為α,β∈(0,π2),所以α-β∈(-π2,π2),所以sinα=45,cos(α-β)=1213,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-3.A解析cos40°cos25°14.D解析由于α,β為鈍角,且cosα=-255,sinβ=1010,所以sinα=55,cosβ=-31010,且α∈(π2,π),β∈(π2,π),所以α+β∈(π,2π),所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-255×(-310105.B解析因為sin37°≈35,所以cos37°=所以2sin8°=sin53°cos456.ACD解析tanα2=sinα2當α=2kπ(k∈Z),即α2=kπ(k∈Z)時,sinα=0,tanα2=0,故1+cosαsinα無意義,當α≠2kπ(k∈Z)且tanα2有意義時,α2≠kπ(k∈Z),故sinα2≠0,則tanα2=sinαsinα=2sinα2cosα2cosα=cos2α2-sin27.12解析已知sinα-3cosα=1,則2(12sinα-32cosα)=2sin(α-π3)=1,所以sin(α-π3)=12,令β=α-π3,則α=β+π3,即sinβ=12,所以sin(7π6-2α)=sin(7π6-2β-2π3)=sin(π28.解(1)f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosxcosx+sinx=所以f(π12)=2sin(π12+π4(2)由f(α)=23,得sin(α+π4)所以sin2α=-cos(π2+2α)=-cos[2(α+π4)]=-[1-2sin2(α+π4)]=-(1-2×9.C解析根據題意,sin(α-20°)=sin20°tan20°-cos(2α+140°)=cos[2(α-20°)+180°]=-cos[2(α-20°)]=-[1-2sin2(α-20°)]=-[1-2×(-14)2]=-故選C.10.C解析tanα=tan(α+β-β)=tan(因為tanβ=cosα1-sinα,tan(α+所以tanα=1+sinαcosα所以tanα=(1+sinα因為sin2α+cos2α=1,所以tanα=0,所以α=kπ,k∈Z,當k為奇數時,cosα=-1,sinα=0,當k為偶數時,cosα=1,sinα=0,因為tanβ=cosα1-sinα,所以tanβ=±1,因為β∈(0,π211.AB解析∵θ的終邊在第二象限,∴2kπ+π2<θ<2kπ+π,k∈Z∴kπ+π4<θ2<kπ+π2,k∈Z,1故當2kπ+π4<θ2<2kπ+π2,k∈Z時,sinθ2-cosθ2>0,1-sinθcosθ2-sinθ2=sinθ2-cosθ2cosθ2-sinθ2=-12.1解析tan3π8=sin3π8cos3tan(3π8?π即tan3π8-tan所以tan3π8-tanπ8=1+tan3π8當α=π8時,msinπ8+ncosπ8=tan3π8(m·cosπ等式兩邊同時除以cosπ8得,mtanπ8+n=tan3π8(m-ntanπ8),整理得mtanπ8+n=mtan3π8-n,2n=m(tan3π813.解(1)因為sinα2+cosα2=62,兩邊同時平方,得sinα=12.又π2<α<π,(2)因為π2<α<π,π2<β<所以-π2<α-β<又由sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-32×45+114.解(1)因為f(x)=a·b=2cos2x-23sin(x+π6)cos(x+π=1+cos2x-3sin(2x+π3=1+cos2x-32sin2x-32cos=-32sin2x-12cos2=-sin(2x+π6)+所以f(x)的最小正周期T=2π2=(2)因為f(x02)=-sin(x0+π6)+1=13,可得sin(x0+π6)=23,又因為x0∈(π3,2π3),則x0+π6∈(π2,則sin2(x0+π6)=2sin(x0+π6)·cos(x0+π6)=-459,cos2(x0+π6)=cos2(x0+π6)-sin2(x可得cos2x0=cos[2(x0+π6)-π3]=cos2(x0+π6)cosπ3+sin2(x0+π6)sinπ3=所以cos2x0=1B解析因為4tanπ121+tan2π12=4sinπ12cosπ12cos2π12+sin2π12=2sinπ6=1,由4tanπ121+tan2π12cosαsin(β+π3)=1可得cosαsin(β+π3)=1,又因為-1≤cosα≤1,-1≤sin(β+π3)≤1,若cosα=1,sin(β+π3)=1,則α=2k1π,β=π6+2k2π,k1,k2∈Z,可得β-α=(π6+2k2π)-2k1π=π6+2(k2-k1)π,k1,k2∈Z,所以tan(β-α)=tan[π6+2(k2-k1)π]=tanπ6=33,k1,k2∈Z;若cosα=-