高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知x，y是非零實數(shù)，則y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【答案】A【解析】y2當(dāng)且僅當(dāng)y2即y=所以y2x2故選：A2．若cos2α=sin2α，則A．33 B．±33 C．2【答案】B【解析】因為cos2α=sin2α，所以故選：B3．若非零復(fù)數(shù)z滿足(2-i)z=|z|2，則A．1-2i B．1+2i C．2-i【答案】C【解析】由題意(2-i)z=|z|2=z?故選：C.4．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1，4，5，6，4，5，4，若刪除一個數(shù)后，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，則被刪除的數(shù)為（

）A．1 B．6 C．5或6 D．1或6【答案】C【解析】將數(shù)據(jù)1，4，5，6，4，5，4按照從小到大的順序排列為1，4，4，4，5，5，6，則原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，若刪除一個數(shù)后，所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變，則被刪除的數(shù)為5或6.故選：C.5．若函數(shù)f(x)=2x-m在[1,2]上單調(diào)，則mA．(0,2] B．[4,+C．(-∞,2]∪[4,+∞【答案】C【解析】當(dāng)x∈[1,2]時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，可知當(dāng)m∈-∞,2時，2x-m≥0，所以f(x)=當(dāng)m∈2,4時，f(x)=2x-m=當(dāng)m∈4,+∞時，2x-m≤0，所以f(x)=2x綜上，m∈-故選：C.6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，則A．3 B．4 C．7 D．15【答案】D【解析】因為y=(x-1)(x-5)的對稱軸為x=3，頂點為N3,-4，且過點M當(dāng)x=3時，y2=4x上的點為作y=(x-1)(x-5)，y2由圖可知，y=(x-1)(x-5)的圖象與拋物線y2=4x有則A∩B有4個元素，從而A∩B的真子集的個數(shù)為24故選：D7．刻畫空間彎曲性是空間幾何研究的重要內(nèi)容，我們常用曲率來刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面角的角度用弧度制）．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為π3，則其各個頂點的曲率均為2π-3×π3=π．若正四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面的夾角的正切值為A．π2 B．π C．3π4 D【答案】D【解析】如圖，連接AC，BD，設(shè)AC∩BD=O，連接SO，則SO⊥平面ABCD，取BC的中點M，連接OM，SM，則由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知OM⊥BC,SM⊥BC，所以∠SMO為側(cè)面與底面所成的角，設(shè)AB=BC=a，則OM=a在Rt△SOM中，tan所以SO=2OM=22a所以正四棱錐S-ABCD的每個側(cè)面均為正三角形，所以頂點S的每個面角均為π3故正四棱錐S-ABCD在頂點S處的曲率為2π故選：D.8．若(x-1)nn∈N*的展開式各項系數(shù)的絕對值之和為512，則(x+1)8A．-56 B．56 C．-70 D．70【答案】A【解析】(x-1)n的展開式各項系數(shù)的絕對值之和等于(x+1)則1+1n=512，得n=9，則因為x2-18所以x+18x-1n的展開式中x11的系數(shù)為即C8故選：A二、多選題9．若函數(shù)f(x)=lg1xA．f(x)為減函數(shù) B．f(x)=1?x=5C．f(x)的值域為R D．f(x)<2?x<50【答案】BC【解析】因為f(x)=lg1x所以f(x)為增函數(shù)，f(x)的值域為R，故選項A錯誤，選項C正確；f(x)=1?lg(2x)=1?2x=10?x=5，故選項f(x)<2?lg(2x)<2?0<2x<100?0<x<50，故選項D故選：BC.10．若0<p<1，隨機(jī)變量X～B6,p，Y～N6,pA．P(Y>8)=P(Y<4) B．當(dāng)D(X)=43C．當(dāng)D(Y)=19時，D(X)=43 D．當(dāng)p【答案】ACD【解析】因為Y~N6,p2，4+82=6，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知當(dāng)D(X)=43時，即6p1-p=43，即9p2-9p+2=3p-13p-2=0，解得p=1當(dāng)D(Y)=19時，即p2=19，因為0<p<1，所以因為X~B(6,p)，所以PX=1設(shè)函數(shù)f(p)=6p1-p5則f'當(dāng)0<p<16時，f'(p)>0，當(dāng)所以f(p)=6p1-p5在0,1所以當(dāng)p=16時，最大值為f(p)max=f(1故選：ACD.11．已知曲線C:x2y+y3A．當(dāng)P為C上的動點時，PF1B．當(dāng)P為C上的動點時，PF1C．存在直線l:y=mx-3(m>3)，使得l與C的所有交點的橫坐標(biāo)可以構(gòu)成等比數(shù)列D．存在直線l:y=mx-3(m>2)，使得l與C的所有交點的橫坐標(biāo)之和為7【答案】ABD【解析】由x2y+y35=y，得x2+y易知F10,-2,F2若點P在橢圓上時，PF若點P是原點時，PF曲線C上的其他點，則PF所以PF1+PF當(dāng)點P在直線y=0上時，PF當(dāng)點P在橢圓x2+y由PF2∈a-c,a+c=5將y=mx-3代入x2+y設(shè)該方程的兩個根為x1，x2，則Δ=20m2-80>0，即m由y=mx-3=0，得x=3m，假設(shè)存在直線l:y=mx-3，使得l與C的所有交點的橫坐標(biāo)之和為則6mm2+5+3m=7m，解得當(dāng)m>3時，3m介于x1，x2之間，假設(shè)存在直線l:y=mx-3，使得l與C則x1x2=3m2，即4m故選：ABD三、填空題12．若函數(shù)f(x)=tan2x的最小正周期為T，且f(x)的圖象關(guān)于點(m,0)(0<m<T)對稱，則m=【答案】π【解析】T=π2，由0<m<T，得0<2m<π，則2m=故答案為：π413．已知直線y=x+m(m>0)是圓C:(x+1)2+y2=2【答案】7【解析】因為直線y=x+m(m>0)與圓C:(x+1)所以|m-1|設(shè)函數(shù)fx=1得x=1，則f解得：a=4，故a+m=7，故答案為：714．某藝術(shù)展覽館的一座雕塑底座是正四棱臺，記為ABCD-A1B1C1D1,AB=2米，A1B1=4米，A【答案】970【解析】如圖1，設(shè)燈帶經(jīng)過側(cè)棱BB1上的E如圖2，連接A1B，將側(cè)面ABB則A1E+CE≥A1C即當(dāng)燈帶的長度取得最小值時，交點即為點E.因為四邊形BCC1B由余弦定理可得A1B=42則A1B>A1B1因為∠A1B即線段A1C與線段Bcos∠A1BB1=（3而cos∠B1BC=cos所以cos∠由余弦定理可得A1C=（3則所需燈帶的長度的最小值為9705米故答案為：970四、解答題15．已知雙曲線C:x2a2-（1）求C的方程；（2）若A是C的左頂點，直線l:y=3x-3與C交于P，Q兩點，求△APQ的面積．解：（1）依題意，雙曲線C的半焦距c=5，由離心率e=ca=5所以雙曲線C的方程為x2（2）由（1）知雙曲線C的左頂點A(-1,0)，點A到直線l:3x-y-3=0的距離d=6由y=3x-34x2-y2=4消去y得則PQ=1+32|16．如圖，在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D

（1）求該五棱柱的體積．（2）證明：平面ABC1⊥（3）求直線B1D與平面（1）解：因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE=2，所以AB⊥AE，且BE=2，因為四邊形BCDE為正方形，所以AA在直五棱柱ABCDE-A1B1C所以該五棱柱的體積V=1（2）證明：在直五棱柱ABCDE-A1B1C因為AB?底面ABCDE，則BB因為∠ABD=∠ABE+∠EBD=π4×2=π因為BB1∩BD=B且BB1,BD?平面BD又AB?平面ABC1，所以平面AB（3）解：由題意可得EB，ED，EE1兩兩垂直，以E則B2,0,0,BA1=-1,-1,2，設(shè)平面A1BE1的法向量為即-x-y+2z=0-x+y=0，取x=1，則cosm,故直線B1D與平面A1

17．某零件廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱零件的定價為500元，低于200箱按原價銷售，不低于200箱有兩種優(yōu)惠方案．方案一：以200箱為基準(zhǔn)，每多100箱免12箱的金額．方案二：通過雙方議價，買方能以每箱優(yōu)惠8%的價格成交的概率為0.3，以每箱優(yōu)惠6%的價格成交的概率為0.4，以每箱優(yōu)惠5%（1）買方甲要在該廠購買200箱這種零件，并選擇方案二，求甲以低于9.5萬元的金額購買這200箱零件的概率．（2）買方乙要在該廠購買400箱這種零件，以購買總價的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問乙選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？請說明你的理由．（3）買方丙要在該廠購買960箱這種零件，由于購買的箱數(shù)超過500，該廠的銷售部讓丙綜合使用這兩種方案作為第三種方案，即一部分用方案一（箱數(shù)必須是100的正整數(shù)倍），另一部分使用方案二（箱數(shù)不限），試問丙應(yīng)該如何使用方案三，才能獲得最多的優(yōu)惠？說明你的理由．解：（1）買方甲要在該廠購買200箱這種零件，并選擇方案二，若甲以每箱優(yōu)惠8%的價格成交，則成交的金額為500×(1-8%若甲以每箱優(yōu)惠6%的價格成交，則成交的金額為500×(1-6%若甲以每箱優(yōu)惠5%的價格成交，則成交的金額為500×(1-5故甲以低于9.5萬元的金額購買這200箱零件的概率為0.3+0.4=0.7；（2）買方乙要在該廠購買400箱這種零件，若乙選擇方案一，則成交的金額為500×400-400-200若乙選擇方案二，設(shè)成交的金額為X萬元，則PX=PP所以買方乙按方案二在該廠購買400箱這種零件的成交金額的數(shù)學(xué)期望為E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74萬元因為18.74<18.8，所以方案二更優(yōu)惠；（3）設(shè)丙用方案一購買100n（則丙用方案一需要支付的金額為100n×500-100n-200100方案二需要支付的金額的期望為960-100n所以丙購買的金額的期望為4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)萬元因為y=46.176-0.285n（3≤n≤9，n∈N故應(yīng)該選擇900箱使用方案一，60箱使用方案二，這樣才能獲得最多的優(yōu)惠.18．（1）在數(shù)列an中，若an=A?αn+B?βn，其中（2）若數(shù)列an滿足an+2=ban+1+canbc≠0,b2+4c>0,an+2①求an②若數(shù)列dn滿足n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn（1）證明：因為α,β是方程x2=bx+c，即所以α+β=b,αβ=-c，則b=Aα得證；（2）①解:由題意知an+2=7a解得x1=8,根據(jù)題意，不妨取α=8,β=-1，設(shè)an因為a1所以8A-解得A=1，故an②解:由n(n+1)d得dn+2因為d11=7，所以由①知an=則dn=n設(shè)Tn則8Tn則-7T所以Tn=當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=Tn當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=Tn+19．若函數(shù)φ(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且φ(x)存在唯一的極值點，則稱φ(x)為“金字塔函數(shù)”．（1）請判斷函數(shù)h(x)=14x4-（2）證明：當(dāng)n∈N*時，函數(shù)g(x)=1x2（3）已知函數(shù)f(x)=ex+e2-x+ax（1）解：h(2-x)====1顯然h(x)不關(guān)于x=1對稱，故不是金字塔函數(shù)；（2）證明：因為g(x)=1[(x-1)所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，g'因為n∈N*，(x-1)2+1>0，所以g'(x)>0得所以g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在則g(x)存在唯一的極值點1，故g(x)為“金字塔函數(shù)”.（3）解：因為f(x)為“金字塔函數(shù)”，所以f(2-x)=f(x)，所以e2-x整理得(2a+b)x=2a+b對x∈R恒成立，則2a+b=0，得b=-2a所以f(x)=ex+令k(x)=f'(x)，則k當(dāng)a≥-e時，k'(x)≥0，則k(x)=當(dāng)x∈(-∞,1)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，則f(x)存在唯一的極