第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省永州市2025屆高三數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?3≤x≤2}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，則A∩B=(

)A.{?3,?1,1,3} B.{?3,?1,1} C.{?1,1} D.{1}2.已知復(fù)數(shù)z=4+3i3?4i，則|z|=(

)A.2 B.3 C.53.已知非零向量a，b滿足(a?b)?(a?3b)=0A.垂直 B.共線 C.夾角為π3 D.夾角為4.已知函數(shù)f(x)=x+4a,x≥0?x2+ax+a2,x<0A.[0,4] B.(0,4) C.(0,4] D.[0,4)5.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過點F2作x軸的垂線交C于A，B兩點，其中點A在第一象限，且A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱臺ABC?A1B1C1的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球(A.3 B.4 C.5 D.67.已知數(shù)列{an}滿足an+1A.{an}所有項恒大于等于2

B.若a1=1，則{an}是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若{8.在平面直角坐標系xOy中，A(1,0)，P(?1,p)，Q(1,q)，其中p>0，q>0，∠AOQ=∠POQ，則當△OPQ面積最小時，pq=(

)A.5+12 B.3+12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)樣本空間Ω={1,2,3,4}含有等可能的樣本點，且A={1,2}，B={1,3}，C={1,4}，則下列結(jié)論正確的是(

)A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(A|C)=P(C|A)

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(10.斜率為2的直線l與雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線交于A(x1,y1A.x2a2?y2b2=0是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程

B.P也是線段CD的中點

C.若l過雙曲線的焦點，則直線OP的斜率是?b11.已知f(x)的定義域為非零有理數(shù)集，且滿足下面三個性質(zhì)：

①f(xy)=f(x)+f(y)；

②f(x+y)≥min{f(x),f(y)}；

③當f(x)≠f(y)時，f(x+y)=min{f(x),f(y)}，

其中min{a,b}=b,a≥ba,a<b．

下列說法正確的是(

)A.若f(x)>r，f(y)>r，則f(x?y)>r

B.f(x)=0恰有兩個整數(shù)解

C.若x+y+z=0，xyz≠0，則f(x)，f(y)，f(z)中至少有兩個相等

D.若f(2)=1，則f(240)=3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cos(α+π2)=313.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個正四面體四個面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個已上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個變得與另一個完全相同，則認為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有______種.14.在平面直角坐標系xOy中，射線l1：y=x(x≥0)，l2：y=0(x≥0)，半圓C：y=1?(x?4)2.現(xiàn)從點A(1,0)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線l1，l2時會發(fā)生鏡面反射.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=1，asinA?sin(1)求?ABC的外接圓半徑；(2)若?ABC為銳角三角形，求?ABC周長的取值范圍．16.(本小題15分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點M，N分別在線段AB1，BC1上，且|AM|=λ|AB1|，|C1N|=μ|C1B|．

(1)若λ=μ=1217.(本小題15分)

箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為14，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：

(a)第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；

(b)設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第n?1次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例如，當記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時，這個操作在第4次結(jié)束．

(1)若操作進行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；

(2)求操作在第n次結(jié)束的概率．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(ea+2e?a)x+ea?2e?ax,a>0．

(1)設(shè)直線x=4與曲線y=f(x)交于點P，求P點縱坐標的最小值；

(2)a取遍全體正實數(shù)時，曲線y=f(x)19.(本小題17分)

在直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點P(?23,1)，短半軸長為5.過點S(0,5)作直線l交C于A，B兩點，直線PA交y軸于點M，直線PB交y軸于點N，記直線PA，PB的斜率分別為k1和k2．

(1)求C的標準方程；

(2)證明1k參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.D

8.C

9.ABD

10.ABD

11.AC

12.313.6

14.(?1515.解：(1)由asinA?sin故a2+b2?c=ab由余弦定理得cosC=由于C∈0,π，所以C=sinC=32，根據(jù)所以?ABC的外接圓半徑為3(2)由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因為?ABC為銳角三角形，所以0<B<π20<2π所以B+π6∈所以3<b+a<2，則所以?ABC周長的取值范圍為1+

16.證明：(1)連接B1C，AC，當λ=μ=12，

則M是AB1的中點，N是B1C的中點，

所以MN//AC，

因為AC?面ABCD，D1D⊥面ABCD，所以D1D⊥AC，

所以D1D⊥MN；

解：(2)以D點為原點，DA,DC,DD1方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，

則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)

AB1=(0,1,1),C1B=(1,0,?1)，所以AM=(0,λ,λ),C1N=(μ,0,?μ)，

所以M(1,λ,λ)，N(μ,1,1?μ)，所以MN=(μ?1,1?λ,1?μ?λ)，

又DD1=(0,0,1)，設(shè)直線PQ的方向向量為n=(x,y,z)，

17.解：(1)由題意，前四次抽取的情況有：

1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，

3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種；

(2)設(shè)操作在第n次結(jié)束的概率為Pn，操作在第n次未結(jié)束的概率為Qn，

當n≥2時，Pn=Qn?1?Qn，當n=1時，P1=14，

接下來我們討論操作進行了n次，但是并沒有結(jié)束的情形，

抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：

3,?,3,2,?,2,1,?,1n，

分別設(shè)序列中的3，2，1的個數(shù)為x，y，z，可知x+y+z=n(x≥0,y≥0,z≥0)，

利用隔板法，可以知道對應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：

令X=x+1，Y=y+1，Z=z+1，即X+Y+Z=n+3(X≥1,Y≥1,Z≥1)，

一共有Cn+22=(n+1)(n+2)218.解：(1)x=4時，f(x)=2ea+4e?a+12ea?e?a=52ea+3e?a，

令?(a)=52ea+3e?a≥252ea?3e?a=30，

當且僅當52ea=3e?a?e2a=65?a=ln652時等號成立，

所以P點縱坐標的最小值為30；

(2)f(x)=(x+1x)ea+2(x?1x)e?a，

令?(a)=(x+1x)ea+2(x?1x)e?a，

則?′(a)=(x+1x)ex?2(x?1x)e?a=x+1xea?2x?1xe?a=x+1xe?a(e2a?2x?1x+1)，

①當2x?1x+1≤1，即0<x≤3時，?′(a)≥019.解：(1)因為橢圓C經(jīng)過點P(?23,1)，短半軸長為5，

所以(?23)2a2+12b2=1b=5，

解得a=15b=5，

則C的標準方程為x215+y25=1；

(2)將橢圓向右平移23個單位，再向下平移1個單位得C′：(x?2