高一競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\leq1\)D.\(x\lt1\)2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)3.直線\(y=2x+3\)的斜率是（）A.1B.2C.3D.\(\frac{1}{2}\)4.集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.46.函數(shù)\(y=\log_2x\)的反函數(shù)是（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{2^x}\)D.\(y=\log_x2\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)8.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((2,2)\)D.\((-1,-1)\)9.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\(\{x|1\ltx\lt2\}\)B.\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)C.\(\{x|x\lt1\}\)D.\(\{x|x\gt2\}\)10.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是冪函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2^x\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)3.關(guān)于直線\(l\)的斜率\(k\)，說法正確的是（）A.傾斜角為\(90^{\circ}\)時，斜率不存在B.斜率\(k\)可以是任意實數(shù)C.\(k=\tan\alpha\)（\(\alpha\)為傾斜角）D.斜率越大，直線越陡峭4.以下屬于等比數(shù)列性質(zhì)的有（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\)（\(n\gt1\)）B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）C.\(a_{m+n}=a_m\cdotq^n\)D.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則下列運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實數(shù)）D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性質(zhì)正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)且\(0\lte\lt1\)7.下列不等式正確的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）D.\(a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca\)8.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0,\omega\gt0\)）的性質(zhì)包括（）A.振幅是\(A\)B.周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.初相是\(\varphi\)D.當(dāng)\(\omegax+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\inZ\)）時取得最大值9.以下哪些點在直線\(y=x+1\)上（）A.\((0,1)\)B.\((1,2)\)C.\((-1,0)\)D.\((2,3)\)10.對于集合\(A\)、\(B\)，下列說法正確的是（）A.\(A\subseteqB\)表示\(A\)中的元素都在\(B\)中B.\(A\cupB\)是由\(A\)和\(B\)的所有元素組成C.\(A\capB\)是由\(A\)和\(B\)的公共元素組成D.\(A-B\)是由\(A\)中不屬于\(B\)的元素組成三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式是\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。（）6.向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的方向相同或相反。（）7.圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圓心為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。（）8.若\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)，則\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)。（）9.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖象關(guān)于\(y\)軸對稱。（）10.不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)（\(a\neq0\)）的解集不可能為空集。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域。答：要使根式有意義，則\(4-x^2\geq0\)，即\(x^2-4\leq0\)，因式分解得\((x+2)(x-2)\leq0\)，解得\(-2\leqx\leq2\)，所以定義域為\([-2,2]\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_5=11\)，求\(a_3\)的值。答：因為在等差數(shù)列中，若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，那么\(2a_3=a_1+a_5\)，已知\(a_1=3\)，\(a_5=11\)，所以\(2a_3=3+11=14\)，則\(a_3=7\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow=(1,3)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值。答：根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運算公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)，這里\(x_1=2\)，\(y_1=-1\)，\(x_2=1\)，\(y_2=3\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\times1+(-1)\times3=2-3=-1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)性。答：將函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)化為頂點式\(y=(x-1)^2+2\)。其圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在對稱軸左側(cè)，即\(x\in(-\infty,1)\)時函數(shù)單調(diào)遞減；在對稱軸右側(cè)，即\(x\in(1,+\infty)\)時函數(shù)單調(diào)遞增。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答：①幾何法：通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交。②代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.分析等比數(shù)列與等差數(shù)列在通項公式和性質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系。答：區(qū)別：通項公式上，等差數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1+(n-1)d\)，等比數(shù)列\(zhòng)(a_n=a_1q^{n-1}\)；性質(zhì)上，等差數(shù)列有\(zhòng)(a_m+a_n=a_p+a_q\)（\(m+n=p+q\)），等比數(shù)列是\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（\(m+n=p+q\)）。聯(lián)系：都有首項，都能通過已知條件求通項和前\(n\)項和。4.說說在解不等式時需要注意的要點。答：解不等式時，移項要變號；乘除負(fù)數(shù)時，不等號方向要改變；解分式不等式要移項通分，化為整式不等式