第1頁/共1頁2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編立體幾何初步章節(jié)綜合（人教B版）一、單選題1．（2025北京昌平高三上期末）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025北京豐臺高三上期末）如圖，在三棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，且，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為（

）A．1 B． C． D．3．（2025北京昌平高三上期末）如圖1所示，在正六棱柱中，底面邊長為1，側(cè)棱長為2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱錐、、，再分別以為軸將分別向上翻轉(zhuǎn)，記三點(diǎn)重合的點(diǎn)為，圍成的曲頂多面體如圖2所示.記正六棱柱的表面積與體積分別為，當(dāng)時(shí)，記所圍成的曲頂多面體的表面積與體積分別為，則下述判斷正確的是（

）A． B．C． D．4．（2025北京房山高三上期末）已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成角是，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C．2 D．15．（2025北京石景山高三上期末）我國有著豐富悠久的印章文化，印章是簽署文件時(shí)代表身份的信物，因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，有時(shí)作為裝飾物來使用.圖1是一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2所示.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長為4，體積之比為，且該幾何體的頂點(diǎn)在球的表面上，則球的半徑為（

）

A． B． C． D．6．（2025北京通州高三上期末）如圖某實(shí)心零部件的形狀是正四棱臺，已知，，棱臺的高為，先需要對該零部件的表面進(jìn)行防腐處理，若每平方厘米的防腐處理費(fèi)用為元，則該零部件的防腐處理費(fèi)用是（

）A．元 B．元C．元 D．元7．（2025北京朝陽高三上期末）沙漏是一種古代計(jì)時(shí)儀器．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)相同圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的，則這些細(xì)沙的體積為（

）

A． B． C． D．8．（2025北京東城高三上期末）如圖，在棱長為6的正四面體中，以為頂點(diǎn)的圓錐在正四面體的內(nèi)部（含表面），則該圓錐體積的最大值為（

）

A． B． C． D．9．（2025北京順義高三上期末）某同學(xué)在勞動實(shí)踐課中，用四塊板材制作了一個(gè)簸箕（如圖1），其底面擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直．簸箕的造型可視為一個(gè)多面體（如圖2）．若，，，與之間的距離為28cm，則該多面體的體積是（

）A． B．C． D．10．（2024北京海淀高三上期末）正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（

）A．4 B．2 C． D．11．（2024北京東城高三上期末）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．用過點(diǎn)且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．12．（2025北京一六六中高三上期末）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（

）A． B．C． D．13．（2024北京通州高三上期末）如圖，已知某圓錐形容器的軸截面為等邊三角形，其邊長為4，在該容器內(nèi)放置一個(gè)圓柱，使得圓柱上底面的所在平面與圓錐底面的所在平面重合.若圓柱的高是圓錐的高的，則圓柱的體積為（

）A． B． C． D．14．（2024北京豐臺高三上期末）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．415．（2024北京朝陽高三上期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則的最大值為（

）

A． B． C． D．16．（2024北京西城高三上期末）如圖，水平地面上有一正六邊形地塊，設(shè)計(jì)師規(guī)劃在正六邊形的頂點(diǎn)處矗立六根與地面垂直的柱子，用以固定一塊平板式太陽能電池板.若其中三根柱子，，的高度依次為，則另外三根柱子的高度之和為（

）A．47m B．48m C．49m D．50m17．（2024北京海淀高三上期末）蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”.蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu).如圖是一個(gè)蜂房的立體模型，底面是正六邊形，棱，，，，，均垂直于底面，上頂由三個(gè)全等的菱形，，構(gòu)成.設(shè)，，則上頂?shù)拿娣e為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．18．（2024北京大興高三上期末）木楔在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛.如圖，某木楔可視為一個(gè)五面體，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為等邊三角形，，，則該木楔的體積為（

）A． B． C． D．19．（20234石景山高三上期末）在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面20．（2024北京一六六中高三上期末）風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（

）

A． B． C． D．21．（2023北京通州高三上期末）要制作一個(gè)容積為的圓柱形封閉容器，要使所用材料最省，則圓柱的高和底面半徑應(yīng)分別為（

）A．， B．，C．， D．，二、填空題22．（2025北京通州高三上期末）如圖，正方形和正方形所在的平面互相垂直.為中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），且滿足，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①，使；②，使；③點(diǎn)到的最小值為；④四棱錐體積的最大值為.其中正確結(jié)論的序號是.23．（2025北京朝陽高三上期末）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在線段上（不與重合），于于，以下四個(gè)結(jié)論：①平面；②線段與線段的長度之和為定值；③面積的最大值為；④線段長度的最小值為．其中所有正確的結(jié)論的序號是．24．（2025北京一六六中高三上期末）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.25．（2023北京海淀高三上期末）如圖，在正三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，，則三棱錐的體積為.26．（2023北京石景山高三上期末）在四棱錐中，面，底面是正方形，，則此四棱錐的外接球的半徑為．

參考答案1．A【分析】由充分（必要）條件的判定，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)判斷即可.【詳解】由題，，則，若，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，則定有，故“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，也可以在內(nèi)，故不一定有，故“”不是“”的必要條件，故選：A.2．C【分析】根據(jù)題意，取中點(diǎn)，連接，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得平面平面，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為點(diǎn)P到直線的距離，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c都是邊長為2的等邊三角形，所以，，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為點(diǎn)P到直線的距離，過點(diǎn)做，所以點(diǎn)P到直線的距離即為，又，且，所以為等邊三角形，所以，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為.故選：C3．C【分析】利用割補(bǔ)法求解可得.結(jié)合正六邊形與正棱柱性質(zhì)，由割補(bǔ)部分體積相等可得；再由割補(bǔ)方法根據(jù)表面積的變化，求解并比較兩幾何體表面積大小即可.【詳解】如圖2，由題意，由旋轉(zhuǎn)方法可知，四點(diǎn)共面，且四邊形為菱形，連接，交于，則為中點(diǎn)，且；如圖1，正六棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，在上底面正六邊形中，設(shè)中心為.連接，與的交點(diǎn)即為中點(diǎn)，則四點(diǎn)共線，且為中點(diǎn)，為中點(diǎn).連接，四邊形為菱形，則，且，如圖2，連接，由，，平面，且，故平面，又平面，所以.結(jié)合圖1與圖2，在與中，，，，所以與全等，，則，即，平面，且，則平面，且，同理，，，又，則，設(shè)均為，，故，故曲頂多面體可看作由正六棱柱截去個(gè)小三棱錐（三棱錐，三棱錐，三棱錐）再補(bǔ)上個(gè)大三棱錐，故曲頂多面體的體積；因?yàn)椋?，所以由正六棱柱的性質(zhì)結(jié)合上面的分析，可知曲頂多面體的表面積；而正六棱柱的表面積；所以，即.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于割補(bǔ)法的應(yīng)用.4．B【分析】根據(jù)正三棱錐的定義和側(cè)面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即可.【詳解】如下圖所示：由正三棱錐的定義，底面為正三角形，且邊長為，作正三棱錐的高，垂足為的中心，連接并延長，交于點(diǎn)；由正三棱錐的幾何的性質(zhì)可知：，，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，.根據(jù)正三角形的性質(zhì)，，即正三棱錐的高為.三棱錐的體積為：.故選：B5．B【分析】根據(jù)正四棱柱和正四棱錐的體積之比為可得高相等，根據(jù)對稱性知球心在高線上，設(shè)出球的半徑和正四棱柱的高，放在直角三角形中，利用勾股定理列方程，求解即可.【詳解】

由題意，正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且共一個(gè)底面，所以正四棱柱和正四棱錐的高相等，則設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高都為，如圖所示，根據(jù)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐的對稱性可知：球心在高線上，設(shè)該幾何體外接球的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)都在球上，所以，，又，則，且，所以，在直角中，由勾股定理得：，在直角中，，，又點(diǎn)在球上，所以，所以由勾股定理得：，聯(lián)立，解得，因此，球的半徑為.故選：B.6．A【分析】根據(jù)棱臺的高求出側(cè)面等腰梯形的高，再計(jì)算出棱臺的表面積，即可求得該零部件的防腐處理費(fèi)用.【詳解】如圖所示，，，連接，分別是的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接.由題意，在正四棱臺中，平面，則，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，又分別是的中點(diǎn)，所以，且，故，則四點(diǎn)共面；因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以四邊形為直角梯形，在直角梯形中，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，則，且，又，因此，在直角中，，所以在正四棱臺中，側(cè)面積，底面積，表面積（平方厘米），又每平方厘米的防腐處理費(fèi)用為元，所以該零部件的防腐處理費(fèi)用是（元）.故選：A7．B【分析】根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合錐體的體積公式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：這些細(xì)沙的體積為.故選：B.8．A【分析】由題意可知當(dāng)圓錐的底面與相切時(shí)，圓錐體積最大，利用圓錐的體積公式和幾何關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可知當(dāng)圓錐的底面與相切時(shí)，圓錐體積最大，因?yàn)槭抢忾L為6的正四面體，設(shè)底面圓半徑為，中點(diǎn)為，則，解得，圓錐的高，所以圓錐體積，故選：A9．C【分析】將幾何體的體積轉(zhuǎn)化為四棱錐和三棱錐的體積后可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，在平面中過作，垂足為，則，同理可證平面，而，故，，故幾何體的體積為，故選：C.10．D【分析】作出輔助線，得到為二面角的平面角，所以，從而求出四棱錐的高，由棱錐體積公式求出答案.【詳解】連接，相交于點(diǎn)，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：D11．B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得四邊形為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形為矩形，即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接,則,故四邊形為平行四邊形，即為過點(diǎn)且平行于平面的截面，,,且平面,平面,則,故四邊形為矩形，故四邊形的面積為，故選：B12．B【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.【詳解】對于A，若，則，故A錯(cuò)誤，對于B，若，則，故B正確，對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B13．C【分析】根據(jù)題意，作出軸截面圖，求出正三角形的高，再結(jié)合題意得圓柱的底面半徑和高，進(jìn)而計(jì)算體積即可.【詳解】根據(jù)題意，軸截面如圖：在等邊三角形中，高，因?yàn)閳A柱的高是圓錐的高的，所以圓柱的高,又且，所以是的中點(diǎn)，即，于是該圓柱的底面半徑為1，高為，則體積為.故選：C.14．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，可得平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因?yàn)槠矫?，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：C.15．C【分析】點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，先考慮平面平面，從而得在直線上，取最大值時(shí)取最小值，此時(shí)，求解即可.【詳解】正方體中，連接，交于點(diǎn)，再連接和由于，且，∴四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理證明平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，從而得，若平面，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則，即在直線上時(shí)，都滿足平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然，當(dāng)最大時(shí)，即取最小值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)滿足，連接，可設(shè)正方體的棱長為，所以．故選：C．16．A【分析】根據(jù)梯形中位線求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】依題意可知六點(diǎn)共面，設(shè)正六邊形的中心為，連接，平面且平面，依題意可知相交于，連接交于，連接交于，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知四邊形是菱形，所以相互平分，則相互平分，根據(jù)梯形中位線有，即，在梯形中，是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，所以，同理可得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：研究空間圖形的結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用空間平行、垂直、中點(diǎn)等知識.在本題中，柱子與地面垂直，柱子之間相互平行.柱子之間高度不相同，則構(gòu)成了梯形，則可考慮利用中位線來對問題進(jìn)行求解.17．D【分析】根據(jù)蜂房的結(jié)構(gòu)特征，即可根據(jù)銳角三角函數(shù)以及三角形面積公式求解.【詳解】由于，所以,連接,取其中點(diǎn)為，連接,所以,由，且多邊形為正六邊形，所以，由于,所以，故一個(gè)菱形的面積為，因此上頂?shù)拿娣e為，故選：D18．D【分析】如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，取的中點(diǎn)O，連接，求出，結(jié)合三棱錐和三棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，所以，則，∴.因?yàn)?，，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.19．A【分析】作出截面后可作，從而判斷A，利用線面垂直的性質(zhì)判斷BC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點(diǎn)（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點(diǎn)（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；

選項(xiàng)B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時(shí)，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點(diǎn)只能在棱上，與已知不符，D錯(cuò)．故選：A．20．A【分析】根據(jù)題意，先證得平面，在中，利用余弦定理求得，再結(jié)合線面垂直判定定理證得平面，得到，設(shè)，利用，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，在中，因?yàn)榍?，所以，所以，且，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，可得，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，即，解得，所以多面體的體積為：.故選：A.

21．C【分析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．由，可得，再利用基本不等式即可得出．【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，底面半徑為．，．當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號．此時(shí)．即當(dāng)，時(shí)取得最小值．故選：C.22．①③④【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，借助空間線面的概念研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】根據(jù)題意，正方形和正方形所在的平面互相垂直，平面平面，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，所以平面，平面，平面，所以、均為直角三角形，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，,所以,如圖，以D為原點(diǎn)，所在直線分別作，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，設(shè)，由可得，化簡可得，點(diǎn)的軌跡為以圓心半徑為的圓的一部分，如圖所示，當(dāng)與重合，在點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面，平面，所以，故①正確；當(dāng)與重合，在點(diǎn)時(shí)，最大，即，，，所以在中，，因?yàn)?故不存在，使，故②錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，點(diǎn)到的距離最小值為-，在中，利用等面積法可得：，即，解得，所以點(diǎn)到的距離最小值為，故③正確；四邊形的面積，，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，四棱錐體積有最大值，，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出點(diǎn)的軌跡方程，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，借助空間線面的概念研究位置關(guān)系是